2020年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷（解析版）

2020年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（　　）

A．44° B．60° C．67° D．70°
3．直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　）
A．5 B．7 C．25 D．25或7
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．
5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）

A．72 B．52 C．80 D．76
6．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
7．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．1，1， D．，，
9．下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
10．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（　　）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．2，5，7 D．9，12，15
二．填空题（共8小题）
11．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是　 　度．
12．直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是　 　．
13．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　 　．
14．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是　 　．
15．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　 　．

16．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为　 　．

17．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是　 　三角形（直角、锐角、钝角）．
18．若△ABC的三边长分别为5、13、12，则△ABC的形状是　 　．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC；

（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；
（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
20．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．

21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

22．如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．

23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．

24．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图2．火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理．
（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．

25．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
m 2 3 3 4 …
n 1 1 2 3 …
a 22+12 32+12 32+22 42+32 …
b 4 6 12 24 …
c 22﹣12 32﹣12 32﹣22 42﹣32 …
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
26．如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求图中阴影部分的面积．




2020年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣60°＝30°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（　　）

A．44° B．60° C．67° D．70°
【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝65°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝65°，∠BDC＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝40°，
∴∠BDC＝（180°﹣∠ADE）＝70°．
故选：D．
【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
3．直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　）
A．5 B．7 C．25 D．25或7
【分析】分b为直角边和b为斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当b为直角边时，c2＝a2+b2＝25，
当b为斜边时，c2＝b2﹣a2＝7，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）

A．72 B．52 C．80 D．76
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169
所以x＝13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故选：D．
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
6．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得a、b，求ab即可．
【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2＝9，a﹣b＝1，
解得a＝，b＝，
则ab＝4．

解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；
每个三角形的面积为2；
则ab＝2；
所以ab＝4
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了正方形面积的计算，本题中列出方程组并求解是解题的关键．
7．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a＝b，a2+b2＝c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8．在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．1，1， D．，，
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【解答】解：A、∵32+42＝52，∴能构成直角三角形；
B、∵72+242＝252，∴能构成直角三角形；
C、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形．
D、∵（）2+（）2≠（）2，∴不能构成直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
9．下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】欲判断是否是直角三角形的三边长，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题要掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
10．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（　　）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．2，5，7 D．9，12，15
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
C、52+22≠72，符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长；
D、122+92＝152，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
二．填空题（共8小题）
11．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是　40　度．
【分析】根据直角三角形两锐角互余解答．
【解答】解：∵一个锐角为50°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题利用直角三角形两锐角互余的性质．
12．直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是　135°　．
【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．
【解答】解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个交互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．

【点评】本题考查直角三角形内角的性质及三角形内角和，弄清题意即可．
13．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　　．
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．
【解答】解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．
14．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是　4.8　．
【分析】首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为：＝10，
三角形的面积＝×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则
x?10＝24，
解得x＝4.8．
故答案为：4.8．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法．
15．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　10　．

【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【解答】解：（14×14﹣2×2）÷8
＝（196﹣4）÷8
＝192÷8
＝24，
24×4+2×2
＝96+4
＝100，
＝10．
答：正方形EFGH的边长为10．
故答案为：10．
【点评】考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
16．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为　10　．

【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣BF＝6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．
故答案是：10．
【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．
17．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是　直角　三角形（直角、锐角、钝角）．
【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．
18．若△ABC的三边长分别为5、13、12，则△ABC的形状是　直角三角形　．
【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解答】解：∵52+122＝132，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC；

（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；
（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
【分析】（1）易证∠B与∠BOC分别是∠A与∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以证出；
（2）易证∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，且∠DOB＝∠EOB＝∠OEA就可以得到；
（3）∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）根据角平分线的定义，就可以求出．
【解答】解：（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°．
∵∠A＝∠AOC，
∴∠B＝∠BOC；

（2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°，
∴∠A＝∠DOB，即∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA．
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，
∴∠DOB＝30°，
∴∠A＝30°；

（3）∠P的度数不变，∠P＝30°，
∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC，
∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，
∴∠FOM＝∠AOM＝（90°﹣∠AOC）＝45°﹣∠AOC，∠PCO＝∠BCO＝（∠A+∠AOC）＝∠A+∠AOC．
∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）
＝45°﹣∠A
＝30°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质．
20．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．

【分析】（1）由题意可知：重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜边，也是半径是保持不变的所以线段GH保持不变；则根据直角三角形中斜边的中线是斜边的一半可以求得OP中线的长度，进而求得GH的长度；
（2）延长PG交OA于C，则y＝×PC；分别再直角三角形OPh和直角三角形PHC中运用两次勾股定理即可以求出y关于x的函数解析式；
（3）分别讨论GH＝PG，GH＝PH，PH＝PG这三种情况，根据（2）中的解析式可以分别求得x的值．
【解答】解：（1）当然是GH不变．
延长HG交OP于点E，
∵G是△OPH的重心，
∴GH＝EH，
∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；
∴EH＝OP
∴GH＝（OP）＝（×6）＝2；

（2）延长PG交OA于C，则y＝×PC．
我们令OC＝a＝CH，
在Rt△PHC中，PC＝＝，
则y＝×；
在Rt△PHO中，有OP2＝x2+（2a）2＝62＝36，
则a2＝9﹣，
将其代入y＝×得y＝×＝（0＜x＜6）；

（3）如果PG＝GH，则y＝GH＝2，
解方程：x＝0，
那GP不等于GH，则不合意义；
如果，PH＝GH＝2则可以解得：x＝2；
如果，PH＝PG，则x＝y代入可以求得：x＝，
综合上述线段PH的长是或2．

【点评】本题考查了重心的概念以及直角三角形与等腰三角形的性质．综合性比较强，有一定的难度．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC＝BC，即4﹣2t＝3，求得t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t＝，若PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2＝BF?AB，列方程32＝×5，即可得到结论．
【解答】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；

（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；

（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF?AB，
即32＝×5，
解得：t＝，
∴当时，△BCP为等腰三角形．



【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
22．如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．

【分析】（1）根据勾股定理作出以1和3直角边的三角形的斜边即可；
（2）利用勾股定理作以为边的正方形即可．
【解答】解：如图所示．

【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，熟练掌握网格结构以及勾股定理的应用是解题的关键．
23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．

【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．

【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．
24．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图2．火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理．
（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．

【分析】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）用两种方法求出梯形BCFG的面积，列出等式，即可证明；
【解答】解：（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则有b2+c2＝a2．
（2）∵S梯形BCFG＝S△AFG+S△AFC+S△ACB＝ab+ab+c2＝ab+c2，
S梯形BCFG＝?（FG+BC）?BG＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
∴ab+c2＝a2+ab+b2，
整理得：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理，勾股定理的证明等知识，解题的关键是学会用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型．
25．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
m 2 3 3 4 …
n 1 1 2 3 …
a 22+12 32+12 32+22 42+32 …
b 4 6 12 24 …
c 22﹣12 32﹣12 32﹣22 42﹣32 …
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝　m2+n2　，b＝　2mn　，c＝　m2﹣n2　．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
【分析】（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据给出的数据总结即可；
（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．
【解答】解：（1）当m＝2，n＝1时，a＝5、b＝4、c＝3，
∵32+42＝52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，
∴a2＝b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
26．如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求图中阴影部分的面积．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ADC中，
∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10米（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．
答：图中阴影部分的面积为96米2．
【点评】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．