第二单元 方程与不等式
第7讲 一元二次方程
1．（2019?山西）用配方法解方程时，配方后得到的方程为
A． B． C． D．
2．（2018?宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为．应列方程是
A．
B．
C．
D．
3．（2019?宜宾）一元二次方程的两根分别为和，则为
A． B． C．2 D．
4．（2018?贵港）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是
A．3 B．1 C． D．
5．（2019?宿迁三模）已知一元二次方程有两个实数根，，直线经过点和点，则直线的函数表达式为
A． B． C． D．
6．（2019?兴化市模拟）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是
A． B． C． D．
7．（2019?镇江）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值等于 ．
8．（2019?本溪）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
9．（2019?徐州）方程的解是 ．
10．（2019?济宁）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
11．（2018?无锡）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为，由题意可列得方程： ．
12．（2018?南通）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
13．（2019?常德）解方程：．
14．（2018?玉林）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）给取一个负整数值，解这个方程．
15．（2019?徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
16．（2019?南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长，宽，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
17．（2018?盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
18．（2017?眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
一、一元二次的有关概念
1． 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2． 一般形式： （其中a、b、c为常数，a≠0），其中、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
问题：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b＜0时，方程没有实数根．
2．配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有．
3．公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．
一元二次方程的求根公式：
4．因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程（a≠0）：
（1）＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）＝0?方程有两个的实数根；
（3）＜0?方程没有实数根．
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程（a≠0）的两根分别为，，则有，．
注意：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．
四、一元二次方程的应用
1． 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．
2． 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：
（1）增长率等量关系：
A．增长率＝ ×100%；
B．设a为原来量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则；当x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有．
（2）利润等量关系：
A．利润＝售价-成本；
B．利润率＝×100%．
（3）面积问题
3．解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
方法：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
问题：找对等量关系最后一定要检验．
考点一、一元二次方程的有关概念
例1．（2019?潮南区一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（ ）
A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2
【变式训练】
1．（2019?封开县一模）方程2x2﹣3x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5
2．（2019?津南区校级模拟）把方程（x）（x）+（2x﹣1）2＝0化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A．5x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣5＝0 C．5x2﹣2x+1＝0 D．5x2﹣4x+6＝0
3．（2019?硚口区模拟）关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（ ）
考点二、一元二次方程的解
例2．（2019?青白江区模拟）若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m﹣2019的值为 ．
【变式训练】
1．（2019?洪泽区二模）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则2﹣m﹣n的值为 ．
2．（2019?兰州模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是x＝1，则2019﹣a﹣b的值是 ．
3．（2019?宜春二模）如果α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则α2+4α+β+2019的值是 ．
考点三、配方法
例3（2019?荆州一模）用配方法解方程x2+x0时，可配方为，其中k＝ ．
【变式训练】
1．（2019?台安县一模）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（m﹣n）2018＝
2．（2019?乐陵市模拟）把方程x2﹣3＝2x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝ ，n＝ ．
3．（2018?怀柔区二模）把方程x2﹣2x﹣4＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝ ，n＝ ．
考点四、解一元二次方程
例4．（2019?中山市三模）解方程：3x2+x﹣4＝0
【变式训练】
1．（2019?高淳区二模）解方程：（2x﹣1）2＝3﹣6x．
2．（2019?成武县一模）解方程：（3x﹣1）2＝4（x+3）2．
3.（2019?天宁区校级模拟）解下列一元二次方程；
（1）x2﹣4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）
考点五、一元二次方程的判别式及根与系数的关系
例5．（2019?海淀区校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个根都不为0，写出一个满足条件的m值，并求此时方程的根．
【变式训练】
1．（2019?海淀区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，
（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．
2．（2019?晋江市二模）已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．
（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．
3．（2019?十堰模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+m＝0有实数根，
（1）求m的取值范围．
（2）若此方程的两实数根为x1，x2满足且4，求m的值．
考点六、一元二次方程的应用
例6．（2019?杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元/件，设一次性购买x万件（x＞10）
（1）若x＝15，则售价应是 元/件；
（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；
【变式训练】
1．（2019?红河州二模）今年是“五四”运动100周年，为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，引领广大团员青年坚定理想信念，争当全市创新启动发展的主力军，展现团员青年的风采，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，学校团委准备组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，学校团委体育部应该邀请多少个队参赛？
2．（2019?临清市一模）某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．
（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：
（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
3．（2019?渝中区校级模拟）因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天可多售30碗．
（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？
（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元．
4．（2019?邵阳县模拟）建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．
（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？
（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？
5．（2019?宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
第二单元 方程与不等式
第7讲 一元二次方程
1．（2019?山西）用配方法解方程时，配方后得到的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
，
，
故选：．
2．（2018?宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为．应列方程是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设这两年的年利润平均增长率为，
根据题意得：．
故选：．
3．（2019?宜宾）一元二次方程的两根分别为和，则为
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据题意得：
，
故选：．
4．（2018?贵港）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
5．（2019?宿迁三模）已知一元二次方程有两个实数根，，直线经过点和点，则直线的函数表达式为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，是一元二次方程的两个实数根，
，，
点的坐标为，，点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
将，，代入，得：，
解得：，
直线的函数表达式为．
故选：．
6．（2019?兴化市模拟）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设这两年平均每年的绿地增长率为，根据题意得，
，
解得（舍去），．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为．
故选：．
7．（2019?镇江）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值等于 ．
【答案】1
【解析】根据题意得△，
解得．
故答案为1．
8．（2019?本溪）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】根据题意得：△，
解得：．
故答案为：．
9．（2019?徐州）方程的解是 ．
【答案】．
【解析】，
移项得：，
两边直接开平方得：，
故答案为：．
10．（2019?济宁）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】．
【解析】是方程的一个根，
，
，
则方程的另一个根是：，
故答案为．
11．（2018?无锡）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为，由题意可列得方程： ．
【答案】．
【解析】设第一次降价的百分率为，则第二次降价的百分率为，
依题意，得：．
故答案为：．
12．（2018?南通）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：△，
故答案为：
13．（2019?常德）解方程：．
【答案】，．
【解析】，，；
；
，
，．
14．（2018?玉林）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）给取一个负整数值，解这个方程．
【答案】，．
【解析】（1）根据题意得△，
解得；
（2）取，则方程变形为，解得，．
15．（2019?徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
【答案】当剪去正方形的边长为时，所得长方体盒子的侧面积为．
【解析】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为时，所得长方体盒子的侧面积为．
16．（2019?南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长，宽，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【答案】扩充后广场的长为，宽为．
【解析】设扩充后广场的长为，宽为，
依题意得：
解得，（舍去）．
所以，，
答：扩充后广场的长为，宽为．
17．（2018?盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 26 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件．
故答案为26；
（2）设每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得，
整理，得，
解得：，．
要求每件盈利不少于25元，
应舍去，
解得：．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
18．（2017?眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【答案】该烘焙店生产的是第五档次的产品．
【解析】（1）（档次）．
答：此批次蛋糕属第三档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第档次的产品，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．
一、一元二次的有关概念
1． 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2． 一般形式： （其中a、b、c为常数，a≠0），其中、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
问题：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b＜0时，方程没有实数根．
2．配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有．
3．公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．
一元二次方程的求根公式：
4．因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程（a≠0）：
（1）＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）＝0?方程有两个的实数根；
（3）＜0?方程没有实数根．
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程（a≠0）的两根分别为，，则有，．
注意：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．
四、一元二次方程的应用
1． 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．
2． 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：
（1）增长率等量关系：
A．增长率＝ ×100%；
B．设a为原来量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则；当x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有．
（2）利润等量关系：
A．利润＝售价-成本；
B．利润率＝×100%．
（3）面积问题
3．解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
方法：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
问题：找对等量关系最后一定要检验．
考点一、一元二次方程的有关概念
例1．（2019?潮南区一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（ ）
A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2
【分析】根据常数项为0可得m2﹣4＝0，同时还要保证m﹣2≠0，再解即可．
【解析】根据题意知，
解得m＝﹣2，
故选：D．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式训练】
1．（2019?封开县一模）方程2x2﹣3x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解析】2x2﹣3x﹣5＝0的二次项系数和一次项系数分别为2、﹣3、﹣5，
故选：C．
2．（2019?津南区校级模拟）把方程（x）（x）+（2x﹣1）2＝0化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A．5x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣5＝0 C．5x2﹣2x+1＝0 D．5x2﹣4x+6＝0
【分析】先把（x）（x）转化为x22＝x2﹣5；
然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x2﹣4x+1．
再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．
【解析】
（x）（x）+（2x﹣1）2＝0
即x22+4x2﹣4x+1＝0
移项合并同类项得：5x2﹣4x﹣4＝0
故选：A．
3．（2019?硚口区模拟）关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（ ）
A．任意实数 B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m﹣1≠0，即可求得m的值．
【解析】根据一元二次方程的定义得：m﹣1≠0，即m≠1，
故选：B．
考点二、一元二次方程的解
例2．（2019?青白江区模拟）若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m﹣2019的值为 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解析】把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得
2m2+3m﹣1＝0，
则2m2+3m＝1．
所以4m2+6m﹣2019＝2（2m2+3m）﹣2019＝2﹣2019＝﹣2017．
故答案为：﹣2017．
点睛：本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【变式训练】
1．（2019?洪泽区二模）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则2﹣m﹣n的值为 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．
【解析】∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，
∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，
∴1+m+n＝0，
∴m+n＝﹣1，
∴2﹣m﹣n＝2﹣（m+n）＝2+1＝3．
故答案是：3．
2．（2019?兰州模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是x＝1，则2019﹣a﹣b的值是 ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a+b＝﹣3，再把2019﹣a﹣b变形为2019﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解析】x＝1代入一元二次方程ax2+bx+3＝0得a+b+3＝0，
∴a+b＝﹣3，
∴2019﹣a﹣b＝2019﹣（a+b）＝2019﹣（﹣3）＝2022．
故答案为2022．
3．（2019?宜春二模）如果α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则α2+4α+β+2019的值是 ．
【分析】因为α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，所以a2+3a﹣2＝0即a2+3a＝2，a+β＝﹣3，利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系即可解决问题．
【解析】∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，
∴a2+3a﹣2＝0即a2+3a＝2，a+β＝﹣3
∵α2+4α+β+2019＝（α2+3α）+（α+β）+2019＝2+（﹣3）+2019
∴α2+4α+β+2019＝2018
故答案为：2018
考点三、配方法
例3（2019?荆州一模）用配方法解方程x2+x0时，可配方为，其中k＝ ．
【分析】把方程x2+x0左边配成完全平方，与比较即可．
【解析】∵x2+x0
∴（x2+2x﹣5）＝0，
∴＝0，
∵可配方为，
∴k＝﹣6
故答案为：﹣6．
【变式训练】
1．（2019?台安县一模）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（m﹣n）2018＝
【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．
【解析】由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2018＝1，
故答案为：1．
2．（2019?乐陵市模拟）把方程x2﹣3＝2x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝ ﹣ ，n＝ ．
【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2﹣2x＝3，再配方得（x﹣1）2＝4，故可以得出结果．
【解析】∵x2﹣3＝2x，
∴x2﹣2x＝3，
则x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，
∴m＝﹣1、n＝4，
故答案为：﹣1、4．
3．（2018?怀柔区二模）把方程x2﹣2x﹣4＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝ ﹣ ，n＝ ．
【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2﹣2x＝4，再配方得（x﹣1）2＝5，故可以得出结果．
【解析】∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
则x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
∴m＝﹣1、n＝5，
故答案为：﹣1、5．
考点四、解一元二次方程
例4．（2019?中山市三模）解方程：3x2+x﹣4＝0
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解析】（3x+4）（x﹣1）＝0，
3x+4＝0或x﹣1＝0，
所以x1，x2＝1．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
【变式训练】
1．（2019?高淳区二模）解方程：（2x﹣1）2＝3﹣6x．
【分析】先变形得到（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解析】（2x﹣1）2＝﹣3（2x﹣1），
（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或2x+2＝0
所以x1，x2＝﹣1．
2．（2019?成武县一模）解方程：（3x﹣1）2＝4（x+3）2．
【分析】先移项，再利用平方差公式分解、整理，进一步求解可得．
【解析】∵（3x﹣1）2＝4（x+3）2，
∴（3x﹣1）2﹣4（x+3）2＝0，
则＝0，
整理，得：（5x+5）（x﹣7）＝0，
则5x+5＝0或x﹣7＝0，
解得：x＝﹣1或x＝7．
3.（2019?天宁区校级模拟）解下列一元二次方程；
（1）x2﹣4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先变形得（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解析】（1）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝5．
考点五、一元二次方程的判别式及根与系数的关系
例5．（2019?海淀区校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个根都不为0，写出一个满足条件的m值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出m的范围；
（2）根据题意写一个m的值，然后代入方程求出方程的根即可．
【解析】（1）由题意可知：△＝4m2﹣4（m﹣1）2
＝4m2﹣4（m2﹣2m+1）
＝8m﹣4＞0，
∴m；
（2）令m＝2，
∴方程为：x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x+4＝3，
∴（x﹣2）2＝3，
∴x＝2±；
点睛：本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式以及熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式训练】
1．（2019?海淀区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，
（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．
【分析】（1）求出△＝2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，
∴此根是±1，
当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，
即0＝0，此时m为任何数；
当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，
解得：m＝﹣3．
2．（2019?晋江市二模）已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．
（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．
【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m时，此时方程是一元一次方程，其根为x，符合题意；
②当2m﹣1≠0即m时，△＝﹣4×1×（m2+m）≥0，
解得：m≥﹣1．
（2）∵x1，x2是方程x2﹣2（m+1）x+m2+m＝0的解，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+m，
∴4，
解得：m，
经检验，m是原方程的解，且符合题意，
∴当4时，m．
点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据方程的系数结合4，找出关于m的方程．
考点六、一元二次方程的应用
例6．（2019?杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元/件，设一次性购买x万件（x＞10）
（1）若x＝15，则售价应是 元/件；
（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；
【分析】（1）由一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），据此将x＝15代入计算可得；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量求解可得．
【解析】（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），
当x＝15时，100﹣2x＝70（元/件），
故答案为：70；
（2）根据题意知，（100﹣2x﹣20）x＝728，
整理，得
﹣2x2+80x＝728．
解得x1＝26，x2＝14．
因为100﹣2x≥50，
所以10＜x≤25．
所以x＝14符合题意．
答：一次性购买14万件产品时，该公司的销售总利润为728万元．
【变式训练】
1．（2019?红河州二模）今年是“五四”运动100周年，为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，引领广大团员青年坚定理想信念，争当全市创新启动发展的主力军，展现团员青年的风采，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，学校团委准备组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，学校团委体育部应该邀请多少个队参赛？
【分析】设学校团委体育部应该邀请x个队参赛，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解析】设学校团委体育部应该邀请x个队参赛，
根据题意得：9×4，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，即（x﹣9）（x+8）＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
则学校团委体育部应该邀请9个队参赛．
点睛：此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
2．（2019?临清市一模）某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．
（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：
（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．
【解析】（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，
三人间的房间数为100﹣3m，
设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300
∵y随m的增大而减小
∴当m＝12时，y的最大值为252．
当m＝15时，y的最小值为240．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．
3．（2019?渝中区校级模拟）因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天可多售30碗．
（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？
（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元．
【分析】（1）设每碗小面的售价为x元，根据该小面店每天至少卖出360碗，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据总利润＝每碗利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其不超过20的值即可得出结论．
【解析】（1）设每碗小面的售价为x元，
依题意，得：300+30（25﹣x）≥360，
解得：x≤23．
答：每碗小面的售价不超过23元．
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，
依题意，得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理，得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y1＝20，y2＝21．
∵店家规定每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
4．（2019?邵阳县模拟）建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．
（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？
（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？
【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．
【解析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，
依题意，得：（33﹣2x）x＝130，
解得：x1＝6.5，x2＝10，
∴33﹣2x＝20或13．
答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．
（2）∵10≤a＜18，
∴33﹣2x＝13，
∴养鸡场的长为13米宽为10米．
5．（2019?宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；
（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．
【解析】（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，
∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，
答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；
（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，
当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×622，
解得，此方程无解；
当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×622，
解得，b1＝1，b2＝14（舍去），
即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能等于22cm2．
