2020年上海市静安区高考数学一模试卷试题及解析

2020年上海市静安区高考数学一模试卷
一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．计算　　．
2．在单位圆中，的圆心角所对的弧长为　　．
3．若直线和的倾斜角分别为和，则与的夹角为　　．
4．若直线的一个法向量为，则直线的斜率　　．
5．设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞．则7小时后，1个此种细胞将分裂为个　　．
6．设是等腰直角三角形，斜边．现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为　　．
7．如图，在平行四边形中，，．则的值为　　．

8．三倍角的正切公式为　　．（用表示）
9．设集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为　　．
10．现将函数，的反函数定义为反正割函数，记为：．则　　．（请保留两位小数）
11．设双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为　　．
12．设，，，，我们可以证明对数的运算性质如下：

我们将式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中，的“关键步骤”为　　．
二、选择题＜本题满分20分）本大题共有4题，毎题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．“三个实数，，成等差数列”是“ “的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．设，，若复数是纯虚数，则点一定满足　　
A． B． C． D．
15．若展开，则展开式中的系数等于　　
A．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和
B．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和
C．在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和
D．以上结论都不对
16．某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为　　
A．265米 B．279米 C．292米 D．306米
三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸得规定区域（对应得题号）内写出必要的步骤.
17．如图，在正六棱锥中，已知底边长为2，侧棱与底面所成角为．
（1）求该六棱锥的体积
（2）求证：．

18．请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．

19．设是等差数列，公差为，前项和为．
（1）设，，求的最大值；
（2）设，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围．
20．（18分）已知抛物线的准线方程为，焦点为．
（1）求证：抛物线上任意一点的坐标都满足方程；
（2）请指出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，求线段的中点的轨迹方程．
21．（18分）现定义：设是非零实常数，若对任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”．
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；
（2）设定义域为的“关于的偶型函数” 在区间上单调递增，求证：在区间上单调递减；
（3）设定义域为的“关于的偶型函数” 是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论．


2020年上海市静安区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．计算　1　．
【解答】解：．
故答案为：1．
2．在单位圆中，的圆心角所对的弧长为　　．
【解答】解：由弧长公式，
故答案为：．
3．若直线和的倾斜角分别为和，则与的夹角为　　．
【解答】解：直线和的倾斜角分别为和，
所以直线和的夹角为．
故答案为：．
4．若直线的一个法向量为，则直线的斜率　　．
【解答】解：根据题意，设直线的斜率为，则其方向向量为，
若直线的一个法向量为，则有，解可得；
故答案为：．
5．设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞．则7小时后，1个此种细胞将分裂为个　　．
【解答】解：根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次，
则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个个；
故答案为：
6．设是等腰直角三角形，斜边．现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为　　．
【解答】解：等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；
所以几何体的体积为．
故答案为：．
7．如图，在平行四边形中，，．则的值为　　．

【解答】解：，，




．
故答案为：．
8．三倍角的正切公式为　　．（用表示）
【解答】解：．
故答案为：．
9．设集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为　720　．
【解答】解：因为集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，所以矩阵的个数为．
故答案为：720．
10．现将函数，的反函数定义为反正割函数，记为：．则　1.82　．（请保留两位小数）
【解答】解：，，
当时，，，
由查表得
．
故答案为：1.82．
11．设双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为　　．
【解答】解：双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，若，
则点到坐标原点的距离为，
所以，当且仅当时，取得最小值：．
故答案为：．
12．设，，，，我们可以证明对数的运算性质如下：

我们将式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中，的“关键步骤”为　．　．
【解答】解：设，，
，
，
，
关键步骤为：．
二、选择题＜本题满分20分）本大题共有4题，毎题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．“三个实数，，成等差数列”是“ “的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若“，，成等差数列”，则“”，即“，，成等差数列”是“”的充分条件；
若“”，则“，，成等差数列”，即“，，成等差数列”是“”的必要条件，
综上可得：“，，成等差数列”是“”的充要条件，
故选：．
14．设，，若复数是纯虚数，则点一定满足　　
A． B． C． D．
【解答】解：由是纯虚数，
，得，．
故选：．
15．若展开，则展开式中的系数等于　　
A．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和
B．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和
C．在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和
D．以上结论都不对
【解答】解：展开，
则展开式中的系数可以看成一个因式取，其余的两个因式是从5个因式中任意取．
故选：．
16．某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为　　
A．265米 B．279米 C．292米 D．306米
【解答】解：如图所示，
中，，，；
由正弦定理得，，
所以；
中，，
所以（米；
所以该塔的高度约为292米．
故选：．

三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸得规定区域（对应得题号）内写出必要的步骤.
17．如图，在正六棱锥中，已知底边长为2，侧棱与底面所成角为．
（1）求该六棱锥的体积
（2）求证：．

【解答】解：（1）解：在正六棱锥中，底边长为2，侧棱与底面所成角为．
连结，过作底面，交于点，
则，，，
，
，
该六棱锥的体积．
（2）证明：连结，交于点，连结，
，，，是中点，
，，
，平面，
平面，．

18．请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．

【解答】解：（1）设，；
，；
，
；
当时，即时，矩形面积最大为1；
（2）依题意可得：椭圆方程为：；
设：点坐标为即：，；
；
点为椭圆上的点；
；
；
，当且仅当时取等号；
；
即矩形面积最大为2；当时取等号；
19．设是等差数列，公差为，前项和为．
（1）设，，求的最大值；
（2）设，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围．
【解答】解：（1），，可得，
可得，
由为正整数，可得或101时，取得最大值2020；
（2）设，数列的前项和为，
可得，数列为首项为2，公比为的等比数列，
若，可得；，可得为递增数列，无最大值；
当时，，
对任意的，都有，可得，且，
解得．
20．（18分）已知抛物线的准线方程为，焦点为．
（1）求证：抛物线上任意一点的坐标都满足方程；
（2）请指出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，求线段的中点的轨迹方程．
【解答】解：（1）证明：抛物线的准线方程为，焦点为，
抛物线上任意一点的坐标，由抛物线的定义可得为到准线的距离），
即为，两边平方化简可得；
（2）抛物线关于对称，顶点为，范围为，，
由方程，设抛物线上任一点关于直线对称的点为，满足原方程，
则抛物线关于直线对称；由直线即，联立，解得，
可得抛物线的顶点为；由和联立可得切点为，
同样由和联立可得切点为，
可得抛物线的范围为，；
（3）设垂直于轴的直线为，代入抛物线的方程，
可得，
设，，可得，
则的中点为，
则的中点的轨迹方程为直线．

21．（18分）现定义：设是非零实常数，若对任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”．
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；
（2）设定义域为的“关于的偶型函数” 在区间上单调递增，求证：在区间上单调递减；
（3）设定义域为的“关于的偶型函数” 是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论．
【解答】解：（1）函数为“关于2的偶型函数”．
理由：由，，
可得对任意的，都有，故为“关于2的偶型函数”；
（2）证明：设，则，即有，
由对任意的，都有，即为，
在区间上单调递增，可得，
即有，可得在区间上单调递减；
（3）设定义域为的“关于的偶型函数”，
可得对任意的，都有，即为，
又为奇函数，可得，
即有，则，可得为最小正周期为2的函数，
由，可得（1），（2），猜想，；
证明：当时，（1）成立，
假设，时，，
当时，，
可得时，，
综上可得，．