第二单元 方程与不等式
第9讲 一元一次不等式（组）
1．（2019?桂林）如果，，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
2．（2019?广安）若，下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
3．（2019?长春）不等式的解集为
A． B． C． D．
4．（2019?呼和浩特）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2019?宿迁）不等式的非负整数解有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2019?南充）关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为
A． B． C． D．
7．（2019?永州）若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2019?广元）不等式组的非负整数解的个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2019?常德）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格（元所在的范围为
A． B． C． D．
10．（2019?怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共 只．
A．55 B．72 C．83 D．89
11．（2019?大庆）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是 ．
12．（2019?铜仁市）如果不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
13．（2019?包头）已知不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
14．（2019?鸡西）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
15．（2019?邵阳）不等式组的解集是 ．
16．（2019?哈尔滨）不等式组的解集是 ．
17．（2019?荆州）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是 ．
18．（2019?淄博）解不等式．
19．（2019?贺州）解不等式组：
20．（2019?新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
21．（2019?遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有，两种客车可供租用，型客车每辆载客量45人，型客车每辆载客量30人．若租用4辆型客车和3辆型客车共需费用10700元；若租用3辆型客车和4辆型客车共需费用10300元．
（1）求租用，两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
22．（2019?荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人辆）
35
30
租金（元辆）
400
320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
23．（2019?宁夏）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．
24．（2019?福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
（1）求该车间的日废水处理量；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
归纳 1：有关概念
基础知识归纳：
1．不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
2．不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
3．用数轴表示不等式的方法
4．一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
5．一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．
注意问题归纳： 不等式组的解集是所有解得公共部分．
归纳 2：不等式基本性质
基础知识归纳：
1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．
注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
归纳 3：一元一次不等式（组）的解法
基础知识归纳：
1．解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
2．一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．
注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
归纳 4：一元一次不等式（组）的应用
基础知识归纳：
1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列一元一次不等式（组）
（4）解一元一次不等式（组）．
（5）检验，看解集是否符合题意．
（6）写出答案．
2．解应用题的书写格式：
设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．
注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．
考点一 不等式的基本性质
例1．（2019?舟山）已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（ ）
A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．
【变式训练】
1．（2019?广安）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C． D．m2＞n2
2．（2019?余杭区二模）已知a＝b≠0，则（ ）
A． B． C．a|c+1|＞b|c+2| D．a+c＞b﹣c
3．（2019?大庆三模）下列式子一定成立的是（ ）
A．若ac2＝bc2则a＝b
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若a＞b则ac2＞bc2
D．若a＜b，则
考点二 解一元一次不等式
例2．（2019?南关区二模）小明在解不等式的过程中出现了错误，解答过程如下：
解不等式：
解：去分母，得2（x+4）﹣3（3x﹣1）≥1（第一步）
去括号，得2x+8﹣9x﹣3≥1，（第二步）
移项，得2x﹣9x≥1+8﹣3，（第三步）
合并同类项，得﹣7x≥6．（第四步）
两边都除以﹣7，得．（第五步）
（1）小明的解答过程是从第 步开始出现错误的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【变式训练】
1．（2019?朝阳区模拟）解不等式，并写出它的所有非负整数解．
2．（2018?南京一模）（1）解不等式1，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是 ．
3．（2019?长春模拟）马小虎在解不等式的过程中出现了错误，解答过程如下：
（1）马小虎的解答过程是从第 步开始出现错误的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
考点三 解一元一次不等式组
例3．（2019?姑苏区校级二模）解不等式组
【变式训练】
1．（2019?黄石）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
2．（2019?北京）解不等式组：
3．（2019?宜昌）解不等式组，并求此不等式组的整数解．
考点四．不等式（组）的含参问题
例4（2019?丹东）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为 ．
【变式训练】
1．（2019?包头）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 ．
2．（2018?贵阳）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
3．（2019?天宁区校级二模）已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
4．（2019?建邺区校级二模）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是 ．
考点五 一元一次不等式的应用
例5．（2019?连云区二模）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米，每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元
（1）每台A型、B型挖掘机一小时分别挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，该工程队施工的最低费用是多少元？
【变式训练】
1．（2019?抚顺模拟）某学校在商场购买了A、B两种品牌的足球，已知购买4个A品牌的足球和6个B品牌足球共需620元；购买6个A品牌的足球和8个B品牌的足共需860元．
（1）求A、B两种品牌的足球的单价．
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，所学状决定再次购买A、B两种品牌的足球共50个，恰逢该商场对足球的售价进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高了10%，如果此次购买A、B两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个B品牌的足球？
2．（2019?海州区二模）某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出一部分钱为老师购买纪念品，其余用于毕业晚会上给全班50位同学每人购买一件文化衫或者一本留言册作为纪念，了解到每件文化衫比每本留言册多8元，用200元恰好能购买4件文化衫和2本留言册．
（1）求买一件文化衫、一本留言册各需多少元？
（2）如果用于给老师买纪念品的钱数不少于120元，则这50件纪念品（每人一件文化衫或一本留言册）中最多能买多少件文化衫？
3．（2019?越秀区校级二模）某商场销售A，B两种商品，售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A，B两种商品很快售完，商场决定再一次购进A，B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么此商场至少需购进多少件A种商品？
4．（2019?河南三模）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元．
（1）求A，B两种工艺品的单价；
（2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，则共有几种进货方案？
（3）已知售出一个A种工艺品可获利10元，售出一个B种工艺品可获利18元，该店主决定每售出一个B种工艺品，为希望工程捐款m元，在（2）的条件下，若A，B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同，则m的值是多少？此时店主可获利多少元？
第二单元 方程与不等式
第9讲 一元一次不等式（组）
1．（2019?桂林）如果，，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
，
，
，
故选：．
2．（2019?广安）若，下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故错误；
、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故错误；
、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故错误；
、如，，，；故正确；
故选：．
3．（2019?长春）不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】移项得：
系数化为1得：．
故选：．
4．（2019?呼和浩特）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解不等式得：，
不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，
，
，
解得：，
故选：．
5．（2019?宿迁）不等式的非负整数解有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】，
解得：，
则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．
故选：．
6．（2019?南充）关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解不等式得：，
不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：，
解得：．
故选：．
7．（2019?永州）若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有解，
，
解得，
如果，则不等式组的解集为，整数解为，有1个；
如果，则不等式组的解集为，整数解为，2，有2个；
如果，则不等式组的解集为，整数解为，1，2，3，有4个．
故选：．
8．（2019?广元）不等式组的非负整数解的个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】，
解①得：，
解②得，
则不等式组的解集为．
故非负整数解为0，1，2，3共4个
故选：．
9．（2019?常德）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格（元所在的范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得：，
可得：，
故选：．
10．（2019?怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共 只．
A．55 B．72 C．83 D．89
【答案】C
【解析】设该村共有户，则母羊共有只，
由题意知，
解得：，
为整数，
，
则这批种羊共有（只，
故选：．
11．（2019?大庆）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】是不等式的解，
，
解得：，
不是这个不等式的解，
，
解得：，
，
故答案为：．
12．（2019?铜仁市）如果不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】解这个不等式组为，
则，
解这个不等式得
故答案．
13．（2019?包头）已知不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
【解析】
由①得；
由②得．
不等式组的解集为，
，
解得．
故答案为．
14．（2019?鸡西）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为：．
15．（2019?邵阳）不等式组的解集是 ．
【答案】．
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
16．（2019?哈尔滨）不等式组的解集是 ．
【答案】．
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
17．（2019?荆州）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】依题意得：
解得．
故答案是：．
三．解答题（共7小题）
18．（2019?淄博）解不等式．
【答案】．
【解析】将不等式两边同乘以2得，
解得．
19．（2019?贺州）解不等式组：
【答案】．
【解析】解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为．
20．（2019?新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
【解析】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
21．（2019?遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有，两种客车可供租用，型客车每辆载客量45人，型客车每辆载客量30人．若租用4辆型客车和3辆型客车共需费用10700元；若租用3辆型客车和4辆型客车共需费用10300元．
（1）求租用，两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【解析】（1）设租用，两型客车，每辆费用分别是元、元，
，
解得，，
答：租用，两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用型客车辆，租用型客车辆，
，
解得，，，，
共有三种租车方案，
方案一：租用型客车2辆，型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用型客车4辆，型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用型客车5辆，型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用型客车4辆，型客车2辆最省钱．
22．（2019?荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人辆）
35
30
租金（元辆）
400
320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，
依题意，得：，
解得：．
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
（2）（辆（人，（辆，
租车总辆数为8辆．
故答案为：8．
（3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
，3，4，5，
共有4种租车方案．
设租车总费用为元，则，
，
的值随值的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为2720．
学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
23．（2019?宁夏）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．
【解析】（1）设每位男生的化妆费是元，每位女生的化妆费是元，
依题意得：．
解得：．
答：每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元；
（2）设男生有人化妆，
依题意得：．
解得．
即的最大值是37．
答：男生最多有37人化妆．
24．（2019?福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
（1）求该车间的日废水处理量；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
【解析】（1）（元，，
．
依题意，得：，
解得：．
答：该车间的日废水处理量为20吨．
（2）设一天产生工业废水吨，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为．
归纳 1：有关概念
基础知识归纳：
1．不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
2．不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
3．用数轴表示不等式的方法
4．一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
5．一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．
注意问题归纳： 不等式组的解集是所有解得公共部分．
归纳 2：不等式基本性质
基础知识归纳：
1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．
注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
归纳 3：一元一次不等式（组）的解法
基础知识归纳：
1．解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
2．一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．
注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
归纳 4：一元一次不等式（组）的应用
基础知识归纳：
1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．
（5）检验，看解集是否符合题意．
（6）写出答案．
2．解应用题的书写格式：
设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．
注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．
考点一 不等式的基本性质
例1．（2019?舟山）已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（ ）
A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．
【分析】直接利用等式的基本性质分别化简得出答案．
【解析】∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d．
故选：A．
点睛：此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2019?广安）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C． D．m2＞n2
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解析】A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；
D、如m＝2，n＝﹣3，m＞n，m2＜n2；故D正确；
故选：D．
点睛：主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
2．（2019?余杭区二模）已知a＝b≠0，则（ ）
A． B． C．a|c+1|＞b|c+2| D．a+c＞b﹣c
【分析】根据等式的性质和不等式的性质解答即可．
【解析】A、因为a＝b≠0，所以，正确；
B、当c＝0时，无意义，错误；
C、因为a＝b≠0时，c的值无法确定，|c+1|与|c+2|的大小不能确定，错误；
D、因为a＝b≠0时，c的值无法确定，所以a+c与a﹣c不能确定大小，错误；
故选：A．
点睛：此题考查不等式的性质，关键是根据等式的性质和不等式的性质解答．
3．（2019?大庆三模）下列式子一定成立的是（ ）
A．若ac2＝bc2则a＝b
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若a＞b则ac2＞bc2
D．若a＜b，则
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解析】∵c＝0时，ac2＝bc2一定成立，
∴ac2＝bc2，a不一定等于b，
∴选项A不符合题意；
∵若ac＞bc，c＜0，则a＜b，
∴选项B不符合题意；
∵c＝0时，ac2＝bc2，
∴若a＞b则ac2＞bc2不一定成立，
∴选项C不符合题意；
∵若a＜b，则，
∴选项D符合题意．
故选：D．
考点二 解一元一次不等式
例2．（2019?南关区二模）小明在解不等式的过程中出现了错误，解答过程如下：
解不等式：
解：去分母，得2（x+4）﹣3（3x﹣1）≥1（第一步）
去括号，得2x+8﹣9x﹣3≥1，（第二步）
移项，得2x﹣9x≥1+8﹣3，（第三步）
合并同类项，得﹣7x≥6．（第四步）
两边都除以﹣7，得．（第五步）
（1）小明的解答过程是从第 一 步开始出现错误的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】根据不等式的基本性质逐个判断即可．
【解析】（1）小明的解答过程是从第一步开始出错的，出错原因是去分母时漏乘常数项；
故答案为：一；去分母时漏乘常数项；
（2），
去分母，得（x+4）﹣（3x﹣1）≥3，
去括号，得x+4﹣3x+1≥3，
移项，得x﹣3x≥3﹣4﹣1，
合并同类项，得﹣2x≥﹣2．
系数化为1，得x≤1．
点睛：本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的基本性质进行变形是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2019?朝阳区模拟）解不等式，并写出它的所有非负整数解．
【分析】先利用不等式的性质求出不等式的解集，再写出它的所有非负整数解即可．
【解析】去分母得：3x﹣3＜2x﹣1，
移项、合并得：x＜2，
所以不等式的所有非负整数解为0，1．
点睛：本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键．
2．（2018?南京一模）（1）解不等式1，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是 ．
【分析】（1）①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1，据此解不等式1，并把它的解集在数轴上表示出来即可．
（2）根据关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，求出a的取值范围即可．
【解析】（1）∵2x﹣3（x﹣1）≤6，
∴2x﹣3x+3≤6，
解得x≥﹣3，
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
．
（2）∵关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，
∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．
故答案为：﹣4＜a≤﹣3．
3．（2019?长春模拟）马小虎在解不等式的过程中出现了错误，解答过程如下：
（1）马小虎的解答过程是从第 步开始出现错误的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）第三步的移项出现错误；
（2）根据一元一次不等式的解题步骤求解．
【解析】（1）马小虎的解答过程是从第三步开始出现错误的；
故答案为三；
（2）正确的解答过程为：
去分母得5（1+x）＞3（2x﹣1），
去括号得5+5x＞6x﹣3，
移项得5x﹣6x＞﹣3﹣5，
合并得﹣x＞﹣8，
系数化为1得x＜8．
点睛：本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
考点三 解一元一次不等式组
例3．（2019?姑苏区校级二模）解不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式3x﹣8＜x，得：x＜4，
解不等式，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜4．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2019?黄石）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
【解析】，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），
∴点P在的第四象限．
2．（2019?北京）解不等式组：
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解析】，
解①得：x＜2，
解②得x，
则不等式组的解集为x＜2．
3．（2019?宜昌）解不等式组，并求此不等式组的整数解．
【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
【解析】，
由①得：x，
由②得：x＜4，
不等式组的解集为：x＜4．
则该不等式组的整数解为：1、2、3．
考点四．不等式（组）的含参问题
例4（2019?丹东）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为 3 ．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得．
【解析】解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，
解不等式a﹣x＞﹣1，得：x＜a+1，
∵不等式组的解集为2＜x＜4，
∴a+1＝4，即a＝3，
故答案为：3．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2019?包头）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 ．
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】
由①得x＞﹣1；
由②得x＞k+1．
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴k+1≤﹣1，
解得k≤﹣2．
故答案为k≤﹣2．
2．（2018?贵阳）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【解析】，
由①得：x≤2，
由②得：x＞a，
∵不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
3．（2019?天宁区校级二模）已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．
【解析】解不等式5﹣2x≥﹣1，得：x≤3，
解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
∵不等式组有3个整数解，
∴0≤a＜1，
故答案为：0≤a＜1．
4．（2019?建邺区校级二模）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为﹣7，知不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，据此求解可得．
【解析】解不等式3＞﹣1，得：x＞﹣4.5，
∵不等式组的整数解的和为﹣7，
∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，
则﹣3＜m≤﹣2或2＜x≤3，
故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜x≤3．
考点五 一元一次不等式的应用
例5．（2019?连云区二模）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米，每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元
（1）每台A型、B型挖掘机一小时分别挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，该工程队施工的最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用至少完成1080立方米的挖土量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
【解析】（1）设每台A型挖掘机一小时挖出x立方米，每台B型挖掘机一小时挖出y立方米，
根据题意可得：
，
解得：，
答：每台A型挖掘机一小时挖出30立方米，每台B型挖掘机一小时挖出15立方米；
（2）设A型挖掘机要a台，总费用为w元，
根据题意可得：w＝300×4a+180×4×（12﹣a）
＝480a+8640，
30×4a+15×4×（12﹣a）≥1080，
解得：a≥6，
∵k＝480＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴a＝6时，费用最低w＝11520元，
答：施工时用A型B型都是6台时，总费用最低11520元．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
【变式训练】
1．（2019?抚顺模拟）某学校在商场购买了A、B两种品牌的足球，已知购买4个A品牌的足球和6个B品牌足球共需620元；购买6个A品牌的足球和8个B品牌的足共需860元．
（1）求A、B两种品牌的足球的单价．
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，所学状决定再次购买A、B两种品牌的足球共50个，恰逢该商场对足球的售价进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高了10%，如果此次购买A、B两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个B品牌的足球？
【分析】（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用购买A、B两种足球的总费用不超过2900元，得出不等式求出答案．
【解析】（1）设A种品牌的足球的单价为x元，B种品牌的足球的单价为y元，
根据题意，得：，
解得：．
答：A种品牌的足球的单价为50元，B种品牌的足球的单价为70元．
（2）设这所学校再次购买n个B品牌的足球，
根据题意，得50（1+10%）（50﹣n）+70n≤2900
解得，n≤10
答：这所学校最多可购买10个B品牌的足球．
2．（2019?海州区二模）某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出一部分钱为老师购买纪念品，其余用于毕业晚会上给全班50位同学每人购买一件文化衫或者一本留言册作为纪念，了解到每件文化衫比每本留言册多8元，用200元恰好能购买4件文化衫和2本留言册．
（1）求买一件文化衫、一本留言册各需多少元？
（2）如果用于给老师买纪念品的钱数不少于120元，则这50件纪念品（每人一件文化衫或一本留言册）中最多能买多少件文化衫？
【分析】（1）根据题意利用每件文化衫比每本留言册多8元，用200元恰好能购买4件文化衫和2本留言册，分别得出等式求出答案；
（2）直接利用利用（1）中所求得出1800﹣购买50件纪念品的费用≥120，进而得出答案．
【解析】（1）设买一件文化衫需要x元，买一本留言册需要y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：买一件文化衫需要36元，买一本留言册需要28元；
（2）设能买a件文化衫，则购买（50﹣a）本留言册，根据题意可得：
1800﹣[36a+28（50﹣a）]≥120
解得：a≤35，
答：这50件纪念品（每人一件文化衫或一本留言册）中最多能买35件文化衫．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
3．（2019?越秀区校级二模）某商场销售A，B两种商品，售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A，B两种商品很快售完，商场决定再一次购进A，B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么此商场至少需购进多少件A种商品？
【分析】（1）等量关关系：利润＝单件产品利润×数量，总利润＝总利润A+总利润B；
（2）不等量关系：总利润A+总利润B≥4000．
【解析】（1）设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每件A种商品售出后所得的利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件，根据题意得：
200a+100（34﹣a）≥4000，
解得：a≥6，
答：商场至少需购进6件A种商品．
4．（2019?河南三模）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元．
（1）求A，B两种工艺品的单价；
（2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，则共有几种进货方案？
（3）已知售出一个A种工艺品可获利10元，售出一个B种工艺品可获利18元，该店主决定每售出一个B种工艺品，为希望工程捐款m元，在（2）的条件下，若A，B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同，则m的值是多少？此时店主可获利多少元？
【分析】（1）设A种工艺品的单价为x元/个，B种工艺品的单价为y元/个，根据“A，B两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品个，根据最多购进A种工艺品36个且B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出进货方案的个数；
（3）设总利润为w元，根据总利润＝单个利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，由w值与a值无关可得出m的值，再代入m值即可求出w的值．
【解析】（1）设A种工艺品的单价为x元/个，B种工艺品的单价为y元/个，
依题意，得：，
解得：．
答：A种工艺品的单价为80元/个，B种工艺品的单价为120元/个．
（2）设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品个，
依题意，得：，
解得：30≤a≤36．
∵a为正整数，
∴共有7种进货方案．
（3）设总利润为w元，
依题意，得：w＝10a+（18﹣m）（m﹣2）a+1440﹣80m，
∵w的值与a值无关，
∴m﹣2＝0，
∴m＝3，此时w＝1440﹣80m＝1200．
答：m的值是3，此时店主可获利1200元．
