人教版数学八年级下册18.2.1 矩形同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册18.2.1 矩形同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-04 17:29:39 | ||
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文档简介
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
基础闯关全练
1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
3．如图18-2-1-1．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1.
4．如图18-2-1-2，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AB=1，∠AOB=60?，则AD=_______.
5．如图18-2-1-3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______.
6．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D.测量三个角是不是直角
7．如图18-2-1-4，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．当∠ABC=90?时，它是矩形 D.AC与BD互相平分
能力提升全练
1．如图18-2-1-5，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC=62?．则∠DFE的度数为（ ）
A．31? B．28? C．62? D．56?
2．如图18-2-1-6，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为_______．
3．如图18-2-1-7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值是_______.
三年模拟全练
一、选择题
1．八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图18-2-1-8．计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（ ）
A．48盆 B．49盆 C．50盆 D．51盆
2．如图18-2-1-9，已知在矩形ABCD中，AC与BD相交于D，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15?，则∠COE的度数为（ ）
A．75? B．85? C．90? D．65?
3．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．如图18-2-1-10．在△ABC中，∠C=90?，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
二、填空题
5．如图18-2-1-11，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，可添加的条件是___________.
6．如图18-2-1-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD=5．则EF的长为_________.
三、解答题
7．如图18-2-1-13，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.
(1)求证：BD=CD；
(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
五年中考全练
一、选择题
1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
二、填空题
2．如图18-2-1-14，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，AB=6，D是AB的中点，则CD=________．
3．如图18-2-1-15，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________．
4．如图18-2-1-16，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是矩形．
5．如图18-2-1-17，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50?，则∠BEF的度数为________.
三、解答题
6．如图18-2-1-18，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB=AF；
(2)若AG=AB，∠BCD=120?，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
核心素养全练
1．阅读以下材料，然后解答下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图18-2-1-19①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”：
(2)如图18-2-1-19②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90?．在图18-2-1-19②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图18-2-1-19③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
2．长与宽之比为：1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：
(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图18-2-1-20所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明．
(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE(如图18-2-1-21甲)；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG(如图18-2-1-21乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图18-2-1-21丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由．
(3)不难发现：将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长．
18.2特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
1．D添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABCD是矩形，故选D．
2．C矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
3．A因为矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，所以AC=20A=4，BD=AC，所以BD的长为4．
4．答案
解析 ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠BAD=90?，∴AO=BO,
∵∠AOB=60?，∴AO=BO=AB=1.
∴BD=2,∴AD=．
5．答案10
解析 ∵AD⊥BC，E为AC的中点，
∴DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴AC=2DE=10.
又AB=AC,∴ AB=10.
6．D根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形．
7.B因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AC与BD互相平分，当∠ABC=90?时，它是矩形，所以选项A、C、D中结论正确，故选B．
1．D∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90?，
∴∠FDB=90?-∠BDC=90?-62?=28?,
∵AD∥BC,∴ ∠CBD=∠FDB=28?，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠,∴∠FBD=∠CBD=28?，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28?+28?=56?.
2．答案
解析如图，连接AE，由作图可知MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90?．
∴在Rt△ADE中,AD=，
∴在Rt△ADC中，AC=.
3．答案4
解析 如图，设点P到AB的距离是h，则AB?h=AB?AD，即×4h=×4×3,∴h=2，可见点P是直线EF(EF∥AB,且EF与AB间的距离是2)上的动点，作点B关于EF的对称点B′，连接AB′交EF于点P，则此时PA+PB的值最小，最小值为AB′=．
一、选择题
1．A ∵矩形的对角线互相平分且相等，∴一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点,∴还需要从花房运来红花49-1=48盆，故选A．
2．A 由题意知∠CDE=∠CED=45?，又∠BDE=15?，所以∠CDO=60?，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC=OD=CE，∠DCO=60?，∠OCB=30?，进而求得∠COE==75?．
3.B因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”，所以相邻两个角的平分线组成的角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角，是矩形．故选B．
4.D 连接PC，∵PE⊥CA,PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90?，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，又∵当CP⊥AB时，PC最小，且AC=6，BC=8，∴由勾股定理得AB=10．因此由等面积法，得PC==4.8，故选D．
二、填空题
5．答案EF⊥FC(答案不唯一)
解析 连接AC，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理，HG∥AC,HG=AC，∴EF∥HG、EF=HG、∴四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH是矩形，则需有一个角为直角，如EF⊥FG．答案不唯一．
6．答案5
解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得AB=2CD=10．根据三角形的中位线性质，可得EF=AB，因此EF=5．
三、解答题
7．解析 (1)证明：由题意知AF∥BD,∴∠AFE=∠ECD，∵E为AD的中点，∴AE=DE，又∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD，又AF=BD，∴BD=CD.
(2)四边形AFBD为矩形，
证明：∵AB=AC，
由(1)知BD=CD，
∴AD⊥BC(三线合一)，
即∠ADB=90?．
又∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD为平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形，
一、选择题
1．B∵∠A=∠B，AD∥BC,∴∠A=∠B=90?，故A选项能判定：∵∠A=∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B选项不能判定：∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判定，∵AB⊥BC,∴∠B=90?，故D选项能判定．故选B．
二、填空题
2．答案3
解析 ∵∠ACB=90?，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．
3．答案
解析 ∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10,OD=BD，∴OD=5，∵P,Q分别为AO、AD的中点，∴PQ=OD=．
4．答案AC=BD或∠ABC=90?或∠BCD=90或∠CDA=90或∠DAC=90或AB⊥BC等（答案不唯一）
解析 根据矩形的判定可知：添加AC=BD或∠ABC=90?或∠BCD=90?或∠CDA=90?或∠DAC=90?或AB⊥BC等条件后可使平行四边形ABCD是矩形．
5．答案70?
解析 依题意得∠B=∠B′=∠B′MD+∠B′EA=90?，所以∠B′EA=90?-50?=40?．所以∠B′EB=180?-∠B′EA=140?，又∠B′EF=∠BEF，所以∠BEF=∠B′EB=70?．
三、解答题
6．解析(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD,∴∠AFC=∠DCF,
∵G为AD的中点，∴GA=GD，又∠AGF=∠DGC，
∴△AGF≌△DGC(AAS),∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)四边形ACDF是矩形，
证明：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120?，∴∠FAG=60?,
∵AB=AC=AF，∴△AGF是等边三角形，∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC,∴ FG=CG=CF,
∵AG=GD=AD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．
1．解析 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
(2)如图，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD、矩形ABEF．
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，所以，Rt△ABC的两个“友好矩形”的面积相等．
(3)如图，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE、矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小．
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，设其面积为S，矩形BCDE，
CAFG及ABHK的周长分别为L?，L?，L?，BC=a，CA=b，AB=c，
则L?=+2a,L?=+2b,L?=+2c,
L?-L?=(+2a)-(+2b)=-（a-b）+2(a-b)=2(a-b)?,∵ab＞S,a＞b,∴L?-L?＞0，即L?＞L?,
同理可得，L?＞L?,∴L?＞L?＞L?，
∴L?最小，即矩形ABHK的周长最小．
2．解析(1)证明：∵矩形纸片ABCD是标准纸，且AB＜BC，
∴.
由对开的含义知AF=BC，∴,
∴矩形纸片ABEF是标准纸．
(2)是标准纸．理由如下：
设AB=CD=a，a＞0．
由图形折叠可知△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠FAE，∴∠DAE=∠BAD=45?，
由图形折叠知DG⊥EM，
∴∠AGD=90?,∴△ADG是等腰直角三角形，
又由图形折叠知DG=CD=a，
∴在Rt△ADG中，AD=，
∴.∴矩形纸片ABCD是标准纸，
(3)
∴第5次对开后所得的标准纸的周长为，
第2018次对开后所得的标准纸的周长为．
18.2.1 矩形
基础闯关全练
1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
3．如图18-2-1-1．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1.
4．如图18-2-1-2，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AB=1，∠AOB=60?，则AD=_______.
5．如图18-2-1-3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______.
6．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D.测量三个角是不是直角
7．如图18-2-1-4，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．当∠ABC=90?时，它是矩形 D.AC与BD互相平分
能力提升全练
1．如图18-2-1-5，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC=62?．则∠DFE的度数为（ ）
A．31? B．28? C．62? D．56?
2．如图18-2-1-6，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为_______．
3．如图18-2-1-7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值是_______.
三年模拟全练
一、选择题
1．八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图18-2-1-8．计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（ ）
A．48盆 B．49盆 C．50盆 D．51盆
2．如图18-2-1-9，已知在矩形ABCD中，AC与BD相交于D，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15?，则∠COE的度数为（ ）
A．75? B．85? C．90? D．65?
3．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．如图18-2-1-10．在△ABC中，∠C=90?，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
二、填空题
5．如图18-2-1-11，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，可添加的条件是___________.
6．如图18-2-1-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD=5．则EF的长为_________.
三、解答题
7．如图18-2-1-13，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.
(1)求证：BD=CD；
(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
五年中考全练
一、选择题
1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
二、填空题
2．如图18-2-1-14，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，AB=6，D是AB的中点，则CD=________．
3．如图18-2-1-15，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________．
4．如图18-2-1-16，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是矩形．
5．如图18-2-1-17，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50?，则∠BEF的度数为________.
三、解答题
6．如图18-2-1-18，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB=AF；
(2)若AG=AB，∠BCD=120?，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
核心素养全练
1．阅读以下材料，然后解答下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图18-2-1-19①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”：
(2)如图18-2-1-19②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90?．在图18-2-1-19②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图18-2-1-19③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
2．长与宽之比为：1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：
(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图18-2-1-20所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明．
(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE(如图18-2-1-21甲)；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG(如图18-2-1-21乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图18-2-1-21丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由．
(3)不难发现：将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长．
18.2特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
1．D添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABCD是矩形，故选D．
2．C矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
3．A因为矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，所以AC=20A=4，BD=AC，所以BD的长为4．
4．答案
解析 ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠BAD=90?，∴AO=BO,
∵∠AOB=60?，∴AO=BO=AB=1.
∴BD=2,∴AD=．
5．答案10
解析 ∵AD⊥BC，E为AC的中点，
∴DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴AC=2DE=10.
又AB=AC,∴ AB=10.
6．D根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形．
7.B因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AC与BD互相平分，当∠ABC=90?时，它是矩形，所以选项A、C、D中结论正确，故选B．
1．D∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90?，
∴∠FDB=90?-∠BDC=90?-62?=28?,
∵AD∥BC,∴ ∠CBD=∠FDB=28?，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠,∴∠FBD=∠CBD=28?，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28?+28?=56?.
2．答案
解析如图，连接AE，由作图可知MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90?．
∴在Rt△ADE中,AD=，
∴在Rt△ADC中，AC=.
3．答案4
解析 如图，设点P到AB的距离是h，则AB?h=AB?AD，即×4h=×4×3,∴h=2，可见点P是直线EF(EF∥AB,且EF与AB间的距离是2)上的动点，作点B关于EF的对称点B′，连接AB′交EF于点P，则此时PA+PB的值最小，最小值为AB′=．
一、选择题
1．A ∵矩形的对角线互相平分且相等，∴一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点,∴还需要从花房运来红花49-1=48盆，故选A．
2．A 由题意知∠CDE=∠CED=45?，又∠BDE=15?，所以∠CDO=60?，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC=OD=CE，∠DCO=60?，∠OCB=30?，进而求得∠COE==75?．
3.B因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”，所以相邻两个角的平分线组成的角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角，是矩形．故选B．
4.D 连接PC，∵PE⊥CA,PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90?，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，又∵当CP⊥AB时，PC最小，且AC=6，BC=8，∴由勾股定理得AB=10．因此由等面积法，得PC==4.8，故选D．
二、填空题
5．答案EF⊥FC(答案不唯一)
解析 连接AC，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理，HG∥AC,HG=AC，∴EF∥HG、EF=HG、∴四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH是矩形，则需有一个角为直角，如EF⊥FG．答案不唯一．
6．答案5
解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得AB=2CD=10．根据三角形的中位线性质，可得EF=AB，因此EF=5．
三、解答题
7．解析 (1)证明：由题意知AF∥BD,∴∠AFE=∠ECD，∵E为AD的中点，∴AE=DE，又∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD，又AF=BD，∴BD=CD.
(2)四边形AFBD为矩形，
证明：∵AB=AC，
由(1)知BD=CD，
∴AD⊥BC(三线合一)，
即∠ADB=90?．
又∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD为平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形，
一、选择题
1．B∵∠A=∠B，AD∥BC,∴∠A=∠B=90?，故A选项能判定：∵∠A=∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B选项不能判定：∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判定，∵AB⊥BC,∴∠B=90?，故D选项能判定．故选B．
二、填空题
2．答案3
解析 ∵∠ACB=90?，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．
3．答案
解析 ∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10,OD=BD，∴OD=5，∵P,Q分别为AO、AD的中点，∴PQ=OD=．
4．答案AC=BD或∠ABC=90?或∠BCD=90或∠CDA=90或∠DAC=90或AB⊥BC等（答案不唯一）
解析 根据矩形的判定可知：添加AC=BD或∠ABC=90?或∠BCD=90?或∠CDA=90?或∠DAC=90?或AB⊥BC等条件后可使平行四边形ABCD是矩形．
5．答案70?
解析 依题意得∠B=∠B′=∠B′MD+∠B′EA=90?，所以∠B′EA=90?-50?=40?．所以∠B′EB=180?-∠B′EA=140?，又∠B′EF=∠BEF，所以∠BEF=∠B′EB=70?．
三、解答题
6．解析(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD,∴∠AFC=∠DCF,
∵G为AD的中点，∴GA=GD，又∠AGF=∠DGC，
∴△AGF≌△DGC(AAS),∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)四边形ACDF是矩形，
证明：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120?，∴∠FAG=60?,
∵AB=AC=AF，∴△AGF是等边三角形，∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC,∴ FG=CG=CF,
∵AG=GD=AD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．
1．解析 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
(2)如图，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD、矩形ABEF．
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，所以，Rt△ABC的两个“友好矩形”的面积相等．
(3)如图，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE、矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小．
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，设其面积为S，矩形BCDE，
CAFG及ABHK的周长分别为L?，L?，L?，BC=a，CA=b，AB=c，
则L?=+2a,L?=+2b,L?=+2c,
L?-L?=(+2a)-(+2b)=-（a-b）+2(a-b)=2(a-b)?,∵ab＞S,a＞b,∴L?-L?＞0，即L?＞L?,
同理可得，L?＞L?,∴L?＞L?＞L?，
∴L?最小，即矩形ABHK的周长最小．
2．解析(1)证明：∵矩形纸片ABCD是标准纸，且AB＜BC，
∴.
由对开的含义知AF=BC，∴,
∴矩形纸片ABEF是标准纸．
(2)是标准纸．理由如下：
设AB=CD=a，a＞0．
由图形折叠可知△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠FAE，∴∠DAE=∠BAD=45?，
由图形折叠知DG⊥EM，
∴∠AGD=90?,∴△ADG是等腰直角三角形，
又由图形折叠知DG=CD=a，
∴在Rt△ADG中，AD=，
∴.∴矩形纸片ABCD是标准纸，
(3)
∴第5次对开后所得的标准纸的周长为，
第2018次对开后所得的标准纸的周长为．