黑龙江省齐市地区普高联谊2018~2019学年度上学期高二期末考试数学试卷（理科）

齐市地区普高联谊2018~2019学年度上学期高二期末考试
数学试卷(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x|x2﹣5x≥0}，则?RA＝（　　）
A．（0，5） B．（﹣∞，0]
C．[5，+∞） D．（﹣∞，0]∪[5，+∞）
2．若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（　　）

A．79 B．79.5 C．80 D．81.5
3．设抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则“|PF|＝3”是“点P到x轴的距离为2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．有300人参加了一次会议，为了了解这300人参加会议的体会，将这300人随机编号为001，002，003，…，300，用系统抽样方法（等距离）抽出60人，若在编号为006，021，036，041，176，208，286的7个人中有1个没有抽到，则这个编号是（　　）
A．041 B．176 C．208 D．286
5．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]（岁）内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图如图，则在这200名市民中年龄在[40，45]（岁）内的人数为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30
6．若等差数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝（2a﹣1）n2+2an，a6＝13，则{an}的公差d＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
7．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m），则该几何体的体积和表面积分别为（　　）

A．πm3，3πm2 B．πm3，4πm2 C．πm3，4πm2 D．πm3，3πm2
8．在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数10101（2）化为十进制数（注：10101（2）＝1×20+0×21+1×22+0×23+1×24），那么处理框①内可填入（　　）

A．S＝2S+i B．S＝S+i C．S＝S+2i﹣1 D．S＝S+2i
10．曲线C1：y＝cosx，曲线C2：y＝sin2x，下列说法正确的是（　　）
A．将C1上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C2
B．将C1上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C2
C．将C1上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向右平移个单位，得到C2
D．将C1上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向右平移平个单位，得到C2
11．已知三棱锥P﹣ABC的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．设双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线交于P，Q两点，且|QF1|﹣|PF1|＝3a，0，则此双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“?x0＞0，lnx0＞x0”的否定为　 　．
14．已知实数x，y满足，则z＝4x﹣2y的最大值为　 　．
15．若椭圆C：的焦距为，则椭圆C的长轴长为　 　．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，AB，PA＝2，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为　 　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinBbcosA＝0．
（1）求A的大小；
（2）若a＝7，b＝3，求△ABC的面积．
18．已知函数f（x）＝（2x+m）2+1﹣m2的最小值为﹣3．
（1）求m的值；
（2）若f（x）对一切实数x都成立，求实数a的取值范围．
19．商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到如下数据：
单价x（元） 15 16 17 18 19
销量y（件） 60 58 55 53 49
（1）求销量y关于x的线性回归方程；
（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？（结果保留整数）
（附：，．（15×60+16×58+17×55+18×53+19×49＝4648，152+162+172+182+192＝1455）
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥BD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBD⊥平面PBC；
（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

21．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．
22．已知椭圆C：过点（，）与点（﹣1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l过定点，且斜率为，若椭圆C上存在A，B两点关于直线l对称，O为坐标原点，求k的取值范围及△AOB面积的最大值．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A
2．A
3．C
4．C
5．B
6．A
7．C
8．D
9．D
10．D
11．B
12．A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x0＞0，lnx0＞x0”的否定为：?x＞0，lnx≤x．
14．作出实数x，y满足对应的平面区域如图：
z＝4x﹣2y，则y＝2xz，
平移直线y＝2xz，由图象可知当直线y＝2xz经过点时，
直线y＝2xz的截距最小，
由，可得A（2，2）
此时z最大，zmax＝4．

15．椭圆C：的焦距为，
可得22，
所以m＝2，
则椭圆C的长轴长为：22．
16．以OA，OB为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
，
∴，
∴异面直线AC与PB所成角的余弦值为：．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（1）∵，
由正弦定理可得，sinAsinBsinBcosA＝0，
∵sinB≠0，
∴sinAcosA＝0，即tanA，
∵A∈（0，π），
∴A，
（2）∵a＝7，b＝3，
由余弦定理可得，，
∴，
整理可得，c2+3c﹣40＝0，
解可得，c＝5，c＝﹣8（舍），
∴S△ABC，
18．（1）函数f（x）＝（2x+m）2+1﹣m2的最小值为﹣3．
当m≥0时，f（x）在R上单调递增，没有最小值；
当m＜0时，可知2x＝m时取得最小值1﹣m2；
即﹣3＝1﹣m2，
解得m＝﹣2，
故m的值为﹣2．
（2）由f（x）对一切实数x都成立，即（2x+m）2+1﹣m2，
可得，
∵（当且仅当x＝log23时取等号），
∴，
即．
解得：a＜0或a．
故得实数a的取值范围（﹣∞，0）∪（，+∞）．
19．（1）由题意，，，
，
．
∴y关于x的线性回归方程为；
（2）由题意，获得的利润z＝（x﹣10）y＝﹣2.7x2+127.9x﹣1009．
当x时，z取最大值．
∴单价应定为24元，可获得最大利润．
20．（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
AD⊥BD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．
∴BC⊥BD，BC⊥AD，
∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC．
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2AD＝2，DP＝t，则P（0，0，t），B（0，，0），C（﹣1，，0），
（0，，﹣t），（﹣1，，﹣t），
设平面PBC的法向量（x，y，z），
则，取y＝t，得（0，t，），
平面BCD的法向量（0，0，1），
∵二面角P﹣BC﹣D为，
∴cos，
解得t＝1，∴P（0，0，1），平面PBC的法向量（0，1，），
A（1，0，0），（﹣1，0，1），
设AP与平面PBC所成角为θ，
则AP与平面PBC所成角的正弦值为：
sinθ．

21．（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0的圆心C（﹣1，1），半径为1，
抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x，F（，0），
由△MNF的面积为p，可得?p?|MN|＝p，即|MN|＝2，
可得MN经过圆心C，可得p＝2．则抛物线的方程为y2＝4x；
（2）不过原点O的动直线l的方程设为x＝my+t，t≠0，
联立抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
由OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，即y1y2＝0，即16t2﹣64t＝0，解得t＝4，
则动直线l的方程为x＝my+4，恒过定点H（4，0），
当直线CH⊥l时，Q到直线l的距离最大，
由|CH|，可得Q到直线l的距离的最大值为1，
此时直线CH的斜率为，
直线l的斜率为5，可得直线l的方程为y＝5x﹣20．

22．（1）设椭圆方程：mx2+ny2＝1，由题意过两点可得：解得：m，n＝1；
所以椭圆C的方程为：；
（2）由题意直线l的方程：yx，即：2x+2ky+k＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点设为（x0，y0），
所以，，两式相减得，
，

x0+2y0k＝0，①
因为AB的中点在直线l上，所以2x0+2ky0+k＝0，②
把①②组成方程组解得x0＝﹣k，y0，
设直线AB方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），所以yk（x+k），即y＝kx+k2，
联立，得（1+2k2）x2+（4k3+2k）x+2k4+2k20，
所以△＝（4k3+2k2）2﹣4（1+2k2）（2k4+2k2）＝﹣8k4+8k2+6＞0，
解得k2，即．
x1+x22k，x1x2，
|AB|
，
点O到直线AB距离d，
所以S△AOB
，
令t＝k2（0＜t），
则S△AOB，
所以当t＝1时，△AOB面积最大．