人教版数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-04 17:02:54 | ||
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文档简介
17.1 勾股定理
17.1.1 勾股定理
1．在Rt△ABC中，∠C=90?，a=12，b=16，则c的长为( )
A．26 B．18 C．20 D．21
2．下列说法中正确的是( )
A．已知a，b，c是直角三角形的三边，则a?+b?=c?
B．在直角三角形中两直角边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90?，所以a?+b?=c?
D．在Rt△ABC中，∠B=90?，所以a?+b?=c?
3．如图17-1-1-1，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )
A. 5 B．6 C．7 D．25
4．在△ABC中，∠C=90?，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．
①若b=2，c=3，则a=________；
②若a：c=3：5，b=32，则a=____，c=____．
5．如图17 -1-1-2．两个较大正方形的面积分别为225 ,289．则正方形A的面积为 ( )
A．4 B．8 C．16 D．64
6．图17-1-1-3是美国总统Garfie1d于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请你写出证明过程（提示：图中三个三角形均是直角三角形）．
能力提升全练
1．如图17 -1-1-4，点P是平面直角坐标系中一点，则点P到原点的距离是 ( )
A．3 B． C． D．
2．如图17 -1-1—5，在Rt△ABC中，∠C=90?，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ( )
A．225 B．200 C．250 D．150
3．已知x、y为正数，且|x?-4|+（y?-3）?=0，如果以x、y为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为 ( )
A.5 B.25 C.7 D．15
4．如图17-1-1-6，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图17-1-1-7，大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则AC边上的高为________.
三年模拟全练
一、选择题
1．已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为 ( )
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
2．一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上的高为 ( )
A．13 B． C． D．
3．）如图17 -1-1-8，在△ABC中，AB=5，AC=4，∠A=60?，若边AC的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则△BDC的周长为 ( )
A．8 B．9 C．5+ D．5+
二、填空题
4．若一个直角三角形的面积为6 cm?，斜边长为5 cm，则该直角三角形的周长为_____cm.
五年中考模拟
一、选择题
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图17-1-1-9所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A.9 B.6 C.4 D．3
3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图17-1-1-10所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)?=21．大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．如图17-1-1-11，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为________.
5．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC．则BC的长为________.
三、解答题
6．如图17-1-1-12，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积，某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你柠照他们的解题思路完成解答过程．
核心素养全练
1．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图17-1-1-13①），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图17-1-1-13②），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是 ( )
A．13 B．14 C．15 D．16
2．如图17-1-1-14所示，把多块大小不同的含30?角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为(0，1)，∠ABO=30?;第二块三角板的斜边BB?与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B?；第三块三角板的斜边B?B?与第二块三角板的斜边BB?垂直且交x轴于点B?；第四块三角板的斜边B?B?与第三块三角板的斜边B?B?垂直且交y轴于点B?；……按此规律继续下去，则点B????的坐标为______．
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
17.1.1勾股定理
1.C因为∠C=90?，所以c是斜边，由勾股定理，得c==20.
2．C在直角三角形中，斜边的平方等于其他两边的平方和，而斜边所对的角为直角，选项A中哪条边是直角边和斜边不确定，故错误；选项B对勾股定理的内容叙述错误，应是两直角边的平方和，不是两直角边和的平方，故错误；选项D中∠B的对边是斜边，即b是斜边，三边关系应该是a?+c?=b?，故错误，故选C．
3.A根据题图，利用勾股定理可得AB==5，故选A．
4．答案① ②24；40
解析①a?+b?=c?，∴a=．
∴a=．
②设a=3x，c=5x(x＞0)，∵a?+b?=c?,
∴(3x)?+32?=(5x)?，解得x=8．
∴a=24．c=40．
5．D 如图，∵正方形PQED的面积等于225．
∴PQ?=225，
∵正方形PRCF的面积为289．
∴PR?=289．
又△PQR为直角三角形，根据勾
股定理得PR?=PQ?+QR?，
∴QR?=PR?-PQ?=289-225=64,
则S正方形MNRQ=QR?=64.
故选D．
6．解析能：证明：根据面积法，有(a+b)?（a+b）=ab+ab+c?，化简得a?+b?=c?．
1.A如图，连接PO，∵点P的坐标是（），∴点P到原点的距离为=3．故选A．
2.A 正方形ADEC的面积为AC?，正方形BCFG的面积为BC?．在Rt△ABC中．AB?=AC?+BC?，AB=15，则AC?+BC?=225．故选A．
3．C依题意得x?-4=O，y?-3=0，∵x＞0，y＞0，∴x=2，y=，∴斜边长为,所以正方形的面积为（）?=7．故选C．
4．C ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC,
在Rt△ABD中，∵AD?+BD?=AB?，
∴AD==4，故选C．
5．答案
解析S△ABC=2×2-×2×1-÷×1×1-×2×1=.
由勾股定理得AC=，
∴AC边上的高为.
一、选择题
1．C设Rt △ABC的第三边长为x(x＞0)．①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，此时这个三角形的周长为3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时．x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长为3+4+=7+，故选C．
2．C ∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴斜边长为=13，
∴斜边上的高为，故选C．
3．C过点G作CM⊥AB，垂足为M．在Rt△AMC中，∵∠A=60?．AC=4，∴AM=2，∴MC=2，∴BM=AB-AM=3．在Rt△BMC中，BC=,∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AD=DC，又∵∠A=60?，∴△ADC是等边三角形，∴CD=AD=AC=4，
∴△BDC的周长为DB+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=5+．故选C．
二、填空题
4．答案12
解析 设直角三角形的两直角边长分别为a cm、b cm，则ab=6，即ab=12，
由勾股定理得，a?+b?=25，则（a+b）?-2ab=25，
解得a+b=7（a+b=-7舍去），
∴该直角三角形的周长为a+b+c=12 cm．
一、选择题
1．A ∵三角形为直角三角形，∴三边满足勾股定理，∴弦为=5．
2．D因为ab=8，所以三角形的面积为ab=4，则小正方形的面积为25-4×4=9，所以小正方形的边长为3．
3．C ∵大正方形的面积为13，
∴a?+b?=13,
∵(a+b)?=21,∴a?+2ab+b?=21,
∴13+2ab=21,∴2ab=8,
∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴4S直角三角形=4×ab=2ab=8，
∴S小正方形=S大正方形-4S直角三角形=13-8=5，故选C．
二、填空题
4．答案 3
解析因为CM⊥OB，OC=5，OM=4，所以由勾股定理，得CM=3,过点C作CN⊥OA于N，又因为OC为∠AOB的平分线，所以CN=CM=3．即点C到射线OA的距离为3．
5．答案2或2
解析分两种情况：
(1)当△ABC是锐角三角形时，如图①，
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90?,
∵CD=，AD=1,∴AC=2,
∵AB=2AC，∴AB=4，
∴BD=4-1=3．
∴BC=.
(2)当△ABC是钝角三角形时，如图②，
同理得AC=2．AB=4，则BD=5，
∴BC=．
综上所述，BC的长为或.
三、解答题
6．解析作AD⊥BC于点D,
设BD=x,则CD=14-x.
由勾股定理得AD?=AB?-BD?=15?-x?，
AD?=AC?-CD?=13?-(14-x)?,
∴15?-x?=13?-(14-x)?，解得x=9，∴AD=12．
∴S△ABC=BC·AD=×14×12=84.
1.B按照题中定义跳马变换规则，由顶点M跳到顶点N，尽可能减少路线中的曲折，尽量沿直线进行跳马变换，据此，可以发现如图所示的线路①、②路程最短（最短路线不止两条）．由勾股定理，易得MB?=MB=，B?C?=BC=，C?D?+D?N=CD+DN=，故线路①或②的总长=，此时跳马变换所需的次数为=14，故选B．
2．答案（O，-（）????）
解析 ∵点A的坐标为(0，1)，∴OA=1，在Rt△AOB中，∠AB0=30?,∴AB=2．
由勾股定理，得OB=．
在Rt△B?OB中，∠BB?0=30?，∴B?B=20B=2，由勾股定
理，得OB?=．
在Rt△B?OB?中，∠B?B?O=30?，∴B?B?=20B?=6，由勾股定
理，得OB?=．
在Rt△B?OB?中，∠B?B?O=30?，∴B?B?=2OB?=6，由勾
股定理，得OB?=．
同理，OB?=；
OB?=27=()?；OB?=（）?；
……
OBn=（）n+1．
且点Bn的位置每四次循环一次，∵2017÷4=504……1，
∴点B????与B?一样，同在y轴负半轴上，
∴B????(0，-()????)．
17.1.1 勾股定理
1．在Rt△ABC中，∠C=90?，a=12，b=16，则c的长为( )
A．26 B．18 C．20 D．21
2．下列说法中正确的是( )
A．已知a，b，c是直角三角形的三边，则a?+b?=c?
B．在直角三角形中两直角边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90?，所以a?+b?=c?
D．在Rt△ABC中，∠B=90?，所以a?+b?=c?
3．如图17-1-1-1，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )
A. 5 B．6 C．7 D．25
4．在△ABC中，∠C=90?，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．
①若b=2，c=3，则a=________；
②若a：c=3：5，b=32，则a=____，c=____．
5．如图17 -1-1-2．两个较大正方形的面积分别为225 ,289．则正方形A的面积为 ( )
A．4 B．8 C．16 D．64
6．图17-1-1-3是美国总统Garfie1d于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请你写出证明过程（提示：图中三个三角形均是直角三角形）．
能力提升全练
1．如图17 -1-1-4，点P是平面直角坐标系中一点，则点P到原点的距离是 ( )
A．3 B． C． D．
2．如图17 -1-1—5，在Rt△ABC中，∠C=90?，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ( )
A．225 B．200 C．250 D．150
3．已知x、y为正数，且|x?-4|+（y?-3）?=0，如果以x、y为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为 ( )
A.5 B.25 C.7 D．15
4．如图17-1-1-6，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图17-1-1-7，大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则AC边上的高为________.
三年模拟全练
一、选择题
1．已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为 ( )
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
2．一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上的高为 ( )
A．13 B． C． D．
3．）如图17 -1-1-8，在△ABC中，AB=5，AC=4，∠A=60?，若边AC的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则△BDC的周长为 ( )
A．8 B．9 C．5+ D．5+
二、填空题
4．若一个直角三角形的面积为6 cm?，斜边长为5 cm，则该直角三角形的周长为_____cm.
五年中考模拟
一、选择题
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图17-1-1-9所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A.9 B.6 C.4 D．3
3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图17-1-1-10所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)?=21．大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．如图17-1-1-11，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为________.
5．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC．则BC的长为________.
三、解答题
6．如图17-1-1-12，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积，某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你柠照他们的解题思路完成解答过程．
核心素养全练
1．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图17-1-1-13①），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图17-1-1-13②），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是 ( )
A．13 B．14 C．15 D．16
2．如图17-1-1-14所示，把多块大小不同的含30?角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为(0，1)，∠ABO=30?;第二块三角板的斜边BB?与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B?；第三块三角板的斜边B?B?与第二块三角板的斜边BB?垂直且交x轴于点B?；第四块三角板的斜边B?B?与第三块三角板的斜边B?B?垂直且交y轴于点B?；……按此规律继续下去，则点B????的坐标为______．
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
17.1.1勾股定理
1.C因为∠C=90?，所以c是斜边，由勾股定理，得c==20.
2．C在直角三角形中，斜边的平方等于其他两边的平方和，而斜边所对的角为直角，选项A中哪条边是直角边和斜边不确定，故错误；选项B对勾股定理的内容叙述错误，应是两直角边的平方和，不是两直角边和的平方，故错误；选项D中∠B的对边是斜边，即b是斜边，三边关系应该是a?+c?=b?，故错误，故选C．
3.A根据题图，利用勾股定理可得AB==5，故选A．
4．答案① ②24；40
解析①a?+b?=c?，∴a=．
∴a=．
②设a=3x，c=5x(x＞0)，∵a?+b?=c?,
∴(3x)?+32?=(5x)?，解得x=8．
∴a=24．c=40．
5．D 如图，∵正方形PQED的面积等于225．
∴PQ?=225，
∵正方形PRCF的面积为289．
∴PR?=289．
又△PQR为直角三角形，根据勾
股定理得PR?=PQ?+QR?，
∴QR?=PR?-PQ?=289-225=64,
则S正方形MNRQ=QR?=64.
故选D．
6．解析能：证明：根据面积法，有(a+b)?（a+b）=ab+ab+c?，化简得a?+b?=c?．
1.A如图，连接PO，∵点P的坐标是（），∴点P到原点的距离为=3．故选A．
2.A 正方形ADEC的面积为AC?，正方形BCFG的面积为BC?．在Rt△ABC中．AB?=AC?+BC?，AB=15，则AC?+BC?=225．故选A．
3．C依题意得x?-4=O，y?-3=0，∵x＞0，y＞0，∴x=2，y=，∴斜边长为,所以正方形的面积为（）?=7．故选C．
4．C ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC,
在Rt△ABD中，∵AD?+BD?=AB?，
∴AD==4，故选C．
5．答案
解析S△ABC=2×2-×2×1-÷×1×1-×2×1=.
由勾股定理得AC=，
∴AC边上的高为.
一、选择题
1．C设Rt △ABC的第三边长为x(x＞0)．①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，此时这个三角形的周长为3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时．x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长为3+4+=7+，故选C．
2．C ∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴斜边长为=13，
∴斜边上的高为，故选C．
3．C过点G作CM⊥AB，垂足为M．在Rt△AMC中，∵∠A=60?．AC=4，∴AM=2，∴MC=2，∴BM=AB-AM=3．在Rt△BMC中，BC=,∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AD=DC，又∵∠A=60?，∴△ADC是等边三角形，∴CD=AD=AC=4，
∴△BDC的周长为DB+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=5+．故选C．
二、填空题
4．答案12
解析 设直角三角形的两直角边长分别为a cm、b cm，则ab=6，即ab=12，
由勾股定理得，a?+b?=25，则（a+b）?-2ab=25，
解得a+b=7（a+b=-7舍去），
∴该直角三角形的周长为a+b+c=12 cm．
一、选择题
1．A ∵三角形为直角三角形，∴三边满足勾股定理，∴弦为=5．
2．D因为ab=8，所以三角形的面积为ab=4，则小正方形的面积为25-4×4=9，所以小正方形的边长为3．
3．C ∵大正方形的面积为13，
∴a?+b?=13,
∵(a+b)?=21,∴a?+2ab+b?=21,
∴13+2ab=21,∴2ab=8,
∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴4S直角三角形=4×ab=2ab=8，
∴S小正方形=S大正方形-4S直角三角形=13-8=5，故选C．
二、填空题
4．答案 3
解析因为CM⊥OB，OC=5，OM=4，所以由勾股定理，得CM=3,过点C作CN⊥OA于N，又因为OC为∠AOB的平分线，所以CN=CM=3．即点C到射线OA的距离为3．
5．答案2或2
解析分两种情况：
(1)当△ABC是锐角三角形时，如图①，
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90?,
∵CD=，AD=1,∴AC=2,
∵AB=2AC，∴AB=4，
∴BD=4-1=3．
∴BC=.
(2)当△ABC是钝角三角形时，如图②，
同理得AC=2．AB=4，则BD=5，
∴BC=．
综上所述，BC的长为或.
三、解答题
6．解析作AD⊥BC于点D,
设BD=x,则CD=14-x.
由勾股定理得AD?=AB?-BD?=15?-x?，
AD?=AC?-CD?=13?-(14-x)?,
∴15?-x?=13?-(14-x)?，解得x=9，∴AD=12．
∴S△ABC=BC·AD=×14×12=84.
1.B按照题中定义跳马变换规则，由顶点M跳到顶点N，尽可能减少路线中的曲折，尽量沿直线进行跳马变换，据此，可以发现如图所示的线路①、②路程最短（最短路线不止两条）．由勾股定理，易得MB?=MB=，B?C?=BC=，C?D?+D?N=CD+DN=，故线路①或②的总长=，此时跳马变换所需的次数为=14，故选B．
2．答案（O，-（）????）
解析 ∵点A的坐标为(0，1)，∴OA=1，在Rt△AOB中，∠AB0=30?,∴AB=2．
由勾股定理，得OB=．
在Rt△B?OB中，∠BB?0=30?，∴B?B=20B=2，由勾股定
理，得OB?=．
在Rt△B?OB?中，∠B?B?O=30?，∴B?B?=20B?=6，由勾股定
理，得OB?=．
在Rt△B?OB?中，∠B?B?O=30?，∴B?B?=2OB?=6，由勾
股定理，得OB?=．
同理，OB?=；
OB?=27=()?；OB?=（）?；
……
OBn=（）n+1．
且点Bn的位置每四次循环一次，∵2017÷4=504……1，
∴点B????与B?一样，同在y轴负半轴上，
∴B????(0，-()????)．