（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：8．4.1　平面Word版含答案

8．4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1　平　面
考点
学习目标
核心素养
平面的概念
了解平面的概念，会用图形与字母表示平面
直观想象
点、线、面的位置关系
能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系
直观想象
三个基本事实及推论
能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，
理解三个基本事实的地位与作用
直观想象、逻辑推理
问题导学
预习教材P124－P127的内容，思考以下问题：
1．教材中是如何定义平面的？
2．平面的表示方法有哪些？
3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？
4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
1．平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．
(2)平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．
(3)平面的表示方法
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．
■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A?l
A在α内
A∈α
A在α外
A?α
l在α内
l?α
l在α外
l?α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
从集合的角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“? ”表示．
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“? ”表示．
(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“?”或“?”表示．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?
3．平面的性质
基本
事实
文字语言
图形语言
符号语言
基本
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?
l?α
基本
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?
4．平面性质的三个推论
推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)．
推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)．
推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．(　　)
(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．(　　)
(3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.(　　)
(4)平面ABCD的面积为100 m2.(　　)
(5)过三点A，B，C有且只有一个平面．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　　)
解析：选A.选项B，C，D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．
如图所示，下列符号表示错误的是(　　)
A．l∈α　　　　　　　　　　　 B．P?l
C．l?α D．P∈α
解析：选A.观察图知：P?l，P∈α，l?α，则l∈α是错误的．
下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是(　　)
A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈α
B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a
C．因为A∈a，a?α，所以A∈α
D．因为A?a，a?α，所以A?α
解析：选C.对于A，直线AB在平面α内，应为AB?α，故A错误；
对于B，直线a在平面α，β内，应为a?α，a?β，故B错误；
对于C，因为A∈a，a?α，所以A∈α，故C正确；
对于D，A?a，a?α，有可能A∈α，故D错误．故选C.
已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β：____________．
(2)点A与平面α：____________．
(3)直线AB与平面α：__________．
(4)直线CD与平面α：__________．
(5)平面α与平面β：____________．
答案：(1)C?β　(2)A?α　(3)AB∩α＝B　(4)CD?α　(5)α∩β＝BD
　　　　　　　　图形、文字、符号语言的相互转化
　(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.
【解】　(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．
　　

三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．　
1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
解：(1)点P∈直线AB.
(2)点C?直线AB.
(3)点M∈平面AC.
(4)点A1?平面AC.
(5)直线AB∩直线BC＝点B.
(6)直线AB?平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
2．根据下列条件画出图形：
平面α∩平面β＝直线AB，直线a?α，直线b?β，a∥AB，b∥AB.
解：图形如图所示．
　　　　　　　　点、线共面问题
　证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一：(纳入平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2?α，
所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3?α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：(辅助平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，
所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2?α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2?β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．

证明点、线共面的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．　
　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
证明：如图所示．由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
所以l?α.即过a，b，l有且只有一个平面．
　　　　　　　　三点共线、三线共点问题
　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
【证明】　连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，
F为AA1的中点，所以EFA1B.
又因为A1BD1C，
所以EFD1C，
所以E，F，D1，C四点共面，
可设D1F∩CE＝P.
又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以据基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点．
[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F?平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．

　
1．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点．
证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M.又因为AB?α，CD?β，
所以M∈α，且M∈β，
又因为α∩β＝l，
所以M∈l.即AB，CD，l共点．
2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝E，AB?β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．
1．能确定一个平面的条件是(　　)
A．空间三个点　　　　　　 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
2．经过同一条直线上的3个点的平面(　　)
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．
3．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)
A．l?α B．l?α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A.因为M∈a，a?α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α.
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面(　　)
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．
5．说明语句“l?α，m∩α＝A，A?l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．
解：直线l在平面α 内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．
[A　基础达标]
1．下列说法中正确的是(　　)
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
解析：选C.不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C.
2．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线?α，β重合
解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．
4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则(　　)
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上，也不在AC上
解析：选B.由题意知GH?平面ADC，GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由基本事实3可知点P一定在直线AC上．
5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　)
解析：选D.在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.
6．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
解析：因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
8．看图填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________．
答案：A1B1　AC
9．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．
解：以AB为其中一边，分别画出来表示平面的平行四边形．如图．
10．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
证明：(1)连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.
所以GHBD，
所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，
因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.
所以GHBD，
所以EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形，
设两腰EG，FH相交于一点T.
因为EG?平面ABC，FH?平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.
[B　能力提升]
11．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中(　　)
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.
12．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(　　)
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
解析：选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.
13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C.
14.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
证明：因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，
所以AB∩CD＝P.
所以AB，CD可确定一个平面，设为β.
因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
所以AC?β，BD?β，平面α，β相交．
因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
[C　拓展探究]
15．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.
所以BD1?平面A1BCD1.
同理BD1?平面ABC1D1
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.
又因为A1C?平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.
所以Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，
即Q∈BD1，所以B，Q，D1三点共线．