人教版数学八年级下册18.2.3 正方形同步练习（解析版）

18.2.3 正方形
基础闯关全练
1．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90?，如果再添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( )
A．∠D=90? B．AB=CD C．AD=BC D．BC=CD
2．如图18-2-3-1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是 ( )

A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．∠AFB+∠BEC=90? D．AG⊥BE
3．如图18-2-3-2．四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为点F求证：AB=EF．



4．下列说法中正确的是( )
A．有一个角是直角的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的四边形是正方形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形
5．如图18-2-3-3，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45?，求证：矩形ABCD是正方形．



能力提升全练
1．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，有以下结论：①AB=BC；②∠DAB=90?；③BO=DO，AO=CO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形：⑥四边形ABCD是正方形．下列推论不正确的是 ( )
A．由②③，得④ B．由①③，得⑤
C．由①②，得⑥ D．由①④，得⑥
2．如图18-2-3-4，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20?．则∠DEF的度数是 ( )

A．25? B．40? C．45? D．50?
3．如图18-2-3-5，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点D，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线CP作垂线，垂足分别为点M，点N．
(1)补全图形，并求证：DM=CN；
(2)连接OM，ON，判断△OMN的形状并证明．




三年模拟全练
一、选择题
1．如图18-2-3-6，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是 ( )

BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90? D．OD=AC
2．如图18-2-3-7，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，当点O运动到AC的中点，且∠ACB=____时，四边形AECF是正方形 ( )

A．45? B．60? C．85? D．90?
二、填空题
3．如图18-2-3-8，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为_________.

4．如图18-2-3-9，在正方形ABCD中．E在CD上，F在CB的延长线上，若DE=BF．贝∠AEF=_______?.

三、解答题
5．如图18-2-3-10①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，且HA=EB=FC=GD,连接EG，FH，交点为O．
(1)如图18-2-3-10②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图18-2-3-10③的方式拼接成一个四边形，若正方形ABCD的边长为3 cm．HA=EB=FC=GD=1 cm，则图18-2-3-10③中阴影部分的面积为_______cm?．



五年中考全练
一、选择题
1．如图18-2-3-11，正方形ABCD的边长为1，点E，F是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于 ( )

A．1 B． C． D．
2．如图18-2-3-12，在正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是 ( )

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．如图18-2-3-13，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为 ( )

A． B．2 C．+1 D．2+1
二、填空题
4.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：_______，使其成为正方形（只填一个即可）．
5．如图18-2-3-14，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是_______.

三、解答题
6．如图18-2-3-15，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.
(1)求证：AE=BF.
(2)若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．




核心素养全练
1．图18-2-3-16为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E．小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为____m．

2．图18-2-3-17是一个叫工字钢的零件，其标准零件的上底面是一个正方形，为了检验零件是否合格，必须检验上底面ABCD是不是正方形．
(1)假设只给你一把刻度尺，你能检测出四边形ABCD是正方形吗？




(2)假设只给你一个量角器，你能检测出四边形ABCD是正方形吗？



3．如图18-2-3-18，在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE.

【感知】如图18-2-3-18①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE.（不需要证明）
【探究】如图18-2-3-18②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F．交AD于点G．
(1)求证：BE=FG.
(2)连接CM，若CM=1，则FG的长为________．
【应用】如图18-2-3-18③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG.若CM=3，则四边形GMCE的面积为________．










18.2.3正方形
1．D 由∠A=∠B=∠C=90?可判定四边形ABCD为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定四边形ABCD为正方形，故选D．
2．C ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90?，AB=BC，∵BF=CE,∴△ABF≌≌BCE,∴AF=BE,∠BAF=∠CBE,∠AFB=∠BEC．∴A中结论正确，C中结论错误；∵∠BAF+∠DAF=90?.∠CBE+∠BEC=90?,∠BAF=∠CBE，∴∠DAF=∠BEC,∴B中结论正确；∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90?,∴∠CBE+∠AFB=90?,∴∠BGF=90?,∴AG⊥BE,∴D中结论正确．故选C．
3．证明 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B=90?．∴∠AMB=∠EAF.∵EF⊥AM,∴∠B=∠AFE,又AM=AE,∴△AMB≌△EAF(AAS)，∴AB=EF.
4．C有一个角是直角的菱形是正方形，故A选项错误；有一组邻边相等的矩形是正方形，故B选项错误，C选项正确；四条边都相等的四边形是菱形，故D选项错误，故选C．
5．证明 ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90?．
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60?,
又∠CEF=45?．
∴∠CFE=180?-∠C-∠CEF=45?,
∴∠AFD=∠AEB=180?-45?-60?=75?.
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形．
1．C由③可得四边形ABCD是平行四边形，若∠DAB=90?，则四边形ABCD是矩形；若AB=BC．则四边形ABCD是菱形，故A，B正确．若四边形ABCD是矩形．AB=BC，则四边形ABCD是正方形，故D正确．C中推论不正确，故选C．
2．D．∵AC是正方形ABCD的对角线，E是AC上的点，易知∠CDE=∠CBE=20?．又∵∠DFE是△BCF的外角，∴∠DFE=∠CBF+∠BCF=20?+90?=110?,∴∠DEF=180?-∠DFE -∠CDE=50?．故选D．
3．解析(1)补全图形如图．

证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD,∠BCD=90?,
∵DM⊥CP,BN⊥CP,
∴∠DMC=∠BNC=90?,
∵∠DCM+∠BCN=90?,
∠NBC+∠BCN=90?,
∴∠DCM=∠NBC．
∴△MCD≌△NBC,
∴DM=CN．
(2)△OMN为等腰直角三角形，

证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD=OC, ∠BCO=∠ODC=45?,∠DOC=90?,
∵△MCD≌△NBC，
∴DM=CN,∠BCN=∠CDM,
∴∠OCN=∠ODM．
∴△OMD≌△ONC(SAS)，
∴OM=ON,∠MOD=∠NOC,
∴∠MON=∠DOC=90?,
∴△OMN为等腰直角三角形.
一、选择题
1．C要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，
(1)有一个内角是直角；(2)对角线相等．即∠ABC=90?或AC=BD等，故选C．
2.D如图，过点E，F分别作EH⊥BD，FG⊥BD，垂足分别为H,G．

∵CE，CF分别为∠ACB, ∠ACD的平分线，
∴∠ECF=90?.
∵MN∥BC,∴∠FEC=∠ECH,
∵∠ECH=∠ECO,∴∠FEC=∠ECO,
∴OE=OC．
同理，OC=OF，∴OE=OF,
∵点O为AC的中点，
∴OA=OC,∴四边形AECF为矩形，
若∠ACB=90?，则CE=CF,
∴四边形AECF为正方形，故选D．
二、填空题
3．答案（-，1）
解析 如图，因为四边形OABC是正方形，易证△AOF≌△OCE,则CE=OF=1，OE=AF=，由图知点C在第二象限，故点C的坐标为（-，1）．

4．答案45
解析 如图，连接AF，由正方形的性质可知AD=AB，∠D=∠ABF=90?，又DE=BF．易证△ADE≌△ABF(SAS)，则AE=AF,∠DAE=∠BAF．易证∠BAF+∠BAE=90?，则△AEF是等腰直角三角形，故∠AEF=45?．

三、解答题。
5．解析(1)四边形EFGH是正方形，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90?,AB=BC=CD=DA．
∵HA=EB=FC=GD,
∴AE=BF=CG=DH,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴HE=EF=FG=GH,
∴四边形EFGH是菱形，
∵△DHG≌△AEH,
∴∠DHG=∠AEH,
∵∠AEH+∠AHE=90?,
∴∠DHG+∠AHE=90?．
∴∠GHE=90?，∴四边形EFGH是正方形．
(2）1.
∴HA=EB=FC=GD=1 cm,AB=BC=CD=AD=3 cm,
∴GF=EF=EH=GH=cm,
∵由(1)知，四边形EFGH是正方形，
∴GO=OF,∠GOF=90?,
由勾股定理得GO=OF=cm，
由拼图知，所拼成的四边形为正方形，其边长为20F=cm,
∵S四边形FCGO=×1×2+××=(cm?)
∴S阴影=()?-4S四边形FCGO=10-9=1(cm?).
一、选择题
1．B由正方形的对称性可知，阴影部分的面积等于正方形面积的一半，故S阴影=
2．C 连接AE．由题意得AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90?，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵
∴Rt△AFE≌Rt△ADE,∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6-x，∵AB=BC=6，G是BC的中点，∴CG=GF=3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得(6-x)?+9=(x+3)?，
解得x=2．即DE=2．
3.B如图，连接BD，由题意可知BC=CD=1，

∴BD=．
∵E，F分别为BC,CD的中点,EF=BD=，
∴正方形EFGH的周长为2．故选B．
二、填空题
4．答案 答案不唯一，如添加条件：AB=BC
解析 ∵四边形ABCD是矩形，AB=BC,∴四边形ABCD是正方形，故可填AB=BC(答案不唯一)．
5．答案
解析如图，作点E关于BD的对称点E′，连接AE′与BD交于点P，连接PE，此时AP+PE最小．

∵BD垂直平分EE′，∴PE=PE′，
∴AP+PE=AP+PE′=AE′,
在Rt△ABE′中，AB=3,BE′=BE=1，
根据勾股定理得AE′=，
故PA+PE的最小值为．
三、解答题
6．解析(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=900?,
∴∠BAE+∠AEB=90?,
∵BH⊥AE,∴∠BHE=90?,
∴∠AEB+∠EBH=90?,∴∠BAE=∠EBH,
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF.
(2)由(1)知△ABE≌△BCF,∴ BE=CF,
∵正方形边长是5 ,BE=2，
∴DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3,
在Rt△ADF中，由勾股定理得AF=．
1．答案 4600
解析 如图，连接GC,∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，
∠ADB=∠CDB=45?,∠BCD=90?.

在△ADC与△CDG中．
∴△ADG≌△CDG,∴AG=GC．
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90?，
∴四边形GFCE是矩形，∴GC=EF，∴AG=EF．
∵∠CDG=45?,GE⊥CD，∴△GED是等腰直角三角形，∴DE=GE．
小敏走的路程为AB+AG+GE；小聪走的路程为AB+AD+DE+EF,对比发现小聪比小敏多走了AD，故小聪走的路程为4600 m．
2．解析(1)能，①用刻度尺量出线段AB、BC、CD、DA的长度，如果AB=BC=CD=DA，那么四边形ABCD是菱形；
②再量出对角线AC和BD的长度，如果AC=BD，那么四边形ABCD是正方形，否则不是正方形．
(2)能．①用量角器分别量出∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB的度数，如果∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90?，那么四边形ABCD是矩形：
②再量出∠AOB的度数，如果∠AOB=90?，那么四边形ABCD是正方形，否则不是正方形．
3．解析【探究】(1)过点G作GP⊥BC于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠A=∠ABC=90?,
易知四边形ABPG是矩形,
∴PG=AB，∴PG=BC，
∵∠PGF+∠PFG=90?,∠CBE+∠PFG=90?,
∴∠PGF=∠CBE,
在△PGF和△CBE中，
∴△PGF≌△CBE(ASA)，
∴BE=FG．

(2)2．由(1)知,FG=BE,
∵∠BCE=90?，点M是BE的中点，CM=1,
∴BE=2CM=2．
∴FG=2．
【应用】9．同探究(2)得,BE=2ME=2CM=6,
∴ME=3,
同探究(1)得,CG=BE=6，
∴BE⊥CG，∴S四边形CEGM=CG?ME=×6×3=9.