第二单元 方程与不等式
第8讲 分式方程
1．（2019?株洲）关于的分式方程的解为
A． B． C．2 D．3
2．（2019?成都）分式方程的解为
A． B． C． D．
3．（2018?荆州）解分式方程时，去分母可得
A． B． C． D．
4．（2019?重庆）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为
A．0 B．1 C．4 D．6
5．（2018?阿坝州）若是分式方程的根，则的值为
A．6 B． C．4 D．
6．（2019?十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是
A． B．
C． D．
7．（2019?广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做个零件，下列方程正确的是
A． B． C． D．
8．（2019?苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为
A． B． C． D．
9．（2019?济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成基站布设，“孔夫子家”自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，网络比网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是
A． B．
C． D．
10．（2019?黄石）分式方程：的解为 ．
11．（2019?天水）分式方程的解是 ．
12．（2019?凉山州）方程的解是 ．
13．（2019?烟台）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
14．（2019?巴中）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
15．（2019?齐齐哈尔）关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ．
16．（2019?安顺）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，根据题意列方程为 ．
17．（2019?盘锦）某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是 ．
18．（2019?绥化）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早30分钟到达地，则甲车的速度为 ．
19．（2019?日照）“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？
20．（2019?西藏）列方程（组解应用题
绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树600棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树多少棵？
21．（2019?沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
22．（2019?云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
归纳 1：分式方程 的有关概念
基础知识归纳：
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
2、分式方程的增根
分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．
归纳 2：分式方程的解法
基础知识归纳：
1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．
归纳 3：分式方程的应用
基础知识归纳：
1、分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
考点一、解分式方程
例1．（2019?玉林）解方程：1．
【变式训练】
1．（2019?随州）解关于x的分式方程：．
2．（2019?广安）解分式方程：1．
3．（2019?毕节市）解方程：．
考点二、分式方程的无解（增根）问题
例2．（2019?金堂县模拟）已知关于x的方程的增根是2，则a＝ ．
【变式训练】
1．（2019?下陆区模拟）若关于x的分式方程有增根，则m＝ ．
2．（2019?大东区一模）若分式方程有增根，则实数a的值是 ．
3．（2019?德城区一模）当m＝ 7 时，分式方程3有增根．
考点三、分式方程的特殊解问题
例3．（2019?长寿区模拟）若关于x的方程有非负实数解，关于x的一次不等式组有解，则满足这两个条件的所有整数k的值的和是 ．
【变式训练】
1．（2019?鹿城区校级二模）我们知道方程的解是x．现给出另一个方程，它的解是 ．
2．（2019?郫都区模拟）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的整数a的值为 ﹣8、0、4 ．
3．（2019?长沙模拟）关于x的分式方程3的解为正数，则a的取值范围为
．
考点四、分式方程的应用
例4．（2019?长沙一模）去年冬天，我市遭遇大雪，为确保道路正常通行，市政府启用了铲雪车清理道路，已知一台铲雪车的工作效率相当于一名环卫工人的20倍，一台铲雪车清理900立方米的积雪，要比15名环卫工人清理这些积雪少用2小时．
（1）求一台铲雪车每小时清雪多少立方米？
（2）现有一项清理任务，要求不超过7小时完成5475立方米的积需清理，市政府调配了2台铲雪车和30名环卫工人，工作了3小时后，又调配了一些铲雪车进行支援，则市政府至少又调配了几台铲雪车才能完成任务？
【变式训练】
1．（2019?南关区一模）某地区由于龙卷风出现毁坏性灾害，一自愿者协会紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种教灾物品送往该地区已知甲种物品每件的价格比乙种物品每件的价格高10元，用700元购买甲种物品的件数与用600元购买乙种物品的件数相同．
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格．
（2）经调查，该地区所需乙种物品的件数是甲种物品件数的2倍，自愿者协会按此比例购买1500件物品，需筹集资金多少元？
2．（2019?金堂县模拟）为了迎接“五?一”小长假的购物高峰．某服装专卖店老板小王准备购进甲、乙两种夏季服装．其中甲种服装每件的成本价比乙种服装的成本价多20元，甲种服装每件的售价为240元比乙种服装的售价多80元．小王用4000元购进甲种服装的数量与用3200元购进乙种服装的数量相同．
（1）甲种服装每件的成本是多少元？
（2）要使购进的甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21100元，且不超过21700元，问小王有几种进货方案？
3.（2019?马尾区模拟）为厉行节能减排，倡导绿色出行，某区推行“共亨单车”公益活动．么同小区分别投放数量相等的A、B两种不同款型的共享单车，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A型、B型单车投放成本分别为33000元和34500元
（1）求A型共享单车的单价是多少元？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A，B两车型的数量比为3：2进行投放，且投资总价值不低于11万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
4．（2019?岳阳楼区校级一模）六?一前夕某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍，求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
18．（2019?南岗区校级一模）哈市69中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．
（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元；
（2）该中学购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过3950元，则最多购进甲种图书多少本？
第二单元 方程与不等式
第8讲 分式方程
一．选择题（共9小题）
1．（2019?株洲）关于的分式方程的解为
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：．
2．（2019?成都）分式方程的解为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程两边同时乘以得，，
解得，
把代入原方程的分母均不为0，
故是原方程的解．
故选：．
3．（2018?荆州）解分式方程时，去分母可得
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】去分母得：，
故选：．
4．（2019?重庆）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为
A．0 B．1 C．4 D．6
【答案】B
【解析】由不等式组得：
解集是，
；
由关于的分式方程得
，
有非负整数解，
，
，
且，（舍，此时分式方程为增根），，
它们的和为1．
故选：．
5．（2018?阿坝州）若是分式方程的根，则的值为
A．6 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】将代入分式方程可得：，
化简得，
解得．
故选：．
6．（2019?十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设原计划每天铺设钢轨米，可得：，
故选：．
7．（2019?广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做个零件，下列方程正确的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设甲每小时做个零件，可得：，
故选：．
8．（2019?苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设软面笔记本每本售价为元，
根据题意可列出的方程为：．
故选：．
9．（2019?济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成基站布设，“孔夫子家”自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，网络比网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是：
．
故选：．
10．（2019?黄石）分式方程：的解为 ．
【答案】
【解析】去分母得：，即，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为，
故答案为：
11．（2019?天水）分式方程的解是 ．
【答案】
【解析】
原式通分得：
去分母得：
去括号解得，
经检验，为原分式方程的解
故答案为
12．（2019?凉山州）方程的解是 ．
【答案】
【解析】
去分母，得
去括号，得
移项并整理，得
所以
解得或
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
13．（2019?烟台）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【解答】解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，．
故答案为3．
14．（2019?巴中）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】1
【解析】方程两边都乘，得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，
故的值是1，
故答案为1
15．（2019?齐齐哈尔）关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ．
【解析】，
方程两边同乘以，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
，
关于的分式方程的解为非负数，，
，
解得，且，
故答案为：且．
16．（2019?安顺）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，根据题意列方程为 ．
【答案】．
【解析】设原计划平均亩产量为万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，
依题意，得：．
故答案为：．
17．（2019?盘锦）某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是 ．
【答案】20
【解析】设骑车学生每小时走千米，
据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：骑车学生每小时行20千米．
故答案是：20．
18．（2019?绥化）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早30分钟到达地，则甲车的速度为 ．
【答案】80
【解析】设甲车的速度为，则乙车的速度为，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故答案为：80．
19．（2019?日照）“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？
【答案】每件产品的实际定价是160元．
【解析】设每件产品的实际定价是元，则原定价为元，
由题意，得
．
解得．
经检验是原方程的解，且符合题意．
答：每件产品的实际定价是160元．
20．（2019?西藏）列方程（组解应用题
绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树600棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树多少棵？
【答案】原计划每天种树75棵．
【解析】设原计划每天种树棵．
由题意，得
解得，
经检验，是原方程的解．
答：原计划每天种树75棵．
21．（2019?沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【解析】（1）设甲种树苗每棵元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
（2）设购买乙中树苗棵，根据题意得：
，
解得：，
是正整数，
最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．
22．（2019?云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【解析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
则，
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米小时、90千米小时．
归纳 1：分式方程 的有关概念
基础知识归纳：
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
2、分式方程的增根
分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．
归纳 2：分式方程的解法
基础知识归纳：
1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．
归纳 3：分式方程的应用
基础知识归纳：
1、分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
考点一、解分式方程
例1．（2019?玉林）解方程：1．
【分析】化简所求方程为1，将分式方程转化为整式方程x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），解得x＝1，检验方程的根即可求解；
【解析】1，
∴x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），
∴x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴原方程无解；
点睛：本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，验根是关键．
【变式训练】
1．（2019?随州）解关于x的分式方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】去分母得：27﹣9x＝18+6x，
移项合并得：15x＝9，
解得：x，
经检验x是分式方程的解．
2．（2019?广安）解分式方程：1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】1，
方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
3．（2019?毕节市）解方程：．
【分析】观察可得最简公分母是2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解析】去分母得，
2x+2﹣（x﹣3）＝6x，
∴x+5＝6x，
解得，x＝1
经检验：x＝1是原方程的解．
点睛：本题考查了分式方程的解法．
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
考点二、分式方程的无解（增根）问题
例2．（2019?金堂县模拟）已知关于x的方程的增根是2，则a＝ ．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出a的值．
【解析】方程两边都乘x（x﹣2），得
2x﹣（x+a）＝0，
∵原方程增根为x＝2，
∴把x＝2代入整式方程，得a＝2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式训练】
1．（2019?下陆区模拟）若关于x的分式方程有增根，则m＝ ．
【分析】去分母，m＝x﹣3，将增根x＝2代入，得m＝x﹣3＝2﹣3＝﹣1．
【解析】去分母，得：1＝﹣m+x﹣2，
∴m＝x﹣3，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，即增根为x＝2，
∴m＝x﹣3＝2﹣3＝﹣1，
故答案为﹣1．
点睛：本题考查了解分式方程的增根，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
2．（2019?大东区一模）若分式方程有增根，则实数a的值是 ．
【分析】对分式方程进行正常求解，化简为2x＝a﹣4，当x＝0或x＝2时，分式方程有增根，在x＝0和x＝2时，分别求出a的值即可．
【解析】∵，
∴，
当x2﹣2x≠0时，
原式化为3x﹣a+x＝2x﹣4，
∴2x＝a﹣4，
∵分式方程有增根，
∴x＝0或x＝2，
当x＝0时，a＝4；
当x＝2时，a＝8．
故答案是4或8．
3．（2019?德城区一模）当m＝ 7 时，分式方程3有增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣1）＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解析】方程两边都乘以（x﹣1），得
7+3（x﹣1）＝m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）＝0，
解得x＝1，
把x＝1代入7+3（x﹣1）＝m，中，得m＝7．
故答案为：7．
考点三、分式方程的特殊解问题
例3．（2019?长寿区模拟）若关于x的方程有非负实数解，关于x的一次不等式组有解，则满足这两个条件的所有整数k的值的和是 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k的范围，由不等式有解确定出k的范围，进而确定出k的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可．
【解析】分式方程去分母得：﹣k＝3﹣2x+2，
解得：x，
由分式方程有非负实数解，得到0，且1，
解得：k≥﹣5且k≠﹣3，
不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到2﹣k≥﹣1，即k≤3，
综上，k的范围为﹣5≤k≤3，且k≠﹣3，即整数k＝﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3，
则所有满足题意整数k的值的和为﹣6，
故答案为：﹣6
点睛：本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2019?鹿城区校级二模）我们知道方程的解是x．现给出另一个方程，它的解是 ．
【分析】利用换元法解分式方程．
【解析】，
设y+1＝a，则原方程可化为：，
由已知可得：a，
经检验：a是原方程的解，
当a时，y+1，y，
故答案为：y．
2．（2019?郫都区模拟）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的整数a的值为 ﹣8、0、4 ．
【分析】依据不等式组无解，即可得到a≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a＞﹣12且a≠﹣4，进而得出﹣12＜a≤4且a≠﹣4，根据y3是正整数，可得a＝﹣8，0，4．
【解析】由不等式组组，可得，
∵不等式组无解，
∴a，
解得a≤4；
由分式方程，可得
y3，
∵分式方程有正整数解，
∴y＞0且y≠2，
即3＞0且3≠2，
解得a＞﹣12且a≠﹣4，
∴﹣12＜a≤4且a≠﹣4，
∵3是正整数，
∴a＝﹣8，0，4，
故答案为：﹣8，0，4．
3．（2019?长沙模拟）关于x的分式方程3的解为正数，则a的取值范围为 ．
【分析】根据分式方程额解法即可求出答案．
【解析】∵3，
∴3，
∴x，
∵该分式方程有解，
∴1，
∴a≠﹣2，
∵x＞0，
∴0，
∴a＜1，
故答案为：a＜1且a≠﹣2．
考点四、分式方程的应用
例4．（2019?长沙一模）去年冬天，我市遭遇大雪，为确保道路正常通行，市政府启用了铲雪车清理道路，已知一台铲雪车的工作效率相当于一名环卫工人的20倍，一台铲雪车清理900立方米的积雪，要比15名环卫工人清理这些积雪少用2小时．
（1）求一台铲雪车每小时清雪多少立方米？
（2）现有一项清理任务，要求不超过7小时完成5475立方米的积需清理，市政府调配了2台铲雪车和30名环卫工人，工作了3小时后，又调配了一些铲雪车进行支援，则市政府至少又调配了几台铲雪车才能完成任务？
【分析】（1）设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台铲雪车每小时清雪20x立方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合一台铲雪车清理900立方米的积雪要比15名环卫工人清理这些积雪少用2小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用工作总量＝工作效率×工作时间可求出前3小时完成的工作量，设市政府又调配了y台铲雪车，根据工作总量＝工作效率×工作时间结合要求不超过7小时完成5475立方米的积需清理，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】（1）设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台铲雪车每小时清雪20x立方米，
依题意，得：2，
解得：x＝7.5，
经检验，x＝7.5是所列方程的解，且符合题意，
∴20x＝150．
答：一台铲雪车每小时清雪150立方米．
（2）（150×2+7.5×30）×3＝1575（立方米）．
设市政府又调配了y台铲雪车，
依题意，得：1575+（7﹣3）[150（y+2）+30×7.5]≥5475，
解得：y≥3．
答：市政府最少又调配了3台铲雪车才能完成任务．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式训练】
1．（2019?南关区一模）某地区由于龙卷风出现毁坏性灾害，一自愿者协会紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种教灾物品送往该地区已知甲种物品每件的价格比乙种物品每件的价格高10元，用700元购买甲种物品的件数与用600元购买乙种物品的件数相同．
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格．
（2）经调查，该地区所需乙种物品的件数是甲种物品件数的2倍，自愿者协会按此比例购买1500件物品，需筹集资金多少元？
【解析】（1）设乙种物品每件的价格为x元，则甲种物品每件的价格为（x+10）元，
根据题意，得，
解得：x＝60，
经检验x＝60是原方程的解，且符合题意，
所以x+10＝60+10＝70，
答：甲种物品每件的价格为70元，乙种物品每件的价格为60元；
（2）设购买甲种物品m件，则购买乙种物品2m件，
根据题意，得m+2m＝1500，
解得：m＝500，
可得70×500+60×2×500＝95000，
答：自愿者协会按此比例购买1500件物品，需筹集资金95000元．
点睛：此题考查了分式方程的应用，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
2．（2019?金堂县模拟）为了迎接“五?一”小长假的购物高峰．某服装专卖店老板小王准备购进甲、乙两种夏季服装．其中甲种服装每件的成本价比乙种服装的成本价多20元，甲种服装每件的售价为240元比乙种服装的售价多80元．小王用4000元购进甲种服装的数量与用3200元购进乙种服装的数量相同．
（1）甲种服装每件的成本是多少元？
（2）要使购进的甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21100元，且不超过21700元，问小王有几种进货方案？
【分析】（1）设甲种服装每件的成本是x元，则乙服装成本价为（x﹣20）元/件，根据“用4000元购进甲种服装的数量与用3200元购进乙种服装的数量相同”列分式方程求解即可；
（2）设甲种服装购进m件，则乙种服装购进（200﹣m）件，然后根据购进这200件服装的费用不少于21100元，且不超过21700元，列出不等式组解答即可．
【解析】（1）设甲种服装每件的成本是x元，则乙服装成本价为（x﹣20）元/件，则
．
解得 x＝100
经检验，x＝100是原方程的根，且符合题意．
答：甲种服装每件的成本是100元；
（2）设甲种服装购进m件，则乙种服装购进（200﹣m）件，则
21100≤（240﹣100）m+（160﹣80）（200﹣m）≤21700
解之得：85≤m≤95．
因为m是正整数，
所以m可以取85、86、87、88、89、90、91、92、93、94、95．
所以进货方案有11种．
点睛：本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
3.（2019?马尾区模拟）为厉行节能减排，倡导绿色出行，某区推行“共亨单车”公益活动．么同小区分别投放数量相等的A、B两种不同款型的共享单车，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A型、B型单车投放成本分别为33000元和34500元
（1）求A型共享单车的单价是多少元？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A，B两车型的数量比为3：2进行投放，且投资总价值不低于11万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A型共享单车的单价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆．
【解析】（1）设A型共享单车的单价为x元，则B型共享单车的单价是（x+10）元，
，
解得，x＝220，
经检验，x＝220是原分式方程的解，
答：A型共享单车的单价是220元；
（2）设试点投放中A，B两车型的数量分别为3a辆，2a辆，
由（1）知，B型共享单车的单价为220+10＝230（元），
220×3a+230×2a≥110000，
解得，a≥98，
∴3a，2a，
∵3a、2a均为整数，
∴3a的最小值是295，2a的最小值是197，
∴城区10万人口平均每100人至少享有A型车为：0.295（辆），
城区10万人口平均每100人至少享有B型车为：0.197（辆），
答：城区10万人口平均每100人至少享有A型车0.295辆，B型车0.197辆．
4．（2019?岳阳楼区校级一模）六?一前夕某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍，求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
【分析】首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x﹣25）元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可．
【解析】设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x﹣25）元，
由题意得：2
解得：x＝100，
经检验：x＝100是原分式方程的解，
x﹣25＝100﹣25＝75，
答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；
18．（2019?南岗区校级一模）哈市69中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．
（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元；
（2）该中学购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过3950元，则最多购进甲种图书多少本？
【分析】（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，根据花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同，列方程求解；
（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，根据总购书费用不超过3950元，列不等式求解．
【解析】（1）设乙种图书进价x元，则甲种图书进价为（x+20）元
解得，x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的根，
x+20＝65
答：甲、乙两种图书每本的进价分别为65元、45元．
（2）设甲种图书购进a本，
65a+45（70﹣a）≤3950，
解得，a≤40，
答：甲种图书最多购进40本．
