2020年苏科新版九年级上册数学《第1章 一元二次方程》单元测试卷（解析版）

2020年苏科新版九年级上册数学《第1章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x3+x＝3 C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．一元二次方程（x+3）（x﹣3）＝5x的一次项系数是（　　）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
3．已知﹣4是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，则a的值是（　　）
A．12 B．﹣20 C．20 D．﹣12
4．方程x2＝0的解的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
5．用配方法解方程x2﹣8x+11＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x+4）2＝5 B．（x﹣4）2＝5 C．（x+8）2＝5 D．（x﹣8）2＝5
6．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　）
A． B．
C． D．
7．方程 x（x+3）＝0的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
8．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8＝0，则m2+n2＝（　　）
A．4 B．2 C．4或﹣2 D．4或2
9．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
10．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（　　）
A．﹣4 B．0 C．4 D．2
二．填空题（共8小题）
11．若（m+1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　．
12．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝x+1化为一般形式是　 　．
13．已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，那么b﹣a的值等于　 　．
14．若x2﹣9＝0，则x＝　 　．
15．规定：a?b＝（a+b）b，如：2?3＝（2+3）×3＝15，若2?x＝3，则x＝　 　．
16．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是　 　，条件是　 　．
17．方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是　 　．
18．若（a2+b2）2﹣3＝0，则代数式a2+b2的值为　 　．
三．解答题（共8小题）
19．关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13＝0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2﹣8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
21．已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．
22．解方程：（x﹣1）2＝9．
23．用配方法解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
24．解方程
①x2+2x﹣3＝0（用配方法）
②2x2+5x﹣1＝0（用公式法）
25．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．
26．已知方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0的根都是整数．求整数n的值．



2020年苏科新版九年级上册数学《第1章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x3+x＝3 C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、a＝0时，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．一元二次方程（x+3）（x﹣3）＝5x的一次项系数是（　　）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：化为一般式，得
x2﹣5x﹣9＝0，
一次项系数为﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．已知﹣4是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，则a的值是（　　）
A．12 B．﹣20 C．20 D．﹣12
【分析】把x＝﹣4代入已知方程列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．
【解答】解：∵﹣4是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，
∴（﹣4）2﹣4﹣a＝0，
解得，a＝12．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
4．方程x2＝0的解的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【分析】根据一元二次方程根的判别式，求出△的值再进行判断即可．
【解答】解：∵x2＝0，
∴△＝02﹣4×1×0＝0，
∴方程x2＝0有两个相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，当△＞0时方程有两个不相等的实数根，△＝0时方程有两个相等的实数根，△＜0时方程没有实数根．
5．用配方法解方程x2﹣8x+11＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x+4）2＝5 B．（x﹣4）2＝5 C．（x+8）2＝5 D．（x﹣8）2＝5
【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．
【解答】解：x2﹣8x+11＝0，
x2﹣8x＝﹣11，
x2﹣8x+16＝﹣11+16，
（x﹣4）2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查的是用配方法解方程，把方程的左边配成完全平方的形式，右边是非负数．
6．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】熟记求根公式x＝，进行选择即可．
【解答】解：当a≠0，b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程的求根公式为x＝，
故选：D．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，解一元二次方程的方法还有，配方法、因式分解法，要熟练掌握．
7．方程 x（x+3）＝0的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：∵x（x+3）＝0，
∴x＝0，或x+3＝0，
解得x＝0或x＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．对于一元二次方程的解法的选择，应该根据不同方程的特点选择不同的解方程的方法．
8．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8＝0，则m2+n2＝（　　）
A．4 B．2 C．4或﹣2 D．4或2
【分析】设m2+n2＝t（t≥0），原方程转化为关于t的一元二次方程t（t﹣2）﹣8＝0，通过解该方程求得t的值，即（m2+n2）的值即可．
【解答】解：设m2+n2＝t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8＝0，
整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
所以m2+n2＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
9．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．
【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；
C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
10．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（　　）
A．﹣4 B．0 C．4 D．2
【分析】根据方程的系数利用根与系数的关系找出α+β＝﹣1、α?β＝﹣2，将（α﹣2）（β﹣2）展开后代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝﹣1，α?β＝﹣2，
∴（α﹣2）（β﹣2）＝α?β﹣2（α+β）+4＝﹣2﹣2×（﹣1）+4＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出α+β＝﹣1、α?β＝﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
二．填空题（共8小题）
11．若（m+1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　﹣3或1　．
【分析】依据一元二次方程的定义可列出关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：∵（m+1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m（m+2）﹣1＝2，解得：m＝﹣3或m＝1．
当m＝3或m＝1时，m+1≠0，（m+1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
故答案为：m＝﹣3或m＝1．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
12．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝x+1化为一般形式是　x2﹣7＝0　．
【分析】把方程化为ax2+bx+c＝0的形式即可．
【解答】解：x2+3x﹣2x﹣6＝x+1，
x2+3x﹣2x﹣6﹣x﹣1＝0，
x2﹣7＝0．
故答案为：x2﹣7＝0；
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13．已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，那么b﹣a的值等于　﹣2　．
【分析】把x＝﹣1代入已知方程来求b﹣a的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx﹣2＝0，得
a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2．
所以b﹣a＝﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．若x2﹣9＝0，则x＝　±3　．
【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x＝±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方运算是解题关键．
15．规定：a?b＝（a+b）b，如：2?3＝（2+3）×3＝15，若2?x＝3，则x＝　1或﹣3　．
【分析】根据a?b＝（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x＝3，解方程即可．
【解答】解：依题意得：（2+x）x＝3，
整理，得 x2+2x＝3，
所以 （x+1）2＝4，
所以x+1＝±2，
所以x＝1或x＝﹣3．
故答案是：1或﹣3．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
16．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是　　，条件是　b2﹣4ac≥0　．
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c＝0．
【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c＝0，
移项，得ax2+bx＝﹣c
化系数为1，得x2+x＝﹣
配方，得x2+x+＝﹣+
即：（x+）2＝
当b2﹣4ac≥0时，
开方，得x+＝
解得：x＝．
故答案为：，b2﹣4ac≥0．
【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．
17．方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是　x1＝1、x2＝﹣2　．
【分析】由题已知的方程已经因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）＝0
∴x﹣1＝0或x+2＝0
∴x1＝1，x2＝﹣2，
故答案为x1＝1、x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
18．若（a2+b2）2﹣3＝0，则代数式a2+b2的值为　　．
【分析】将（a2+b2）看做一个整体后根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：令t＝a2+b2，
∴t2＝3，
∴t＝±
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝，
故答案为：
【点评】本题考查换元法解方程，解题的关键是令t＝a2+b2，注意a2+b2≥0这个隐藏条件，本题属于中等题型．
三．解答题（共8小题）
19．关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13＝0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2﹣8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
【分析】利用配方法求出m2﹣8m+19＝m2﹣8m+16+3＝（m﹣4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．
【解答】答：乙正确，
证明：m2﹣8m+19＝m2﹣8m+16+3＝（m﹣4）2+3≠0，
故可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，利用配方法得出二次项系数不为0是解题关键．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【分析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0得出m2﹣3m+2＝0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴m的值为1或2；

（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0得出：
x2+5x＝0
x（x+5）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
当m＝1时，5x＝0，
解得x＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．
21．已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝3代入x2﹣2x+a＝0可求出a的值，然后把a的值代入方程得到x2﹣2x﹣3＝0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根．
【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+a＝0中得32﹣6+a＝0，
解得a＝﹣3，
将a＝﹣3代入x2﹣2x+a＝0中得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
所以a＝﹣3，方程的另一根为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
22．解方程：（x﹣1）2＝9．
【分析】先开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：两边开方得：x﹣1＝±3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
23．用配方法解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：x2﹣4x+4＝1+4
（x﹣2）2＝5
x＝2±
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
24．解方程
①x2+2x﹣3＝0（用配方法）
②2x2+5x﹣1＝0（用公式法）
【分析】①方程常数项移到右边，两边加上1变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；
②找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：①方程变形得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4，
可得x+1＝±2，
则x1＝1，x2＝﹣3；

②这里a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∵△＝25+8＝33，
∴x＝，
则x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握解法是解本题的关键．
25．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．
【分析】首先根据已知条件可得m2﹣1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可．
【解答】解：∵m2﹣1≠0
∴m≠±1
∵△＝36（m﹣3）2＞0
∴m≠3
用求根公式可得：x1＝，x2＝
∵x1，x2是正整数
∴m﹣1＝1，2，3，6，m+1＝1，2，3，4，6，12，
解得m＝2．这时x1＝6，x2＝4．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．
26．已知方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0的根都是整数．求整数n的值．
【分析】利用求根公式求得x的值，让根的判别式为一个完全平方数，进而整理为两个因式的积为一个常数的形式，判断整数解即可．
【解答】解：原方程解得：
因为方程的根是整数，所以4n2+32n+9是完全平方数．
设4n2+32n+9＝m2（m≠0且为整数）
（2n+8）2﹣55＝m2
（2n+8+m）（2n+8﹣m）＝55，
因55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝（﹣5）×（﹣11）＝5×11，
∴，
解得：n＝10、0、﹣8、﹣18．
【点评】考查二次方程中系数的求法；一元二次方程的根均为整数，那么根的判别式为完全平方数；注意两数的积为一个正数，那么这两个数同为正数或同为负数．