第一单元 数与式
第3讲 因式分解
知 识 点
名师点晴
因式分解的概念
就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．
因式分解与整式乘法是互逆运算．
因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．
因式分解的方法[
1．提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c）
确定好公因式是解题的关键
2．公式法：
（1）平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；
（2）完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2.
要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式进考虑完全平方公式化．
3．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
这个是课后的内容，不做硬性的要求，熟练运用在高中学习就会轻松许多．一定要熟记公式的特点．
因式分解的步骤
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．
要分解到不能在分解为止．
1．（2019?绥化）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
2．（2019?贺州）把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（4a+1）（4a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2 D．（2a+1）2
3．（2019?泸州）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
4．（2019?安徽）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
5．（2019?株洲）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
6．（2019?台湾）若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
7．（2019?恩施州）因式分解：4a3b3﹣ab＝ ．
8．（2019?朝阳）因式分解：x2+2＝ ．
9．（2019?济南）分解因式：m2﹣4m+4＝ ．
10．（2019?大庆）分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝ ．
11．（2019?赤峰）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
12．（2019?桂林）若x2+ax+4＝（x﹣2）2，则a＝ ．
13．（2019?河池）分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．
14．（2019?大庆三模）若3x2﹣x＝1，求代数式6x3+7x2﹣5x+2019的值．
15．（2018?大连）【观察】1×49＝49，2×48＝96，3×47＝141，…，23×27＝621，24×26＝624，25×25＝625，26×24＝624，27×23＝621，…，47×3＝141，48×2＝96，49×1＝49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 ．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
16．（2018?临安区）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2＝a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
一．因式分解的有关概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．
注意：
符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式．
2．因式分解与整式乘法是互逆运算．
二．提取公因式法分解因式
将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂．
提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c）
注意：
提公因式要注意系数；
要注意查找相同字母，要提净．
三．运用公式法分解因式
运用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2．
注意：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．
四．运用多种方法分解因式
因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．
注意：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．
考点一、因式分解的意义
例1．（2019?庆云县二模）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8x2 y3＝2x2?4 y3 B．（ x+1）（ x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（ x﹣y）﹣1 D．x2﹣8x+16＝（ x﹣4）2
【变式训练】
1.（2019?嘉祥县一模）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．x2+5x＝x（x+5）
C．x2+5x+5＝x（x+5）+5 D．a2+1＝a（a）
2．（2015秋?南江县期末）若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于 ．
3．（2013?成都模拟）若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b＝ ．
考点二、公因式
例2．（2019春?大丰区期末）多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是（ ）
A．a B．x﹣1 C．a（x﹣1） D．a（x2﹣1）
【变式训练】
1.（2019春?三水区期末）多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（ ）
A．a+5 B．a﹣5 C．a+25 D．a﹣25
2．（2019?岳阳二模）多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是 ．
3．（2017?长安区校级模拟）多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是 ．
考点三、提公因式法分解因式
例3．（2019?龙华区校级模拟）若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
【变式训练】
1．（2019?金山区二模）因式分解：a3+2a＝ ．
2．（2018?南岸区模拟）若x、y互为相反数，则代数式xy+y2﹣5的值是（ ）
A．﹣5 B．3 C．0 D．无法确定
3．（2018?鼓楼区一模）计算999﹣93的结果更接近（ ）
A．999 B．998 C．996 D．933
考点四、利用公式法分解因式
例4．（2019?合肥模拟）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（ ）
A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a） B．（a2﹣2a+1）2
C．（a﹣1）4 D．（a+1）2（a﹣1）2
【变式训练】
1．（2019?庐江县模拟）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2﹣2a﹣1 C．a2﹣a+1 D．a2﹣2a+1
2．（2019?长春三模）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
3．（2018?江干区一模）将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
4．（2018秋?徽县期末）因式分解：
（1）x4﹣16y4
（2）x3+9x﹣6x2
5．（2018?槐荫区二模）因式分解：m3n﹣4m2n+4mn
考点五、利用提公因式法和公式法因式分解
例5．（2019?利川市一模）因式分解：﹣bx3+2bx2﹣bx＝ ．
【变式训练】
1．（2019?南岗区校级模拟）分解因式5a3b﹣10a2b+5ab＝ ．
2．（2019?邵阳县模拟）多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为 ．
考点六、实数范围内因式分解
例6．（2019?曲靖二模）在实数范围内因式分解：2x3+8x2+8x＝
【变式训练】
1．（2019?静安区二模）如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是 ．
2．（2019?锡山区校级二模）在实数范围内分解因式：2x2﹣32＝ ．
3．（2019?碑林区校级二模）因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝ ．
4．（2019?邗江区校级模拟）把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式，结果是 ．
5．（2019?马鞍山二模）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝ ．
考点七、因式分解的综合应用
例7．（2018?沙坪坝区模拟）一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19＝4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F（722）＝4．
（1）计算：F（304）+F（2052）；
（2）若m、n都是“魅力数”，其中m＝3030+101a，n＝400+10b+c（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c是整数），规定：G（m，n）．当F（m）+F（n）＝24时，求G（m，n）的值．
【变式训练】
1.（2019?新宁县模拟）如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．
2．（2018?余杭区一模）已知A＝4x2+2x，B＝2x+1，回答下列问题：
（1）求A+B，并将它因式分解．
（2）若A＝B，求满足条件的x的值．
3．（2018?资中县模拟）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算：F（438）和F（562）；
（2）若a是“相异数”，证明：F（a）等于a的各数位上的数字之和；
（3）若a，b都是“相异数”，且a+b＝1000，证明：F（a）+F（b）＝28．
4．（2018?河北模拟）当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729＝729+435×1000，4356729＝729+6×1000+435×10000．
请阅读以上材料，解决下列问题．
（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；
（2）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．
第一单元 数与式
第3讲 因式分解
知 识 点
名师点晴
因式分解的概念
就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．
因式分解与整式乘法是互逆运算．
因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．
因式分解的方法[
1．提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c）
确定好公因式是解题的关键
2．公式法：
（1）平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；
（2）完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2.
要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式进考虑完全平方公式化．
3．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
这个是课后的内容，不做硬性的要求，熟练运用在高中学习就会轻松许多．一定要熟记公式的特点．
因式分解的步骤
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．
要分解到不能在分解为止．
1．（2019?绥化）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【答案】D
【解析】A、原式＝x（x﹣1），错误；
B、原式＝（a﹣4）（a+1），错误；
C、a2+2ab﹣b2，不能分解因式，错误；
D、原式＝（x+y）（x﹣y），正确．
故选：D．
2．（2019?贺州）把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（4a+1）（4a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2 D．（2a+1）2
【答案】B
【解析】4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），
故选：B．
3．（2019?泸州）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
【答案】C
【解析】原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），
故选：C．
4．（2019?安徽）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
【答案】D
【解析】∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2﹣acac0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故选：D．
5．（2019?株洲）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
【答案】D
【解析】A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误；
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
6．（2019?台湾）若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
【答案】A
【解析】利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，
可得：5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）．
∴a＝4，c＝﹣3，
∴a+c＝4﹣3＝1．
故选：A．
7．（2019?恩施州）因式分解：4a3b3﹣ab＝ ．
【答案】ab（2ab+1）（2ab﹣1）
【解析】原式＝ab（4a2b2﹣1）＝ab（2ab+1）（2ab﹣1），
故答案为：ab（2ab+1）（2ab﹣1）
8．（2019?朝阳）因式分解：x2+2＝ ．
【答案】（x+2）（x﹣2）
【解析】x2+2（x2﹣4）（x+2）（x﹣2）
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
9．（2019?济南）分解因式：m2﹣4m+4＝ ．
【答案】（m﹣2）2
【解析】原式＝（m﹣2）2，
故答案为：（m﹣2）2
10．（2019?大庆）分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝ ．
【答案】（ab﹣1）（a+b）
【解析】a2b+ab2﹣a﹣b＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）
故答案为：（ab﹣1）（a+b）
11．（2019?赤峰）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
【答案】x（x﹣y）2
【解析】原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
12．（2019?桂林）若x2+ax+4＝（x﹣2）2，则a＝ ．
【答案】﹣4
【解析】∵x2+ax+4＝（x﹣2）2，
∴a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
13．（2019?河池）分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．
【答案】（x+3）（x﹣3）
【解析】原式＝x2﹣2x+1+2x﹣10
＝x2﹣9
＝（x+3）（x﹣3）．
14．（2019?大庆三模）若3x2﹣x＝1，求代数式6x3+7x2﹣5x+2019的值．
【解析】由3x2﹣x＝1，可得：3x2＝x+1，
∴6x3+7x2﹣5x+2019
＝2x（3x2）+7x2﹣5x+2019
＝2x（x+1）+7x2﹣5x+2019
＝9x2﹣3x+2019
＝3（3x2﹣x）+2019
＝3+2019
＝2022．
15．（2018?大连）【观察】1×49＝49，2×48＝96，3×47＝141，…，23×27＝621，24×26＝624，25×25＝625，26×24＝624，27×23＝621，…，47×3＝141，48×2＝96，49×1＝49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 625 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 a+b＝50 ．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为 900 ，并用你学过的知识加以证明．
【解析】【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．
故答案为625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b＝50．
故答案为a+b＝50；
【类比】由题意，可得m+n＝60，
将n＝60﹣m代入mn，
得mn＝﹣m2+60m＝﹣（m﹣30）2+900，
∴m＝30时，mn的最大值为900．
故答案为900．
16．（2018?临安区）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2＝a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【解析】（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a＝b的情况，
故答案为：没有考虑a＝b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
一．因式分解的有关概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．
注意：
符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式．
2．因式分解与整式乘法是互逆运算．
二．提取公因式法分解因式
将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂．
提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c）
注意：
提公因式要注意系数；
要注意查找相同字母，要提净．
三．运用公式法分解因式
运用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2．
注意：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．
四．运用多种方法分解因式
因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．
注意：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．
考点一、因式分解的意义
例1．（2019?庆云县二模）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8x2 y3＝2x2?4 y3 B．（ x+1）（ x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（ x﹣y）﹣1 D．x2﹣8x+16＝（ x﹣4）2
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；
【解析】①是单项式的变形，不是因式分解；
②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；
③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；
④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D正确；
故选：D．
点评：本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．
【变式训练】
1.（2019?嘉祥县一模）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．x2+5x＝x（x+5）
C．x2+5x+5＝x（x+5）+5 D．a2+1＝a（a）
【答案】B．
【解析】A、m（a+b+c）＝ma+mb+mc，不符合题意；
B、x2+5x＝x（x+5），符合题意；
C、x2+5x+5＝x（x+5）+5，不符合题意；
D、a2+1＝a（a），不符合题意，
2．（2015秋?南江县期末）若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于 ．
【分析】通过4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，即方程4x2+5x+a的一个解是，代入方程求出a的值．
【解析】∵4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，
∴令4x﹣3＝0，则x，
把x代入方程4x2+5x+a＝0中得a＝0，解得：a＝﹣6．
故答案是：﹣6．
3．（2013?成都模拟）若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b＝ ．
【分析】由多项式有两个因式为x+1与x+2，得到x＝﹣1与x＝﹣2为x3+ax2+bx+8＝0的解，将两解代入得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出a+b的值．
【解析】由题意得到：x＝﹣1与x＝﹣2为x3+ax2+bx+8＝0的解，
代入方程得：，即，
②﹣①得：a＝7，
将a＝7代入①得：b＝14，
则a+b＝7+14＝21．
故答案为：21．
考点二、公因式
例2．（2019春?大丰区期末）多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是（ ）
A．a B．x﹣1 C．a（x﹣1） D．a（x2﹣1）
【分析】第一个多项式提取a后，利用平方差公式分解，第二个多项式提取a后，利用完全平方公式分解，找出公因式即可．
【解析】多项式ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1），多项式ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
则两多项式的公因式为a（x﹣1）．
故选：C．
点评：此题考查了公因式，将两多项式分解因式是找公因式的关键．
【变式训练】
1.（2019春?三水区期末）多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（ ）
A．a+5 B．a﹣5 C．a+25 D．a﹣25
【答案】B
【解析】多项式a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）与a2﹣5a＝a（a﹣5）的公因式是：a﹣5．
故选：B．
点评：此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题关键．
2．（2019?岳阳二模）多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是 ．
【答案】x﹣2
【解析】∵3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2），
x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2．
故答案为：x﹣2
3．（2017?长安区校级模拟）多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是 ．
【答案】﹣5mx．
【解析】多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，
故答案为：﹣5mx．
考点三、提公因式法分解因式
例3．（2019?龙华区校级模拟）若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而把已知代入求出答案．
【解析】∵x﹣y＝2，xy＝3，
∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）
＝3×2
＝6．
故选：C．
点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
【变式训练】
1．（2019?金山区二模）因式分解：a3+2a＝ ．
【分析】运用提公因式法分解因式即可，提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式．
【解析】a3+2a＝a（a2+2），
故答案为a（a2+2）．
2．（2018?南岸区模拟）若x、y互为相反数，则代数式xy+y2﹣5的值是（ ）
A．﹣5 B．3 C．0 D．无法确定
【分析】由相反数的定义得到x+y＝0，所以提取公因式得到：y（x+y）﹣5，然后代入求值即可．
【解析】依题意得：x+y＝0，
则xy+y2﹣5＝y（x+y）﹣5＝y×0﹣5＝﹣5．
故选：A．
3．（2018?鼓楼区一模）计算999﹣93的结果更接近（ ）
A．999 B．998 C．996 D．933
【分析】根据因式分解解答即可．
【解析】999﹣93＝93（996﹣1）≈999，
故选：A．
考点四、利用公式法分解因式
例4．（2019?合肥模拟）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（ ）
A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a） B．（a2﹣2a+1）2
C．（a﹣1）4 D．（a+1）2（a﹣1）2
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解析】（a2+1）2﹣4a2
＝（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）
＝（a﹣1）2（a+1）2．
故选：D．
点评：此题主要考查了公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．
【变式训练】
1．（2019?庐江县模拟）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2﹣2a﹣1 C．a2﹣a+1 D．a2﹣2a+1
【分析】直接利用公式法分解因式进而得出答案．
【解析】A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），故此选项错误；
B、a2﹣2a﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2﹣a+1，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；
D、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，正确．
故选：D．
2．（2019?长春三模）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【解析】A、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
B、﹣x2+16y2＝（4y）2﹣x2是4y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项正确；
D．a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误．
故选：B．
3．（2018?江干区一模）将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
【分析】分①4x2是平方项，②4x2是乘积二倍项，③1是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答．
【解析】A、4x2+1+2x，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
B、4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、4x4+4x2+1＝（2x2+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、4x2+1+4x＝（2x+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（2018秋?徽县期末）因式分解：
（1）x4﹣16y4
（2）x3+9x﹣6x2
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】（1）原式＝（x2+4y2）（x2﹣4y2）＝（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y）；
（2）原式＝x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2．
5．（2018?槐荫区二模）因式分解：m3n﹣4m2n+4mn
【答案】mn（m﹣2）2．
【解析】原式＝mn（m2﹣4m+4）
＝mn（m﹣2）2．
考点五、利用提公因式法和公式法因式分解
例5．（2019?利川市一模）因式分解：﹣bx3+2bx2﹣bx＝ ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】原式＝﹣bx（x2﹣2x+1）＝﹣bx（x﹣1）2．
故答案为：﹣bx（x﹣1）2
点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2019?南岗区校级模拟）分解因式5a3b﹣10a2b+5ab＝ ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】原式＝5ab（a2﹣2a+1）＝5ab（a﹣1）2，
故答案为：5ab（a﹣1）2
2．（2019?邵阳县模拟）多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为 ．
【分析】原式利用十字相乘法，以及平方差公式分解即可．
【解析】原式＝（x2﹣4）（x2﹣3）＝（x+2）（x﹣2）（x）（x），
故答案为：（x+2）（x﹣2）（x）（x）
考点六、实数范围内因式分解
例6．（2019?曲靖二模）在实数范围内因式分解：2x3+8x2+8x＝
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】原式＝2x（x2+4x+4）＝2x（x+2）2，
故答案为：2x（x+2）2
点评：此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2019?静安区二模）如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是 ．
【答案】m＞4．
【解答】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，
∴m＞4．
故答案为：m＞4．
2．（2019?锡山区校级二模）在实数范围内分解因式：2x2﹣32＝ ．
【答案】2（x+4）（x﹣4）
【解析】原式＝2（x2﹣16）＝2（x+4）（x﹣4），
故答案为：2（x+4）（x﹣4）
3．（2019?碑林区校级二模）因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝ ．
【答案】（x﹣y）（x+y﹣2）．
【解析】x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣2）．
故答案为：（x﹣y）（x+y﹣2）．
4．（2019?邗江区校级模拟）把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式，结果是 ．
【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
【解析】a2﹣2ab+b2﹣1
＝（a﹣b）2﹣1
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
5．（2019?马鞍山二模）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝ ．
【答案】（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．
【解析】4x2﹣y2+2y﹣1
＝4x2﹣（y2﹣2y+1）
＝（2x）2﹣（y﹣1）2
＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）
故答案为：（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．
考点七、因式分解的综合应用
例7．（2018?沙坪坝区模拟）一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19＝4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F（722）＝4．
（1）计算：F（304）+F（2052）；
（2）若m、n都是“魅力数”，其中m＝3030+101a，n＝400+10b+c（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c是整数），规定：G（m，n）．当F（m）+F（n）＝24时，求G（m，n）的值．
【分析】（1）根据题意代入就可以解决．
（2）根据题意列出方程，再根据解的整数性解出a，b，c的值，再代入G（m，n）可求值．
【解析】（1）∵30+2×4＝38，38÷19＝2，∴（F304）＝2，
∵205+2×2＝209，209÷19＝11，∴F（2052）＝11，
∴F（304）+F（2052）＝13；
（2）∵m＝3030+101a＝3000+100a+30+a，
∴，
∵m是魅力数，∴是整数，
∵0≤a≤9，且a是偶数，∴a＝0，2，4，6，8．
当a＝0时，不符合题意，
当a＝2时，不符合题意，
当a＝4时，当不符合题意，
当a＝6时，当不符合题意，
当a＝8时，当符合题意，
∴a＝8，此时m＝3838，F（m）＝F（3838）＝21，
又∵F（m）+F（n）＝24，∴F（n）＝3，
∵n＝400+10b+c，∴，
∴b+2c＝17，
∵n是魅力数，∴c是偶数，
又∵0≤c≤9，∴c＝0，2，4，6，8，
当c＝0时，b＝17不符合题意，
当c＝2时，b＝13不符合题意，
当c＝4时，b＝9符合题意，此时，
当c＝6时，b＝5符合题意，此时，
当c＝8时，b＝1符合题意，此时．
故G（m，n）的值为或或0．
【变式训练】
1.（2019?新宁县模拟）如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．
【分析】根据整式的乘法，可得相等的整式，根据相等整式中同类项的系数相等，可得答案．
【解析】x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得
A＝2，B＝﹣15．
3A﹣B＝3×2+15＝21．
点评：本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键．
2．（2018?余杭区一模）已知A＝4x2+2x，B＝2x+1，回答下列问题：
（1）求A+B，并将它因式分解．
（2）若A＝B，求满足条件的x的值．
【分析】（1）直接利用合并同类项法则计算得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出x的值．
【解析】（1）∵A＝4x2+2x，B＝2x+1，
∴A+B＝4x2+2x+2x+1＝（2x+1）2；
（2）A＝B即4x2+2x＝2x+1，
则4x2＝1，
解得：x＝±．
3．（2018?资中县模拟）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算：F（438）和F（562）；
（2）若a是“相异数”，证明：F（a）等于a的各数位上的数字之和；
（3）若a，b都是“相异数”，且a+b＝1000，证明：F（a）+F（b）＝28．
【答案】见解析
【解析】（1）F（438）15，
F（562）13；
（2）设：a对应的三位数是ABC，
F（a）A+B+C；
（3）设：a对应的三位数是ABC，b对应的三位数是DEF，
a+b＝1000，即：100（A+D）+10（B+E）+（C+F）＝1000，
∵A、B、C各个数字不同，D、E、F各个数字也不同，
先考虑900+90+10＝1000的情况：
A+D≤9，当A＝1时，D＝8，100（A+D）＝900，
B+E≤9，B＝2，E＝7，10（B+E）＝90，
C+F＝10，C＝4，F＝6，（C+F）＝10，
符合题意，经验证其它情况均不符合题意，
故：A＝1、D＝8、B＝2、E＝7、C＝4、F＝6，
∴F（a）+F（b）＝A+D+B+E+C+F＝28．
4．（2018?河北模拟）当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729＝729+435×1000，4356729＝729+6×1000+435×10000．
请阅读以上材料，解决下列问题．
（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；
（2）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵这个4位数的前两位为23，后两位为16，
∴2316的关联数是23m16
将关联数与原数10倍相减得：m?102﹣9×16．
∵m和9均为3的倍数，
∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除；
（2）（1）解：设原数为ab＝10a+b，其关联数为amb＝100a+10m+b，
∵amb＝9ab，
∴100a+10m+b＝9×（10a+b），
∴5a+5m＝4b，
∴5（a+m）＝4b，
∵b、m为整数，a为正整数，且a、b、m均为一位数，
∴b＝5，a+m＝4，
∴a＝1，m＝3；a＝2，m＝2；a＝3，m＝1；a＝4，m＝0．
∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405．
