陕西省铜川市王益区2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题

2018~ 2019学年度高中测试卷
数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若命题p：“?x0∈R，x02﹣ax0+1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．（﹣2，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
2．双曲线x2﹣4y2＝4的右焦点坐标为（　　）
A．（，0） B．（2，0） C．（5，0） D．（，0）
3．已知曲线yx3+x2上点P处切线的斜率为3，则点P的坐标为（　　）
A．（1，）或（﹣3，0） B．（﹣1，）或（3，18）
C．（1，）或（3，18） D．（﹣1，）或（﹣3，0）
4．抛物线y2＝2x的焦点到准线的距离为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
5．已知函数f（x）在定义域R内可导，其图象如图所示．记f（x）的导函数为f′（x），则不等式xf′（x）≤0的解集为（　　）

A．（﹣∞，]∪[0，1]∪[2，+∞）
B．[，0]∪[2，+∞）
C．（﹣∞，）∪（0，1）∪（2，+∞）
D．[，0]∪[1，2]
6．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2．过点F1作x轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为P点（如图所示），若△PF1F2的面积为，则椭圆的方程为（　　）

A． B．
C． D．
7．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（x∈[1，+∞）），若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，） C．[，+∞） D．[0，+∞）
8．下列命题中正确命题的序号是（　　）
①“函数f（x）在定义域R内可导，f′（1）＝0”是“函数f（x）在x＝1处取极值”的充分不必要条件；
②函数f（x）＝x3ax在[1，2]上单调递增，则a≥﹣4
③在一次射箭比赛中，甲、乙两名射箭手各射箭一次．设命题p：“甲射中十环”，命题q：“乙射中十环”，则命题“至少有一名射箭手没有射中十环”可表示为（￢p）∨（￢q）；
④若椭圆左、右焦点分别为F1，F2，垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，当直线过右焦点时，△ABF1的周长取最大值
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④
9．若函数f（x）＝x3+ax2+2x（a∈R）在x处取得极小值，则实数a的值为（　　）
A． B． C． D．3
10．过抛物线x2＝2py（p＞0）焦点的直线l交抛物线于A，B两点，若A点坐标为（1，），则点B到准线的距离为（　　）
A．4 B．6 C．5 D．3
11．若函数g（x）x2﹣1nx+m在[，e]上有两个零点，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，） B．[1e2，+∞]
C．[1e2，] D．[，）
12．过椭圆右焦点F且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM与椭圆相交，其中一个交点为C点，若（λ＞0），则实数λ的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　 　．
14．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，点P是抛物线上的动点，点A（2，1），则|PA|+|PF|的最小值为　 　．
15．函数f（x）＝x3﹣3x（x∈[﹣2，3]）的最大值为　 　．
16．已知函数f（x）＝lnx+ax（a＞0），若对任意的x1，x2∈（0，），且x1≠x2，不等式|f（x2）﹣f（x1）|＜||恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
三、解答颞：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：函数f（x）＝x3﹣2ax2﹣4x在区间（0，4）上是单调递减函数；命题q：椭圆y2＝1（a＞1）的离心率取值范围为（，1），若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝（x2﹣a）ex（a∈R）．
（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；
（2）当a＝0时，若关于x的方程f（x）＝m存在三个不同的实数根，求实数m的取值范围．
19．双曲线（a＞0，b＞0）的半焦距为c，点A（0，b）到渐近线的距离为c．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，双曲线右支上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求点P的坐标．
20．现拟建一个粮仓，如图1所示，粮仓的轴截而如图2所示，ED＝EC，ADBC，BC⊥AB，EF⊥AB，CD交EF于点G，EF＝FC＝10m．
（1）设∠CFB＝θ，求粮仓的体积关于θ的函数关系式；
（2）当sinθ为何值时，粮仓的体积最大？

21．已知抛物线x2＝4y．
（1）求抛物线在点P（2，1）处的切线方程；
（2）若不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点（如图所示），且OA⊥OB，|OA||OB|，求直线l的斜率．

22．已知函数f（x）x2﹣xlnx，g（x）＝（m﹣x）lnx+（1﹣m）x（m＜0）．
（1）讨论函数f′（x）的单调性；
（2）求函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[1，+∞）上的最小值．



一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B
2．D
3．A
4．B
5．A
6．C
7．C
8．B
9．A
10．C
11．D
12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．由|x﹣1|≤1得﹣1|≤x﹣1≤1，得0≤x≤2，
由x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0得[x﹣（m﹣1）][x﹣（m+2）]≤0，
得m﹣1≤x≤m+2，
若p是q的充分不必要条件，
则，得，得0≤m≤1，
即实数m的取值范围是[0，1]，
14．点F（1，0）是抛物线y2＝4x的焦点，其准线方程为l：x＝﹣1，
作PN⊥l于N，作AB⊥l于B，
则|PA|+|PF|＝|PA|+|PN|≥|AB|＝2﹣（﹣1）＝3，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取得等号，
则|PA|+|PF|的最小值为3，

15．f（x）＝x3﹣3x，可得f'（x）＝3x2﹣3＝0可得：x＝±1，
函数以及导函数在[﹣2，3]上的变化情况如下：
x ﹣2 （﹣2，﹣1） ﹣1 （﹣1，1） 1 （1，3） 3
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ﹣2 单调递增 极大值f（﹣1）＝2 单调递减 极小值﹣2 单调递增 18
f（﹣2）＝﹣2，f（﹣1）＝2，f（3）＝18．
所以函数的最大值为18．
16．，函数f（x）＝lnx+ax在x∈（0，）上单调递增，
不妨设x1＜x2，∴，
化简得f（x2）f（x1），
设F（x）＝f（x），
即函数F（x）在x∈（0，）上单调递减，
∴F′（x）0恒成立，只需满足，
解得a≤2，
又∵a＞0
∴0＜a≤2，
即实数a的取值范围为（0，2]．

三、解答颞：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．当命题p为真命题时，f′（x）＝3x2﹣4ax﹣4，由题意可知3x2﹣4ax﹣4≤0在（0，4）上恒成立，
∴48﹣16a﹣4≤0，即a；
当命题q为真命题时，椭圆离心率，
∵，
∴．
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴①p真q假时，，即?；
②p假q真时，，即；
综上所述：a的取值范围为（，）．
18．（1）∵f′（x）＝（x2+2x﹣a）ex，
由f′（x）＝（x2+2x﹣a）ex＝0可得x2+2x﹣a＝0，
∵f（x）有两个不同的极值点，
∴x2+2x﹣a＝0有两个不同的实数根，
则△＝4+4a＞0，解可得a＞﹣1，
（2）当a＝0时，f（x）＝x2ex，f′（x）＝x（x+2）ex，
当x∈（﹣∞，﹣2），（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＝﹣2时，函数取得极大值f（﹣2），当x＝0时，函数取得极小值f（0）＝0，
∵f（x）＝m存在三个不同的实数根，
∴y＝f（x）与y＝m有3个不同的交点，
则，
故m的范围（0，）．

19．（1）双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，
点A（0，b）到渐近线的距离为c，可得c，
即有2ab＝c2＝a2+b2，可得a＝b，ca，则e；
（2）由焦距为4，可得c＝2，a＝b，双曲线的方程为x2﹣y2＝2，
双曲线右支上存在一点P（m，n），m＞0，即有m2﹣n2＝2，
由PF1⊥PF2，可得?1，即有m2+n2＝4，
解得m，n＝±1，则P（，1）或P（，﹣1）．
20．（1）因为AD∥BC，且AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形，
又因为BC⊥AB，所以四边形ABCD是矩形，
且ED＝EC，EF⊥AB，所以EF⊥CD，所以EG是三角形EDC的中线，
因为∠CFB＝θ，所以FB＝10?cosθ，BC＝10?sinθ，，
所以，
化简得，．
（2）令sinθ＝t，t∈（0，1），则粮仓的体积，
，令y'＝0，即3t2+t﹣1＝0，解得（舍去），
当时，y'＞0，y在上单调递增；
当时，y'＜0，y在上单调递减，
所以当时，即时，粮仓的体积最大．
21．（1）方法一：点P（2，1）在抛物线上，即yx2，
∴y′x，
∴切线的斜率k＝y′|2＝1，
∴抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y＝x﹣1，
方法二：设抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y﹣1＝k（x﹣2），（k＞0），即y＝kx+1﹣2k，
代入到x2＝4y，可得x2﹣4kx+8k﹣4＝0，
由△＝16k2﹣4（8k﹣4）＝0，
解得k＝1，
∴抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y＝x﹣1，
（2）设直线l方程为：y＝kx+m，（k＞0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得x2﹣4kx﹣4m＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，
∵OA⊥OB，
∴?0，
∴x1x2+y1y2＝0，
∴x1x20，
解得x1x2＝﹣16，
∴﹣4m＝﹣16，
∴m＝4，
过点A，B两点分别作x轴的垂线，垂足为A1，B1，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOB+∠AOA1+∠BOB1＝180°，
∴∠AOA1+∠BOB1＝90°，
∵∠OBB1+∠BOB1＝90°，
∴∠AOA1＝∠OBB1，
∴Rt△AA1O∽Rt△OB1B，
∴，
∴y2＝﹣8x1，x22＝﹣32x1，
∵x1x2＝﹣16，
∴x1＝﹣2，x2＝8，
∴x1+x2＝6＝4k，
解得k，
∴直线l的斜率为．

22．（1）f′（x）＝x﹣lnx﹣1，f′（x）的定义域为（0，+∞），
令h（x）＝x﹣lnx﹣1，，
当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） ↓ 极小值 ↑
则f′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
（2）由F（x）＝f（x）﹣g（x），
则F′（x）＝x，
令F′（x）＝0，得x1＝1，x2＝﹣m，
当﹣m≤1，即﹣1≤m＜0时，F′（x）≥0在[1，+∞）上单调递增，其最小值为F（1）＝m，
当﹣m＞1，即m＜﹣1时，F′（x）＜0在（1，﹣m）上恒成立，F′（x）＞0在（﹣m．+∞）上恒成立，
∴F（x）在（1，﹣m）上单调递减，在（﹣m，+∞）上单调递增，其最小值为F（﹣m）＝m﹣mln（﹣m）．
综上，当﹣1≤m＜0时，F（x）在[1，+∞）上的最小值为F（1）＝m，
当m＜﹣1时，F（x）在[1，+∞）上的最小值为F（﹣m）＝m﹣mln（﹣m）．