人教版八年级上册 15.3 分式方程之分式方程的应用专项（含答案）

人教版八年级上册 15.3 分式方程之分式方程的应用专项
一、解答题
1．某文化用品商店用元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了.商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一次高元，商店用了元，所购数量是第一次的倍.
（1）求第一批采购的书包的单价是多少元？
（2）若商店按售价为每个书包元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
2．列分式方程解应用题.
为缓解市区至通州沿线的通勤压力，北京市政府利用既有国铁线路富余能力，通过线路及站台改造，开通了“京通号”城际动车组，每班动车组预定运送乘客1200人，为提高运输效率，“京通号”车组对动车车厢进行了改装，使得每节车厢乘坐的人数比改装前多了，运送预定数量的乘客所需要的车厢数比改装前减少了4节，求改装后每节车厢可以搭载的乘客人数.
3．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．
（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；
（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？
4．某服装店老板在武汉发现一款羽绒服，预测能畅销市场，就用a万元购进了x件.这款羽绒服面市后，果然十分畅销，很快售完.于是老板又在上海购进了同款羽绒服，所购数量比在武汉所购的数量多20%，单价贵20元，总进货款比前一次多23%.
(1)请用含a和x的代数式分别表示在武汉以及上海购进的羽绒服的单价(单位:元/件);
(2)若服装店老板两次进货共花费17.84万元，在销售这款羽绒服时每件定价都是 1200元，第二次销售后期由于天气转暖，服装还剩没有卖出，老板决定打8折销售，最后全部售完.两次销售，服装店老板共盈利多少元?
5．列方程或列方程组解应用题.
老京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁是2022年北京至张家口冬奥会的重点配套交通基础设施，全长约175千米，预计2019年底建成通车．京张高铁的预设平均速度将是老京张铁路的5倍，可以提前5个小时到达，求京张高铁的平均速度．
6．动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就分两批分别用32000元和68000元购进了这种玩具销售，其中第二批购进数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司这两批各购进多少套玩具？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部销售后总利润不少于20000元，那么每套售价至少是多少元?
7．某水果店老板用400元购进一批葡萄，由于葡萄新鲜很快售完，老板又用500元购进第二批葡萄，所购数量与第一批相同，但每千克进价比第一批贵2元.
（1）求第一批葡萄进价为每千克多少元；
（2）若老板以每千克11元的价格将两批葡萄全部售完，可以盈利多少元.
8．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．
(1)求每行驶1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
9．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
10．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
11．某中学有库存1800套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲，乙两个木工组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲木工组每天修理的桌凳套数是乙木工组每天修理桌凳套数的，甲木工组单独修理这批桌凳的天数比乙木工组单独修理这批桌凳的天数多10天，甲木工组每天的修理费用是600元，乙木工组每天的修理费用是800元．
（1）求甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数；
（2）现有三种修理方案供选择：方案一，由甲木工组单独修理这批桌凳；方案二，由乙木工组单独修理这批桌凳；方案三，由甲，乙两个木工组共同合作修理这批桌凳．请计算说明哪种方案学校付的修理费最少．
12．有甲乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买饲料价格分别为m元/千克和n元/千克，且m≠n，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？(用字母m、n表示)
(2)谁的购货方式更合算？
13．某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
①甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
③若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：规定日期是多少天？在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
14．某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
15．设,当x为何值时A与B的值相等。
16．市面上贩售的防晒产品标有防晒指数，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率，其中．
请回答下列问题：
（1）厂商宣称开发出防护率的产品，请问该产品的应标示为多少？
（2）某防晒产品文宣内容如图所示．
请根据与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．
17．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，求商场有哪几种具体的进货方案?最多可以购进乙种玩具多少件?
18．已知甲、乙两工程队每天的筑路里程之比为5：8，甲工程队筑路60千米比乙工程队筑路80千米多用10天．求甲工程队每天筑路多少千米？
19．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
20．某中学组织学生去离学校15km的农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？
参考答案
1．（1）第一批采购的书包的单价是80元．（2）销售完这两批书包，总共获利3700元．
【解析】
（1）设第一批采购的书包的单价是x元，则第二批采购的书包的单价是（x+4）元，
依题意，得：，
解得：x=80，
经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．
答：第一批采购的书包的单价是80元．
（2）第一批购进书包的数量为2000÷80=25（个），
第二批购进书包的数量为25×3=75（个）．
120×（25+75）-2000-6300=3700（元）．
答：销售完这两批书包，总共获利3700元．
2．改装后每节车厢可以搭载乘客200人.
【解析】
解：设改装前每节车厢乘坐x人，由题意得：
，解得：x＝120，
经检验：x＝120是分式方程的解，
则改装后每节车厢可以搭载的乘客人数＝120×＝200人，
答：改装后每节车厢可以搭载乘客200人.
3．（1）甲种污水处理器每小时处理污水50吨，乙种污水处理器每小时处理污水70吨；（2）该厂每个月（以30天计）需要污水处理费600000元．
【解析】
解：（1）设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，由题意得，
，
解之得，x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，所以x＝50，
x+20＝70，
答，甲种污水处理器每小时处理污水50吨，乙种污水处理器每小时处理污水70吨．
（2）30×4×50×30+30×4×70×50＝180000+420000＝600000（元），
答：该厂每个月（以30天计）需要污水处理费600000元．
4．（1）武汉购进的羽绒服：元/件，上海购进的羽绒服：元/件；（2）79840元.
【解析】
解：（1）在武汉购进的羽绒服的单价为：元/件，在上海购进的羽绒服的单价为：元/件；
（2）由，解得：，所以在武汉购进羽绒服花费8万元，在上海购进羽绒服花费9.84万元，
根据题意，得，解得：，
经检验：是所列方程的根，
所以在武汉购进的羽绒服的单价为800元/件，在上海购进的羽绒服的单价为820元/件.
所以第一次在武汉购进的羽绒服盈利为：元；
第二次在上海购进的羽绒服盈利为： 元；
所以服装店老板两次共盈利：40000+39840=79840元.
5．京张高铁的平均速度为175千米/时．
【解析】
设老京张铁路的平均速度为x千米/时，
依题意，列方程得，
解得x=35，
经检验x=35是所列方程的解，并且符合题意．
.
答：京张高铁的平均速度为175千米/时．
6．（1）200，400 ； （2）200
【解析】
（1）设动漫公司第一批购进x套玩具，则第二批购进2x套玩具，由题意得：
10，
解这个方程，得：x=200．
经检验，x=200是所列方程的根．
2x=2×200=400．
答：动漫公司第一批购进200套玩具，第二批购进400套玩具；
（2）设每套玩具的售价为y元，由题意得：
（200+400）y﹣32000﹣68000≥20000，
解这个不等式得：y≥200，
答：每套玩具的售价至少要200元．
7．26、（1）第一批每千克8元；（2）可以盈利200元.
【解析】
解：（1）设第一批葡萄进价每千克x元，则第二批葡萄的进价为（x+2）元，依题意得，
解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．答：第一批葡萄进价每千克8元．（2）由题意，得第一批的数量为：
50×2×11-（400+500）=200答：可盈利200元．
8．（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.26元．（2）至少需用电行驶74千米．
【解析】
（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，根据题意得：
=
解得：x=0.26
经检验，x=0.26是原分式方程的解，
答：每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；
（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，得：
0.26y+（﹣y）×（0.26+0.50）≤39
解得：y≥74，即至少用电行驶74千米．
9．高铁列车的平均行驶速度为270千米/时
【解析】
设普通快车的平均行驶速度为x千米/时,则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时 根据题意得 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意∴
答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时.
10．甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品
【解析】
解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
根据题意得，，
解得x=40。
经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意。
1.5x=1.5×40=60。
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品。
设甲工厂每天能加工x件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可。
11．（1）30,20；（2）第二种方案学校付的修理费最少．
【解析】
解：（1）设甲木工组单独修理这批桌凳的天数为x天，则乙木工组单独修理这批桌凳的天数为（x﹣10）天；
根据题意得，
＝×，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原方程的解．
∴x﹣10＝20．
答：甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数分别为30天，20天；
（2）方案一：甲木工组单独修理这批桌凳的总费用：600×30＝18000（元）．
方案二，乙小组单独修理，则需总费用：800×20＝16000（元）．
方案三，甲，乙两个木工组共同合作修理需12（天）
总费用：（600+800）×12＝16800（元）
通过比较看出：选择第二种方案学校付的修理费最少．
12．（1），（2）乙的购货方式更合算
【解析】
（1）解：甲两次购买饲料的平均单价为?，
乙两次购买饲料的平均单价为?
（2）解：甲、乙两次购买饲料的平均单价的差是：
∵m、n是正数，且m≠n
∴＞0，
即?＞，
∴乙的购货方式更合算．
13．6，在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款，理由见解析.
【解析】
解：设规定日期为x天．由题意得
3x+3x+6+x?3x+6=1，
3x+xx+6=1．
3（x+6）+x2＝x（x+6），
3x＝18，
解之得：x＝6．
经检验：x＝6是原方程的根．
方案（1）：1.2×6＝7.2（万元）；
方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；
方案（3）：1.2×3+0.5×6＝6.6（万元）．
∵7.2＞6.6，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
14．解：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，
由题意得，，
解得：x=4。
经检验：x=4是原方程的根。
答：打折前每本笔记本的售价为4元．
（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90﹣y）件，
由题意得，，解得：≤y≤70。
∵y为正整数，∴y可取68，69，70。
故有三种购买方案：
方案一：购买笔记本68本，购买笔袋22个；
方案二：购买笔记本69本，购买笔袋21个；
方案三：购买笔记本70本，购买笔袋20个。
15．当x=时，A与B的值相等
【解析】
由题意得分式方程,解这个分式,注意需要验根.
解:由A=B，得,
方程两边都乘以（x-2）(x+2)，去分母得x(x+2)-x2+4=3,
解得x=.
经检验x=是原方程的解.
所以当x=时，A与B的值相等.
16．（1）该产品的应标示为；（2）文宣内容不合理，理由详见解析．
【解析】
解：（1）根据题意得，，
解得，，
答：该产品的应标示为；
（2）文宣内容不合理．理由如下：
当时，其防护率为：；
当时，其防护率为：；
，
∴第二代防晒乳液比第一代防晒乳液的防护率提高了，不是提高了一倍．
∴文宣内容不合理．
故答案为：（1）该产品的应标示为；（2）文宣内容不合理，理由详见解析．
17．（1）甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；（2）共有4种方案．具体方案见解析；最多可以购进乙种玩具28件．
【解析】
（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，根据题意，得，解得x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40-x=25．答：甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，根据题意，得960＜15y+25（48-y）≤1000，解得20≤y＜24．∵y是整数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件，方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件，方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件，方案四：购进甲种玩具23件，购进乙种玩具25件，
则最多可以购进乙种玩具28件．
答：（1）甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；（2）共有4种方案．方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件，方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件，方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件，方案四：购进甲种玩具23件，购进乙种玩具25件，最多可以购进乙种玩具28件．
18．甲工程队每天筑路1千米
【解析】
解：设甲工程队每天的筑路里程为5a，那么根据比例可知乙工程队每天的筑路里程为8a，由题意得：＝10，
解得a＝0.2，
经检验：a＝0.2是原分式方程的根，
所以5a＝1，8a＝1.6，
答：甲工程队每天筑路1千米．
19．（1）该商店3月份这种商品的售价是40元；（2）该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【解析】
（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得：
，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得：（40﹣a）×=900，
解得：a=25，
∴（40×0.9﹣25）×=990（元）．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
20．先遣队的速度是6千米/时，大队的速度是5千米/时．
【解析】
设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，
，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解，
1.2x=1.2×5=6．
答：先遣队的速度是6千米/时，大队的速度是5千米/时．