第一单元 数与式
第2讲 整式及其运算
知 识 点
名师点晴
整式的有关概念
单项式
知道单项式、单项式的系数、次数
多项式
知道多项式、多项式的项、多项式的次数、常数项．
同类项
能够分清哪些项是同类项．
整式的运算
1．幂的运算
能运用幂的运算法则进行同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方运算
2．整式的加、减、乘、除法运算法则
能按照运算法则进行整式的加、减、乘、除法运算以及整式的混合运算
3．乘法公式
能熟练运用乘法公式
1．（2019?怀化）单项式﹣5ab的系数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
2．（2019?恩施州）下列计算正确的是（ ）
A．（a4b）3＝a7b3 B．﹣2b（4a﹣b2）＝﹣8ab﹣2b3
C．aa3+a2a2＝2a4 D．（a﹣5）2＝a2﹣25
3．（2019?黄石）化简（9x﹣3）﹣2（x+1）的结果是（ ）
A．2x﹣2 B．x+1 C．5x+3 D．x﹣3
4．（2019?宜昌）化简（x﹣3）2﹣x（x﹣6）的结果为（ ）
A．6x﹣9 B．﹣12x+9 C．9 D．3x+9
5．（2019?河北）小明总结了以下结论：
①a（b+c）＝ab+ac；
②a（b﹣c）＝ab﹣ac；
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）
其中一定成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2019?云南）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1
C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1
7．（2019?常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
二．填空题（共6小题）
8．（2019?广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是 ．
9．（2019?徐州）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 ．
10．（2019?永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若s＝1，则a2＝ ；
（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝ ．
11．（2018?安顺）若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m＝ ．
12．（2019?湘潭）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝ ．
13．（2017?西藏）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
根据前面各式的规律，猜想
（x﹣1）（x2016+x2015+x2014+…+x+1）＝ ．
三．解答题（共3小题）
14．（2019?长春）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a．
15．（2019?吉林）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a．
16．（2019?安顺）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M?N＝am?an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M?N）
又∵m+n＝logaM+logaN
∴loga（M?N）＝logaM+logaN
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式 ；
（2）求证：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝ ．
（一）代数式
1.代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 连接而成的式子叫做代数式.
2.代数式的值 用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的 叫做代数式的值.
（二）整式
1.单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.
2.多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的 ,其中 的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做
3.整式： 与 统称整式.
4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 .
5. 幂的运算性质: am·an= ； (am)n= ； am÷an＝ ； (ab)n= .
6. 乘法公式：
(1) ； （2）（a＋b）(a－b)＝ ；
(3) (a＋b)2＝ ；(4)(a－b)2＝ .
7. 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ．
考点一 整式的有关概念
例1．（2019?巴彦淖尔模拟）若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，则m，n的值分别为（ ）
A．3，5 B．2，3 C．2，5 D．3，﹣2
【变式训练】
1．（2018?铜仁市模拟）单项式2πr3的系数是（ ）
A．3 B．π C．2 D．2π
2．（2019?大城县一模）下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额
B．若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力
D．若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4m表示这个两位数
考点二 幂的运算
例2．（2019?长安区三模）下列是摘录某学生的一次作业：
①（a2）3＝a6；②（﹣x）3÷（﹣x）＝x2；③3a+2b＝5ab；④（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2
其中结果错误的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【变式训练】
1．（2019?景泰县校级一模）下列计算正确的是（ ）
A．a?a3＝a4 B．a4+a3＝a7
C．（a2）5＝a7 D．（a﹣b）2＝a2 +b2
2．（2019?长春四模）计算：（﹣m）3?m4＝ ．
3．（2019?石家庄一模）已知3x＝5，3y＝2，则3x+y的值是 ．
考点三 列代数式
例3．（2019?杨浦区三模）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上増加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元（用含m、a的代数式表示）
【变式训练】
1.（2019?延边州二模）2019年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的重量不超过20kg．若超过20kg，则超出的重量每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票小明的爸爸从长春飞到北京，机票原价是m元，他带了40kg行李，小明的爸爸应付的行李票是
（用含m的代数式表示）．
2．（2019?吉林二模）某微商平台有一商品，标价为a元，按标价5折再降价30元销售，则该商品售价为 元．
3．（2019?江西模拟）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若实数a用代数式表示为，实数b用代数式表示为，则a﹣b的值为 ．
考点四 整式的运算
例4（2018?藁城区模拟）对于任何实数，我们规定符号：ad﹣bc，如1×5﹣2×3＝﹣1．
（1）按这个规定计算：；
（2）如果0，求x的取值范围，并在如图的数轴上表示．
【变式训练】
1．（2019?汉阳区模拟）计算：4x4?x2﹣（﹣2x2）3﹣3x8÷x2
2．（2019?汉阳区校级模拟）计算，3x3?x2y﹣8x7y÷x2+4（x2）2?xy
3．（2018?海南模拟）计算
（1）2sin45°+（）0﹣||
（2）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）
考点五 整式的化简求值
例5．（2019?东城区二模）如果x﹣y，那么代数式（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）的值是 ．
【变式训练】
1．（2019?顺义区二模）已知a2+2a＝﹣2，则2a（2a+1）+（a+4）2的值为 ．
2.（2019?周口二模）先化简，再求值：÷4y，其中x＝﹣4，y＝﹣6．
考点六 代数式的变化规律
例6．（2019?都江堰市模拟）设a1、a2、a3…是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数），已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2019等于 ．
【变式训练】
1．（2019?云南模拟）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1，a2，a3，…an，则a2019＝ ．
2．（2019?邹平县模拟）观察下列关于自然数的等式：
12﹣4×02＝1 ①
32﹣4×12＝5 ②
52﹣4×22＝9 ③
根据上述规律解决下列问题：
猜想第n个等式（用含n的式子表示） ．
3．（2019?娄底模拟）记Sn＝a1，+a2+…an，令Tn，则称Tn为a1，a2，…，an这列数的“凯森和”，已知a1，a2，…a500的“凯森和”为2004，那么1，a1，a2，…a500的“凯森和”为 ．
考点七 整式的综合应用
例7．（2017?胶州市一模）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【变式训练】
1.（2019?越城区一模）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形．
（1）求拼成新矩形的周长（用含m或n的代数式表示）；
（2）当m＝7，n＝3时，求拼成新矩形的面积．
2．（2018?衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
3．（2018?贵阳）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m＝7，n＝4，求拼成矩形的面积．
第一单元 数与式
第2讲 整式及其运算
知 识 点
名师点晴
整式的有关概念
单项式
知道单项式、单项式的系数、次数
多项式
知道多项式、多项式的项、多项式的次数、常数项．
同类项
能够分清哪些项是同类项．
整式的运算
1．幂的运算
能运用幂的运算法则进行同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方运算
2．整式的加、减、乘、除法运算法则
能按照运算法则进行整式的加、减、乘、除法运算以及整式的混合运算
3．乘法公式
能熟练运用乘法公式
1．（2019?怀化）单项式﹣5ab的系数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】单项式﹣5ab的系数是﹣5，
故选：B．
点睛：本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
2．（2019?恩施州）下列计算正确的是（ ）
A．（a4b）3＝a7b3 B．﹣2b（4a﹣b2）＝﹣8ab﹣2b3
C．aa3+a2a2＝2a4 D．（a﹣5）2＝a2﹣25
【答案】C
【解析】A、（a4b）3＝a12b3，故此选项不合题意；
B、﹣2b（4a﹣b2）＝﹣8ab+2b3，故此选项不合题意；
C、aa3+a2a2＝2a4，故此选项符合题意；
D、（a﹣5）2＝a2﹣10a+25，故此选项不合题意；
故选：C．
点睛：此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2019?黄石）化简（9x﹣3）﹣2（x+1）的结果是（ ）
A．2x﹣2 B．x+1 C．5x+3 D．x﹣3
【答案】D
【解析】原式＝3x﹣1﹣2x﹣2＝x﹣3，
故选：D．
点睛：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2019?宜昌）化简（x﹣3）2﹣x（x﹣6）的结果为（ ）
A．6x﹣9 B．﹣12x+9 C．9 D．3x+9
【答案】C
【解析】原式＝x2﹣6x+9﹣x2+6x
＝9．
故选：C．
点睛：此题主要考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2019?河北）小明总结了以下结论：
①a（b+c）＝ab+ac；
②a（b﹣c）＝ab﹣ac；
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）
其中一定成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①a（b+c）＝ab+ac，正确；
②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．
故选：C．
点睛：此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2019?云南）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1
C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1
【答案】C
【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，
﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，
x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，
﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，
x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，
……
由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，
故选：C．
点睛：此题主要考查了数字的变化类，关键是分别找出符号与指数的变化规律．
7．（2019?常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【解析】∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
故选：A．
点睛：此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
二．填空题（共6小题）
8．（2019?广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是 ．
【答案】21
【解析】∵x＝2y+3，
∴x﹣2y＝3，
则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9
＝4×3+9
＝21．
故答案为：21．
点睛：此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
9．（2019?徐州）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 ．
【答案】4
【解析】∵a＝b+2，
∴a﹣b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．
故答案为：4
点睛：本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
10．（2019?永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若s＝1，则a2＝ ；
（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝ ．
【解析】（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，
（a+b）2的第三项的系数为：1，
（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，
（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，
…
∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；
（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．
故答案为：105；
（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．
当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，
故答案为：315．
点睛：本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．
11．（2018?安顺）若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m＝ ﹣1或7 ．
【答案】﹣1或7
【解析】∵x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m﹣3）＝±8，
解得：m＝﹣1或7，
故答案为：﹣1或7．
点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
12．（2019?湘潭）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝ 15 ．
【答案】15
【解析】∵a+b＝5，a﹣b＝3，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝5×3
＝15，
故答案为：15．
点睛：本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
13．（2017?西藏）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
根据前面各式的规律，猜想
（x﹣1）（x2016+x2015+x2014+…+x+1）＝ ．
【答案】x2017﹣1
【解析】∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
∴（x﹣1）（x2016+x2015+x2014+…+x+1）＝x2017﹣1．
故答案为：x2017﹣1．
点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确发现已知中次数变化规律是解题关键．
14．（2019?长春）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a．
【答案】2
【解析】原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a
＝8a+1，
当a时，原式＝8a+1＝2．
点睛：此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（2019?吉林）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a．
【答案】5
【解析】原式＝a2﹣2a+1+a2+2a＝2a2+1，
当时，原式＝5．
点睛：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2019?安顺）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M?N＝am?an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M?N）
又∵m+n＝logaM+logaN
∴loga（M?N）＝logaM+logaN
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式 4＝log381 ；
（2）求证：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝ 2 ．
【解析】（1）4＝log381（或log381＝4），
故答案为：4＝log381；
（2）证明：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，
又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，
∴logalogaM﹣logaN；
（3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．
故答案为：2．
点睛：本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
（一）代数式
1.代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.
（二）整式
1.单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的
数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的
次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项.
3.整式：单项式与多项式统称整式.
4. 同类项：在一个多项式中，所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是把同类项中的系数相加减，字母部分不变.
5. 幂的运算性质: am·an=am+n； (am)n=amn； am÷an＝am-n； (ab)n=anbn.
6. 乘法公式：
(1) ac+ad+bc+bd； （2）（a＋b）(a－b)＝a2-b2；
(3) (a＋b)2＝a2+2ab+b2；(4)(a－b)2＝a2-2ab+b2.
7. 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把系数、相同字母分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
考点一 整式的有关概念
例1．（2019?巴彦淖尔模拟）若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，则m，n的值分别为（ ）
A．3，5 B．2，3 C．2，5 D．3，﹣2
【分析】直接利用同类项的定义分析得出答案．
【解析】∵单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，
∴2m﹣1＝3，n＝5，
解得：m＝2，
故m，n的值分别为：2，5．
故选：C．
点评：此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2018?铜仁市模拟）单项式2πr3的系数是（ ）
A．3 B．π C．2 D．2π
【答案】D．
【解析】单项式2πr3的系数是2π，
故选：D．
点评：此题主要考查了单项式的系数，熟练掌握单项式系数的确定方法即可得出结论．
2．（2019?大城县一模）下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额
B．若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力
D．若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4m表示这个两位数
【答案】D
【解析】A、若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额，正确；
B、若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长，正确；
C、将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力，正确；
D、若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则（4×10+m）表示这个两位数，则此选项错误；
故选：D．
点评：本题主要考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系．
考点二 幂的运算
例2．（2019?长安区三模）下列是摘录某学生的一次作业：
①（a2）3＝a6；②（﹣x）3÷（﹣x）＝x2；③3a+2b＝5ab；④（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2
其中结果错误的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解析】（a2）3＝a6，故①错误；
②（﹣x）3÷（﹣x）＝（﹣x）2＝x2，故②错误；
3a和2b不能合并，故③正确；
（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，故④正确；
即结果错误的有③④，
故选：C．
点评：本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2019?景泰县校级一模）下列计算正确的是（ ）
A．a?a3＝a4 B．a4+a3＝a7
C．（a2）5＝a7 D．（a﹣b）2＝a2 +b2
【答案】A
【解析】a?a3＝a4，故选项A符合题意；
a4与a3不是同类项，故不能合并，故选项B不合题意；
（a2）5＝a10，故选项C不合题意；
（a﹣b）2＝a2 +2ab+b2，故选项D不合题意．
故选：A．
2．（2019?长春四模）计算：（﹣m）3?m4＝ ．
【答案】﹣m7．
【解析】（﹣m）3?m4＝﹣m7，
故答案为：﹣m7
点评：此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．
3．（2019?石家庄一模）已知3x＝5，3y＝2，则3x+y的值是 ．
【答案】10
【解析】∵3x＝5，3y＝2，
∴原式＝3x?3y＝10，
故答案为：10
点评：此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点三 列代数式
例3．（2019?杨浦区三模）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上増加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元（用含m、a的代数式表示）
【答案】0.17am．
【解析】由题意可得，
超市获得的利润是：a（1+30%）×÷4y，其中x＝﹣4，y＝﹣6．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式＝（x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷4y
＝（4xy﹣2y2）÷4y
＝xy，
当x＝﹣4，y＝﹣6时，
原式＝﹣4+3＝﹣1．
考点六 代数式的变化规律
例6．（2019?都江堰市模拟）设a1、a2、a3…是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数），已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2019等于 ．
【分析】由4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，可得（an+1﹣1）2＝（an﹣1）2+4an＝（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1＝an+2，根据a1＝1，分别求出
a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，进而发现规律an＝2n﹣1，即可求出a2018＝4035
【解析】∵4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，
∴（an+1﹣1）2＝（an﹣1）2+4an＝（an+1）2，
∵a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an+1﹣1＝an+1，
∴an+1＝an+2，
∵a1＝1，
∴a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，
…，
∴an＝2n﹣1，
∴a2019＝4037．
故答案为4037．
【变式训练】
1．（2019?云南模拟）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1，a2，a3，…an，则a2019＝ 5 ．
【分析】观察数据可知，a1，a2，a35，a4，…，从第一项开始3个一循环，再用2019除以3得出余数即可求解．
【解析】观察数据可知，a1，a2，a35，a4，…，从第一项开始3个一循环，
2019÷3＝673，
故a2019＝5．
故答案为：5．
2．（2019?邹平县模拟）观察下列关于自然数的等式：
12﹣4×02＝1 ①
32﹣4×12＝5 ②
52﹣4×22＝9 ③
根据上述规律解决下列问题：
猜想第n个等式（用含n的式子表示） ．
【分析】根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式，本题得以解决．
【解析】∵12﹣4×02＝1＝4×1﹣3①
32﹣4×12＝5＝4×2﹣3②
52﹣4×22＝9＝4×3﹣3③
……
∴第n个等式（用含n的式子表示）是（2n﹣1）2﹣4（n﹣1）2＝4n﹣3，
故答案为：（2n﹣1）2﹣4（n﹣1）2＝4n﹣3
3．（2019?娄底模拟）记Sn＝a1，+a2+…an，令Tn，则称Tn为a1，a2，…，an这列数的“凯森和”，已知a1，a2，…a500的“凯森和”为2004，那么1，a1，a2，…a500的“凯森和”为 2001 ．
【分析】先根据已知求出T500的值，再设出新的凯森和Tx，列出式子，把得数代入，即可求出结果．
【解析】∵Tn，
∴T500＝2004，
设新的“凯森和”为Tx，
501×Tx＝1×501+500×T500，
Tx＝（1×501+500×T500）÷501
＝（1×501+500×2004）÷501
＝1+500×4
＝2001．
故答案为：2001．
考点七 整式的综合应用
例7．（2017?胶州市一模）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【分析】（1）尝试解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62；
（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．
【解析】（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；
故答案为：62；
（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+nn（n+1），
∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．
故答案为：[n（n+1）]2．
【变式训练】
1.（2019?越城区一模）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形．
（1）求拼成新矩形的周长（用含m或n的代数式表示）；
（2）当m＝7，n＝3时，求拼成新矩形的面积．
【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．
（2）把m＝7，n＝3代入矩形的长与宽中，再利用矩形的面积公式解答即可．
【解析】（1）新矩形的长为：m+n，
新矩形的宽为：m﹣n，
新矩形的周长＝2[（m+n）+（m﹣n）]＝4m．
（2）新矩形的面积为：（m+n）（m﹣n），
把m＝7，n＝3代入（m+n）（m﹣n）＝10×4＝40，
即拼成新矩形的面积是40．
点评：此题考查列代数式问题，关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．
2．（2018?衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解析】由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2a2+2ab+b2＝（a+b）2．
点评：本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
3．（2018?贵阳）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m＝7，n＝4，求拼成矩形的面积．
【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．
（2）把m＝7，n＝4代入矩形的长与宽中，再利用矩形的面积公式解答即可．
【解析】（1）矩形的长为：m﹣n，
矩形的宽为：m+n，
矩形的周长为：4m；
（2）矩形的面积为（m+n）（m﹣n），
把m＝7，n＝4代入（m+n）（m﹣n）＝11×3＝33．
