贵州省安顺市普通高中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

普通高中2018~2019学年度第一学期教学质量监测与评价
高二数学(理)试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若90°＜θ＜180°，曲线x2﹣y2cosθ＝1表示（　　）
A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆
4．总体由编号为00，01，02，…48，49的50个个体组成．利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第8个个体的编号为（　　）
附：第6行至第9行的随机数表：

A．16 B．19 C．20 D．38
5．为积极支持和配合安顺市申报全国文明城市，全市中小学校开展了《扣好人生第一粒扣子》系列主题团课，某县文明办要从2018名学生中抽取50名开展相关问卷调查．先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2018人中，每个人被抽取的可能性（　　）
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
6．如果执行如图的程序框图，那么输出的S＝（　　）

A．22 B．46 C．94 D．190
7．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（　　）

A． B． C． D．
8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
9．过点M（﹣4，0）的直线l与椭圆x2+4y2＝8交于点P1，P2的两点，设线段P1P2的中点为P．若直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C． D．
10．已知实数a满足1＜a＜2，命题p：函数y＝loga（2﹣ax）在区间[0，1]上是减函数；命题q：|x+1|＜1是x＜a的充分不必要条件．则（　　）
A．“￢p或￢q”为真命题 B．“p且q”为假命题
C．“￢p且q”为真命题 D．“p或q”为真命题
11．已知F1，F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（1，） C．（，2） D．（2，+∞）
12．已知F1，F2分别为椭圆的y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标可以是（　　）
A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“?x∈[，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　 　．
14．有下列四个命题：
①“若a2+b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”
②若事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）；
③在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”成立的充要条件；
④若α、β是两个相交平面，直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m平行的直线．
上述命题中，其中真命题的序号是　 　．
15．已知△ABC的两边AB＝4，AC＝7，D点为边BC上一点，且AD平分∠BAC，现随机将一粒豆子撒在△ABC内，则豆子落在△ABD内的概率是　 　．
16．如图，设椭圆1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为4，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则|y1﹣y2|值为　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（Ⅰ）已知动点P与两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的连线的斜率之积为，求动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且与椭圆1有公共焦点，求此双曲线的标准方程．
18．命题p：函数f（x）＝x2﹣kx+2在（﹣∞，1]上是减函数；命题q：不等式kx2+kx+1＞0的解集为R；若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．
19．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CGCD．
（Ⅰ）证明：EF⊥B1C；
（Ⅱ）求cos，．

20．某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）的频率分布直方图如图，已知分数在100﹣110的学生有21人．
（1）求总人数N和分数在110﹣115分的人数n；
（2）现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；
（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，如表是该生7次考试的成绩．
数学 88 83 117 92 108 100 112
物理 94 91 108 96 104 101 106
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程x的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
其中12×6+17×9+17×8+8×4+8×4+12×6＝497
122+172+172+82+122＝994

21．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求二面角C﹣BE﹣D的余弦值的大小．

22．设F是抛物线y2＝4x的焦点，M，P，Q是抛物线上三个不同的动点，直线PM过点F，MQ∥OP，直线QP与MO交于点N．记点M，P，Q的纵坐标分别为y0，y1，y2．
（Ⅰ）证明：y0＝y1﹣y2；
（Ⅱ）证明：点N的横坐标为定值．




一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C
2．B
3．D
4．B
5．C
6．C
7．B
8．A
9．D
10．D
11．A
12．C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． ．
14．②③．
15． ．
16．∵椭圆中，a2＝16且b2＝4，
∴a＝4，b＝2，c2，可得椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），
设△ABF2的内切圆半径为r，
∵△ABF2的内切圆面积为S＝πr2＝4，∴r，
根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝16．
∴△ABF2的面积S（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r16，
又∵△ABF2的面积S＝S△AF1F2+S△BF1F2|y1|×|F1F2||y2|×|F1F2|
（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝2|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），
∴2|y2﹣y1|，解之得|y2﹣y1|．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（Ⅰ）设P（x，y）为所求轨迹上任意一点，依题意，
有（x≠±1），
即（x≠±1）．
∴动点P的轨迹方程为（x≠±1）；
（Ⅱ）依题意设所求切线方程为（a＞0，b＞0）．
∵椭圆1的焦点坐标为（，0）和（），
∴双曲线的半焦距为c，
又由题意知，，即a2＝4b2，
由a2+b2＝c2＝5，得a2＝4，b2＝1．
∴所求双曲线的标准方程为．
18．若命题p为真命题，则对称轴，即k≥2；
若命题q为真命题，①当k＝0时，命题显然成立；
②当k≠0时，欲使不等式成立，则，即：0＜k＜4；
∴若命题q为真命题，则0≤k＜4；
∵命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴①当p真q假，则，即k≥4；
②当p假q真，则，即0≤k＜2；
综上所述：0≤k＜2或k≥4．
19．分别以三直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
E（0，0，1），F（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），
（Ⅰ）证明：∵，
∴，
∴，
∴EF⊥B1C；
（Ⅱ）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．

20．（1）根据频率分布直方图的意义，分数在100﹣110的学生有21人，110﹣115的频率为：（0.04+0.03）×5＝0.35，可得总人数．直方图面积之和＝1，可得110﹣115的频率为0.1，即人数为0.1×60＝6人．
（2）根据（1）可得110﹣115的人数为0.1×60＝6人．（女生占），可得女生为2：用A1，A2表示，男生4人用：B1，B2，B3，B4任选2人的基本事件：（A1，A2）（A1，B1）：（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1）：（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3）（B2，B4），（B3，B4）共15种，其中恰好含有一名女生的有8种，其概率为；
（3）由表中数据：，
∵
100﹣0.5×100＝50
∴物理成绩y与数学成绩x是线性其回归方程为：y＝0.5x+50．
当x＝130时，可得y＝115，即可估计他的物理成绩为115分．
21．证明：（1）设AD＝DE＝2AB＝2a，
以AC，AB所在的直线分别作为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，
A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），D（a，a，0），E（a，a，2a）．
∵F为CD的中点，∴F（，，0）．
（，，0），（a，a，a），（2a，0，﹣a），
∴（），AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
解：（2）设平面BCE的一个法向量（x，y，z），
则，令x＝1，得（1，，2）．
设平面BDE的一个法向量（x，y，z），（a，，﹣a），
则，令x，得（，﹣1，0）．
∴cos．
故二面角C﹣BE﹣D的余弦值为．

22．证明：（Ⅰ） 因为MQ∥OP，所以kMQ＝kOP，
所以，所以y0＝y1﹣y2；
（Ⅱ） 因为直线PM过点F，
可得，
所以y1y0＝﹣4，
由（Ⅰ）得y0＝y1﹣y2，所以y1，y2y0，
因为OM：yx，
PQ：y﹣y1（x），
即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，
设点N坐标为（m，n），又因为直线QP，MO交于点N，
所以nm，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0，
可得y0，4m﹣（y0）n+（）（y0）＝0，
消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2＝0，
所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0，
所以（2m+1）（n2+4m2）＝0，
因为n2+4m2≠0，
所以2m+1＝0，即m，
所以点N的横坐标为定值．