河南省新乡市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理科）试题

新乡市高二上学期期中考试
数学试卷(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x||2x﹣3|＜5}，B＝{x|﹣2x2+5x+3≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＜3}
C．{x|﹣1＜x或3≤x＜4} D．{x|﹣1或3＜x＜4}
2．在正项等比数列{an}中，a4，a46为方程x2﹣100x+9＝0的两根，则a10?a25?a40＝（　　）
A．9 B．27 C．64 D．81
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝4，B＝45°，则A＝（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
4．若数列{an}满足an+1＝an﹣9，且a3+a18＝9，则其前20项的和S20＝（　　）
A．60 B．80 C．90 D．120
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b）2﹣c2＝20，C＝120°，则ab＝（　　）
A．10 B．20 C． D．
6．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（　　）
A． B． C． D．
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a?4n﹣1b﹣1（a＞0，b＞0），则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．设x，y满足约束条件，则x＝3x﹣y的最大值为（　　）
A．3 B．12 C．6 D．10
9．设数列{an}的前n项和为Sn，若对于n∈N*都有Sn+1，Sn，Sn+2，成等差数列，且a2＝4，则a9＝（　　）
A．﹣512 B．512 C．1024 D．﹣1024
10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在R上单调递减，若a，b，c成等差数列，且b＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．f（b）＞0，且f（a）+f（c）＞0 B．f（b）＞0，且f（a）+f（c）＜0
C．f（b）＜0，且f（a）+f（c）＞0 D．f（b）＜0，且f（a）+f（c）＜0
11．在△ABC中，若?4，||＝3，则△ABC面积的最大值为（　　）
A． B． C．12 D．6
12．对于给定的正整数n设集合X＝（1，2，3，…，n}，A?X，且A≠?，记I（A）为集合A中的最大元素，当A取遍X的所有非空子集时，对应的所有I（A）的和记为S（n），则S（100）的值为（　　）
A．100×2100+1 B．100×299+1 C．99×299+1 D．99×2100+1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知方程ax2+bx+1＝0的两个根为，3，则不等式ax2+bx+1＞0的解集为　 　．
14．若x，y满足约束条件，则的最小值为　 　．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，bcosC+ccosB＝4，则△ABC的外接圆的面积为　 　．
16．设数列{an}的前n项和为Sn＝（）n，如果存在正整数n，使得（m﹣an）（m﹣an+1）＜0成立，则实数m的取值范围是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）＝x2+mx+n（m，n∈R）．
（1）若2m+n＝0，解关于x的不等式f（x）≥2x（结果用含m的式子表示）；
（2）当x∈[﹣3，1]时，不等式mx≤f（x）恒成立，求实数n的最小值．
18．已知在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinA＝acos（B）．
（1）求B；
（2）设b，a＝4，D为AC上一点，若S△ABD＝2，求AD的长．
19．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2﹣2n+1，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn，且b2＝a3，b3＝a6．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）在数列{cn}中，c1＝a1，且cn＝cn+1﹣Tn，求{cn}的通项公式．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a﹣c）cosB﹣bcosC＝0．
（1）求B；
（2）若b＝6，求△ABC的周长的最大值．
21．数列{an}中，a1＝1，点p（an，an+1）在直线x﹣y+2＝0上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn，数列{bn}的前n项和为Sn．
（ i）求Sn；
（ ii）是否存在整数λ（λ≠0），使得不等式（﹣1）nλ（n∈N*）恒成立？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝x2，且a，b均为正数．
（1）若a+b＝4，证明：f（a）+f（b）；
（2）①证明：函数g（x）＝f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
②若f（﹣a）＝f（b），求（a+b）2的最小值．



一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C
2．B
3．A
4．C
5．B
6．C
7．D
8．B
9．A
10D
11．B
12．D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．根据题意，方程ax2+bx+1＝0的两个根为，3，
则有（）×3，解可得a0，
则ax2+bx+1＞0?x＜3，
即不等式的解集为{x|}；
14．x，y满足约束条件，得到其可行域如图：
则的几何意义是可行域内的点与（8，4）的斜率，然后求解最小值，由可得P（，），所以kAP．

15．因为bcosC+ccosB＝4，
由正弦定理，可得：bcosC+ccosB＝2R（sinBcosC+sinCcosB）＝2RsinA＝4，
可得：sinA（R为△ABC外接圆的半径），
因为：cosA，
所以解得：sinA，R＝7，
S＝49π．
16．∵，
∴当n＝1时，；
当n≥2时，；
由此可知：当n＝2k时，即n为偶数时，50，且随着k的增大而减小；
当n＝2k+1时，即n为奇数时，0，且随着k的增大而增大；
存在正整数n，使得（m﹣an）（m﹣an+1）＜0成立；
即存在正整数k使得a2k+1＜m＜a2k成立；
∴a1＜a3＜…＜a2k+1＜m＜a2k＜…＜a4＜a2，
∴a1＜m＜a2；
∴
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）根据题意，若2m+n＝0，则n＝﹣2m，
则f（x）≥2x?x2+mx﹣2m≥2x?（x+m）（x﹣2）≥0，
当m＝﹣2时，其解集为R，
当m＞﹣2时，不等式的解集为{x|x≤﹣m或x≥2}，
当m＜﹣2时，不等式的解集为{x|x≥﹣m或x≤2}；
（2）当x∈[﹣3，1]时，不等式mx≤f（x）恒成立，
即mx≤x2+mx+n恒成立，则有n≥﹣x2恒成立，
又由x∈[﹣3，1]，则﹣9≤﹣x2≤0，
必有n≥9，则实数n的最小值为0．
18．（本题满分为12分）
解：（1）∵bsinA＝acos（B）．由正弦定理，可得bsinA＝asinB，
∴可得：asinB＝acos（B），可得：sinB＝cos（B），化简可得：tanB，
∵B∈（0，π），
∴B．…6分
（2）由b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：c2﹣4c+3＝0，解得：c＝1或c＝3，…8分
当c＝1时，cosA0，则A为钝角，不符合题意，故c＝3，…9分
又∵S△ABCacsinB＝3，
∴，
∴ADb．…12分
19．（本小题满分12 分）
解：（1）∵，∴a1＝0．………………………………………………（1分）
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣3，……………………………………………………（2分）
∴
又{bn}为正项等比数列，b2＝3，b3＝9，q＝3，………………………………………
∴b1＝1，（6分）
（2）由（1）知，，∵，
∴，，，
，……………………………………………………………（8分）
以上各式相加得，………………………………………………
又c1＝a1＝0，满足上式，故．………………………………………
20．（1）∵（2a﹣c）cosB﹣bcosC＝0，
∴（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC＝0，
∴2sinAcosB﹣sin（B+C）＝0，
∵A+B+C＝π，∴sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，
∴2sinAcosB﹣sinA＝0，
∵sinA＞0，∴cosB，
∵B∈（0，π），∴B；
（2）由B得b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，
又（a+c）2﹣3ac≥（a+c）2（a+c）2（a+c）2，
∴（a+c）2≤4b2＝144，即a+c≤12，
∴△ABC的周长的最大值为18．
21．（1）a1＝1，点p（an，an+1）在直线x﹣y+2＝0上，an+1﹣an＝2，
即数列{an}为等差数列，公差为2，
∴an＝2n﹣1
（2）（ⅰ），
∴，
∴，．
（ⅱ）存在整数λ使得不等式（﹣1）nλ（n∈N*）恒成立．
因为．
要使得不等式（﹣1）nλ（n∈N*）恒成立，
应有 （﹣1）nλ的最小值（n∈N*）．
（a）当n为奇数时，﹣λ，即λ．
所以当n＝1时，的最大值为，
所以只需λ．
（b）当n为偶数时，λ，
所以当n＝2时，的最小值为，
所以只需λ．
由（ⅰ）（ⅱ）可知存在λ，λ≠0．
又λ为整数，所以λ值为﹣1，1．
22．证明：（1）∵a+b＝4，
∴ab≤（）2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
令t＝ab，则0＜t≤4，
∴f（a）+f（b）＝a2+b2（a+b）2﹣2ab16﹣2ab16﹣2t16﹣8，
（2）①g（x）＝f（x）x2
设x1＞x2≥1，
∴g（x1）﹣g（x2）＝x12x12（x1﹣x2）（x1+x2），
∵x1＞x2≥1，
∴x1+x2＞2，2，
∴g（x1）﹣g（x2）＞0，
∴g（x1）＞g（x2），
同理1≥x1＞x2＞0时，g（x1）＜g（x2），
∴函数g（x）＝f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
②∵f（﹣a）＝f（b），
∴a2b2，
∴a2﹣b2，
∵a，b＞0，
∴a﹣b0，即4ab0
∴（a+b）2（a﹣b）2+4ab（a﹣b）2
设x＝a﹣b，则x＞0，
由上面的证明可知g（x）＝f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
∴g（x）min＝g（1）＝3，
即（a+b）2的最小值为3