人教版数学八年级下册17.1.2 勾股定理的应用同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册17.1.2 勾股定理的应用同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-04 17:03:37 | ||
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文档简介
17.1.2 勾股定理的应用
1．如图17-1-2-1．小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为_______m．
2．现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．下图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了______米的草坪，只为少走______米的路．
3．2017年9月3日21时30分，台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏．台风“玛娃”将一棵竖直9米高的参天古树吹折（如图17-1-2-3），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度．
4．如图17-1-2-4所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ( )
A．-1- B．1- C．- D．-1+
5．如图17-1-2-5，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1．每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为3，2，．
能力提升全练
1．国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分——西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时，张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图17-1-2-6，张明家（记作A）在成都东站(记作B)南偏西300的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60?的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为 ( )
A．6000米 B．5000米 C．4000米 D．2000米
2．如图17-1-2-7所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90?，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为 ( )
A．6 B．3 C．2 D．
3．如图17-1-2-8，长方体的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，12 cm．则BD′=________.
三年模拟全练
一、选择题
1．如图17-1-2-9，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了 ( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
2．小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在如图17-1-2-10所示的数轴上的2个单位长度的位置找到一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段CD，CD长为3个单位长度，以原点D为圆心，OC长为半径作弧，交数轴（原点右侧）于一点，则该点位置大致在数轴上 ( )
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
3．图17-1-2-11为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_______米 ( )
A．4 B．8 C．9 D．7
二、填空题
4．如图17-1-2-12，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_______m．
三、解答题
5．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图17-1-2-13中AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5 km，CA=1.5 km，DB=1.0 km，问：图书室E应该建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？
五年中考全练
一、选择题
1．如图17-1-2-14，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB=1，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为 ( )
A．3 B． C． D．
2．如图17-1-2-15，长方形纸片ABCD中，AD=4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O．若AO=5 cm，则AB的长为 ( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
二、填空题
3．如图17-1-2-16，在Rt△ABC中，∠C=90?，AC=3，BC=5，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是____________．
4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图17-1-2-17所示，△ABC中，∠ACB=90?，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为__________．
5．为了比较+1与的大小，可以构造如图17-1-2-18所示的图形进行推算，其中∠C=90?，BC=3，点D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1______．（填“＞”“＜”或“=”）
三、解答题
6．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图17-1-2-19，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60。方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30?方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
核心素养全练
1．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在如图17-1-2-20所示的5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R?，R?，R?，其行经位置如图与表所示：
路径 编号 图例 行经位置
第一条路径 R? - A→C→D→B
第二条路径 R? … A→E→D→F→B
第三条路径 R? - A→G→B
已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R?，R?，R?，这三条路径中，最长与最短的路径分别为哪条．请写出你的答案，并说明理由．
2．如图17-1-2-21，李大叔承包了一个长方形养鱼池，已知其面积为48 m?，对角线长为10 m，为建起栅栏，要计算这个长方形养鱼池的周长，你能帮他算一算吗？
3．如图17-1-2-22，牧童在A处放羊，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=400 m，BD=200 m．CD=800 m．牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
17.1.2勾股定理的应用
1．答案17
解析如图，设旗杆的高度为x（x＞0）m，由题意可知AC=AD=x m，AB=（x-2）m，过点C作CB⊥AD于点B，则BC=8 m，在Rt△ABC中．AB?+BC?=AC?，即（x-2）?+8?=x?，解得x=17，即旗杆的高度为17 m．
2．答案50；20
解析在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米，
∴AC==50米，
∴30+40-50=20米，
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
3．解析 设断裂处距树底的高度为茹米，则树尖距断裂处为（9-x）米，
由勾股定理得x?+6?=（9-x）?，
解得x=．
故断裂处距树底的高度是米．
4．A 如图，点A在以D为圆心，OB长为半径的圆上，在直角△BOC中，OC=2，BC=1，根据勾股定理得OB=，
∴OA=DB=，∴a=-1-．选A．
5．解析由于（2）?=8=2?+2?，因此可以构造一个两直角边：长均为2的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是2.要构造一条长度为的线段，可构造一个直角边长分别为2和1的直角三角形，然后通过平移线段得到三角形.
1．B如图，连接AC．
依题意得∠ABC=90?，AB=4000米，BC=3000米，
由勾股定理，得AC==5000（米）．故选B．
2.C ∵BC=3,AB=6,∠BCA=90?,
∴AC==3，
由翻折的性质得．AE=DE,AB=BD=6,
∴CD=BD-BC=6-3=3,CE=3-DE,
在Rt△CDE中,CD?+CE?=DE?,
即3?+(3-DE)?=DE?，解得DE=2．
3．答案13 cm
解析 连接BD,则BD==5( cm)，
故在Rt△BDD′中，BD′==13(cm).
一、选择题
1.A在Rt△ACD中，AC=AB=4m,CD=3 cm,
根据勾股定理，得AD==5 cm，
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2 cm.
故橡皮筋被拉长了2 cm.故选A．
2.B 由勾股定理得，0C=，∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选B．
3．D 由勾股定理得楼梯的水平宽度为=4米，
∴地毯的长度至少是3+4=7米．故选D．
二、填空题
4．答案 2.2
解析 如图,在 Rt△ACB中,∵∠ACB=90?,BC=0.7 m,AC=2.4 m,∴AB?=0.7?+2.4?=6.25.
在 Rt△A′BD中 , ∵∠A′DB=90?,A′D=2 m,BD?+A′D?=A′B?,∴BD?+2?=6.25 ,
∴BD?=2.25,∵BD＞0，∴BD=1.5m，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2（m）.
三、解答题
5．解析 设AE=x km，则EB=（2.5-x）km，
∵AC?+AE?=EC?,BE?+DB?=ED?,EC=DE,
∴AC?+AE?=BE?+DB?,
∴1.5?+x?=（2.5-x）?+1?，解得x=1．
答：图书室E应该建在距A点1 km处，才能使它到两所学校的距离相等．
一、选择题
1.D ∵AB⊥OA于A，∴∠OAB=90?，在Rt△OAB中，由勾股定理得OB=,∴OC=OB=．故选D．
2.C ∵四边形ABCD为长方形，AD=4 cm,∴BC=AD=4 cm,∠B=∠D=90?，由题意可得△ACE≌△ACB,∴CE=BC=4 cm, ∠E=∠B=90?，在△AOD和△COE中，∠E=∠D,∠AOD=∠COE,AD=CE,∴△AOD≌△COE, ∴AO=CO=5 cm,在Rt△COE中，根据勾股定理可得OE==3 cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm,∴AB=AE=8 cm．故选C．
二、填空题
3．答案1.6
解析 连接AD，由题意可知AD=BD,
设CD=x,则AD=BD=5-x,
在Rt△ACD中,AC=3，由勾股定理得，CD?+AC?=AD?，
即x?+3?=(5-x)?，解得x=1.6．
4．答案x?+9=（10-x）?
解析 根据AC+AB=10，AC=x，得AB=10-x，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB?=AC?+BC?．代入数据即可得到：x?+9=（10-x）?．
5．答案 ＞
解析 由BC=3．点D在BC上且BD=AC=1得DC=2，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=，同理得AB=，在△ABD中，由三角形三边的关系得AD+ BD＞AB，即+1＞．
三、解答题
6．解析 (1)如图，过点B作BC⊥AB，交AP于点C，过点A作AD∥BC，则∠ACB=∠CAD=60?，∴∠APB=∠ACB-∠CBP=60?-30?=30?．
(2)过点P作PE⊥AB的延长线，垂足为E，
∵∠PAB=30?，∠APB=30?，∴BP=AB=50×1=50海里，
在Rt△BPE中，∠PBE=60?，∴BE==25海里.
在Rt△BPE中，由勾股定理得PE=海里，∴25＞25，∴海监船能继续向正东方向航行，没有触礁的危险．
1．解析 第一条路径的长度为，
第二条路径的长度为+1．
第三条路径的长度为，
∵,
∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B．
2．解析 设长方形的长为x m，宽为y m，其中x＞0，y＞0．
则有
由②式，得(x+y)?-2xy=100．③
将①式代入③式，得(x+y)?-2×48=100，
∴(x+y)?=196=14?，∴x+y=14，∴长方形的周长为28 m．
3．解析如图，作点4关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，在点E处饮水，所走路程最短．
理由如下：
在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI，AE，BI，GI.
∵点G．A关于直线CD对称，
∴AI=GI，AE=GE，
∴AI+BI=GI+BI,AE+BE=GE+BE.
由“两点之间线段最短”和“三角形中两边之和大于第三边”
可得GI+BI＞GB=AE+BE,∴最短路程为GB的长，过点B作CD的垂线，过点G作BD的垂线，交于点H.
在直角三角形GHB中．GH=CD=800 m，BH=BD+DH=BD+GC=BD+AC=200+400=600 m,
由勾股定理，得GB?=GH?+BH?=800?+600?=1000000．
∴GB=1000 m．即最短路程为1000 m．
1．如图17-1-2-1．小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为_______m．
2．现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．下图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了______米的草坪，只为少走______米的路．
3．2017年9月3日21时30分，台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏．台风“玛娃”将一棵竖直9米高的参天古树吹折（如图17-1-2-3），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度．
4．如图17-1-2-4所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ( )
A．-1- B．1- C．- D．-1+
5．如图17-1-2-5，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1．每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为3，2，．
能力提升全练
1．国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分——西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时，张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图17-1-2-6，张明家（记作A）在成都东站(记作B)南偏西300的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60?的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为 ( )
A．6000米 B．5000米 C．4000米 D．2000米
2．如图17-1-2-7所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90?，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为 ( )
A．6 B．3 C．2 D．
3．如图17-1-2-8，长方体的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，12 cm．则BD′=________.
三年模拟全练
一、选择题
1．如图17-1-2-9，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了 ( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
2．小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在如图17-1-2-10所示的数轴上的2个单位长度的位置找到一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段CD，CD长为3个单位长度，以原点D为圆心，OC长为半径作弧，交数轴（原点右侧）于一点，则该点位置大致在数轴上 ( )
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
3．图17-1-2-11为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_______米 ( )
A．4 B．8 C．9 D．7
二、填空题
4．如图17-1-2-12，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_______m．
三、解答题
5．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图17-1-2-13中AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5 km，CA=1.5 km，DB=1.0 km，问：图书室E应该建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？
五年中考全练
一、选择题
1．如图17-1-2-14，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB=1，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为 ( )
A．3 B． C． D．
2．如图17-1-2-15，长方形纸片ABCD中，AD=4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O．若AO=5 cm，则AB的长为 ( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
二、填空题
3．如图17-1-2-16，在Rt△ABC中，∠C=90?，AC=3，BC=5，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是____________．
4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图17-1-2-17所示，△ABC中，∠ACB=90?，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为__________．
5．为了比较+1与的大小，可以构造如图17-1-2-18所示的图形进行推算，其中∠C=90?，BC=3，点D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1______．（填“＞”“＜”或“=”）
三、解答题
6．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图17-1-2-19，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60。方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30?方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
核心素养全练
1．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在如图17-1-2-20所示的5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R?，R?，R?，其行经位置如图与表所示：
路径 编号 图例 行经位置
第一条路径 R? - A→C→D→B
第二条路径 R? … A→E→D→F→B
第三条路径 R? - A→G→B
已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R?，R?，R?，这三条路径中，最长与最短的路径分别为哪条．请写出你的答案，并说明理由．
2．如图17-1-2-21，李大叔承包了一个长方形养鱼池，已知其面积为48 m?，对角线长为10 m，为建起栅栏，要计算这个长方形养鱼池的周长，你能帮他算一算吗？
3．如图17-1-2-22，牧童在A处放羊，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=400 m，BD=200 m．CD=800 m．牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
17.1.2勾股定理的应用
1．答案17
解析如图，设旗杆的高度为x（x＞0）m，由题意可知AC=AD=x m，AB=（x-2）m，过点C作CB⊥AD于点B，则BC=8 m，在Rt△ABC中．AB?+BC?=AC?，即（x-2）?+8?=x?，解得x=17，即旗杆的高度为17 m．
2．答案50；20
解析在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米，
∴AC==50米，
∴30+40-50=20米，
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
3．解析 设断裂处距树底的高度为茹米，则树尖距断裂处为（9-x）米，
由勾股定理得x?+6?=（9-x）?，
解得x=．
故断裂处距树底的高度是米．
4．A 如图，点A在以D为圆心，OB长为半径的圆上，在直角△BOC中，OC=2，BC=1，根据勾股定理得OB=，
∴OA=DB=，∴a=-1-．选A．
5．解析由于（2）?=8=2?+2?，因此可以构造一个两直角边：长均为2的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是2.要构造一条长度为的线段，可构造一个直角边长分别为2和1的直角三角形，然后通过平移线段得到三角形.
1．B如图，连接AC．
依题意得∠ABC=90?，AB=4000米，BC=3000米，
由勾股定理，得AC==5000（米）．故选B．
2.C ∵BC=3,AB=6,∠BCA=90?,
∴AC==3，
由翻折的性质得．AE=DE,AB=BD=6,
∴CD=BD-BC=6-3=3,CE=3-DE,
在Rt△CDE中,CD?+CE?=DE?,
即3?+(3-DE)?=DE?，解得DE=2．
3．答案13 cm
解析 连接BD,则BD==5( cm)，
故在Rt△BDD′中，BD′==13(cm).
一、选择题
1.A在Rt△ACD中，AC=AB=4m,CD=3 cm,
根据勾股定理，得AD==5 cm，
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2 cm.
故橡皮筋被拉长了2 cm.故选A．
2.B 由勾股定理得，0C=，∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选B．
3．D 由勾股定理得楼梯的水平宽度为=4米，
∴地毯的长度至少是3+4=7米．故选D．
二、填空题
4．答案 2.2
解析 如图,在 Rt△ACB中,∵∠ACB=90?,BC=0.7 m,AC=2.4 m,∴AB?=0.7?+2.4?=6.25.
在 Rt△A′BD中 , ∵∠A′DB=90?,A′D=2 m,BD?+A′D?=A′B?,∴BD?+2?=6.25 ,
∴BD?=2.25,∵BD＞0，∴BD=1.5m，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2（m）.
三、解答题
5．解析 设AE=x km，则EB=（2.5-x）km，
∵AC?+AE?=EC?,BE?+DB?=ED?,EC=DE,
∴AC?+AE?=BE?+DB?,
∴1.5?+x?=（2.5-x）?+1?，解得x=1．
答：图书室E应该建在距A点1 km处，才能使它到两所学校的距离相等．
一、选择题
1.D ∵AB⊥OA于A，∴∠OAB=90?，在Rt△OAB中，由勾股定理得OB=,∴OC=OB=．故选D．
2.C ∵四边形ABCD为长方形，AD=4 cm,∴BC=AD=4 cm,∠B=∠D=90?，由题意可得△ACE≌△ACB,∴CE=BC=4 cm, ∠E=∠B=90?，在△AOD和△COE中，∠E=∠D,∠AOD=∠COE,AD=CE,∴△AOD≌△COE, ∴AO=CO=5 cm,在Rt△COE中，根据勾股定理可得OE==3 cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm,∴AB=AE=8 cm．故选C．
二、填空题
3．答案1.6
解析 连接AD，由题意可知AD=BD,
设CD=x,则AD=BD=5-x,
在Rt△ACD中,AC=3，由勾股定理得，CD?+AC?=AD?，
即x?+3?=(5-x)?，解得x=1.6．
4．答案x?+9=（10-x）?
解析 根据AC+AB=10，AC=x，得AB=10-x，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB?=AC?+BC?．代入数据即可得到：x?+9=（10-x）?．
5．答案 ＞
解析 由BC=3．点D在BC上且BD=AC=1得DC=2，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=，同理得AB=，在△ABD中，由三角形三边的关系得AD+ BD＞AB，即+1＞．
三、解答题
6．解析 (1)如图，过点B作BC⊥AB，交AP于点C，过点A作AD∥BC，则∠ACB=∠CAD=60?，∴∠APB=∠ACB-∠CBP=60?-30?=30?．
(2)过点P作PE⊥AB的延长线，垂足为E，
∵∠PAB=30?，∠APB=30?，∴BP=AB=50×1=50海里，
在Rt△BPE中，∠PBE=60?，∴BE==25海里.
在Rt△BPE中，由勾股定理得PE=海里，∴25＞25，∴海监船能继续向正东方向航行，没有触礁的危险．
1．解析 第一条路径的长度为，
第二条路径的长度为+1．
第三条路径的长度为，
∵,
∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B．
2．解析 设长方形的长为x m，宽为y m，其中x＞0，y＞0．
则有
由②式，得(x+y)?-2xy=100．③
将①式代入③式，得(x+y)?-2×48=100，
∴(x+y)?=196=14?，∴x+y=14，∴长方形的周长为28 m．
3．解析如图，作点4关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，在点E处饮水，所走路程最短．
理由如下：
在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI，AE，BI，GI.
∵点G．A关于直线CD对称，
∴AI=GI，AE=GE，
∴AI+BI=GI+BI,AE+BE=GE+BE.
由“两点之间线段最短”和“三角形中两边之和大于第三边”
可得GI+BI＞GB=AE+BE,∴最短路程为GB的长，过点B作CD的垂线，过点G作BD的垂线，交于点H.
在直角三角形GHB中．GH=CD=800 m，BH=BD+DH=BD+GC=BD+AC=200+400=600 m,
由勾股定理，得GB?=GH?+BH?=800?+600?=1000000．
∴GB=1000 m．即最短路程为1000 m．