2020年湘教新版九年级上册数学《第2章 一元二次方程》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版九年级上册数学《第2章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+3）＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x
3．若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
4．方程x2＝4的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2
5．把一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方成（x+m）2＝n的形式，正确的是（　　）
A．（x+3）2＝10 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x﹣3）2＝8
6．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
7．方程x（x﹣1）＝x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2
8．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x的值为（　　）
A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或3
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1
10．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（　　）
A． B．1 C． D．
二．填空题（共8小题）
11．当m＝　 　时，方程是关于x的一元二次方程．
12．一元二次方程（x+1）（3x﹣2）＝8的一般形式是　 　．
13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝　 　．
14．方程x2﹣4＝0的解是　 　．
15．若将方程x2﹣8x＝7化为（x﹣m）2＝n，则m＝　 　，n＝　 　．
16．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x＝　 　．
17．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为　 　．
18．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣2）﹣8＝0，则a+b＝　 　．
三．解答题（共8小题）
19．关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13＝0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2﹣8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
20．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
21．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，求m的值．
22．解方程：（x﹣3）2＝25．
23．（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）
24．解方程x2﹣1＝4x．
25．解方程：x2+8x﹣9＝0．
26．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到　 　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．



2020年湘教新版九年级上册数学《第2章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+3）＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是x2﹣2x﹣3＝0，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x
【分析】方程化为一般形式后，找出二次项系数与一次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，
则二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【分析】把方程中的x取值为﹣1时，刚好得到a﹣b+c，而已知a﹣b+c＝0，根据方程解的定义得到﹣1是方程的一个解．
【解答】解：由a﹣b+c＝0
则令x＝﹣1，方程ax2+bx+c＝0
代入方程得：a﹣b+c＝0．
所以x＝﹣1是方程的解．
故选：C．
【点评】此题考查学生理解一元二次方程解的定义，是一道基础题．本题的突破点是令方程中的未知数x＝﹣1．
4．方程x2＝4的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5．把一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方成（x+m）2＝n的形式，正确的是（　　）
A．（x+3）2＝10 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x﹣3）2＝8
【分析】直接利用配方法进行求解即可．
【解答】解：
移项可得：x2﹣6x＝﹣1，
两边加9可得：x2﹣6x+9＝﹣1+9，
配方可得：（x﹣3）2＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的过程是解题的关键．
6．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：﹣3x2+5x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝13，
x＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．
7．方程x（x﹣1）＝x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣1）＝x，
x（x﹣1）﹣x＝0，
x（x﹣1﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1﹣1＝0，
x1＝0，x2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
8．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x的值为（　　）
A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或3
【分析】首先利用换元思想，把x2+3x看做一个整体换为y，化为含y一元二次方程，解这个方程即可．
【解答】解：由y＝x2+3x，
则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，可化为：y2+2y﹣3＝0，
分解因式，得，（y+3）（y﹣1）＝0，
解得，y1＝﹣3，y2＝1，
当x2+3x＝﹣3时，经△＝32﹣3×4＝﹣3＜0检验，可知x不是实数
当x2+3x＝1时，经检验，符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了用换元法解一元二次方程，考察了学生的整体思想．解题的关键是找到哪个是换元的整体．
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，令△＞0且二次项系数不为0即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即（﹣6）2﹣4×9k＞0，
解得，k＜1，
∵为一元二次方程，
∴k≠0，
∴k＜1且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
10．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣1，然后把+进行通分，再利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣1，
所以+＝＝＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
二．填空题（共8小题）
11．当m＝　﹣1　时，方程是关于x的一元二次方程．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）含未知数的项最高次数是2；（2）只有一个未知数；（3）是整式方程．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：因为原方程为关于x的一元二次方程，
所以，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，注意掌握一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．一元二次方程（x+1）（3x﹣2）＝8的一般形式是　3x2+x﹣10＝0　．
【分析】利用多项式的乘法展开，然后移项合并同类项即可．
【解答】解：3x2﹣2x+3x﹣2＝8，
移项得，3x2﹣2x+3x﹣2﹣8＝0，
合并同类项得，3x2+x﹣10＝0．
故答案为：3x2+x﹣10＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝　2018　．
【分析】把x＝﹣1代入方程，整理即可求出a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程有：
a+b﹣2018＝0，
即a+b＝2018．
故答案是：2018．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值．
14．方程x2﹣4＝0的解是　±2　．
【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
15．若将方程x2﹣8x＝7化为（x﹣m）2＝n，则m＝　4　，n＝　23　．
【分析】由x2﹣8x＝7知x2﹣8x+16＝7+16，即（x﹣4）2＝23，据此可得．
【解答】解：∵x2﹣8x＝7，
∴x2﹣8x+16＝7+16，即（x﹣4）2＝23，
则m＝4、n＝23，
故答案为：4，23．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握配方法解方程的一般步骤．
16．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x＝　　．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9＝0，
整理得：7x2+44x+1＝0，
这里a＝7，b＝44，c＝1，
∵△＝442﹣28＝1908，
∴x＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
17．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为　13　．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝9，再利用三角形三边的关系得到x＝4，然后计算三角形的周长．
【解答】解：（x﹣4）（x﹣9）＝0，
x﹣4＝0或x﹣9＝0，
所以x1＝4，x2＝9，
因为3+6＝9，
所以第三边长为4，
所以三角形的周长为3+6+4＝13．
故答案为13．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
18．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣2）﹣8＝0，则a+b＝　﹣2或4　．
【分析】设t＝a+b，则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解新方程求得t的值即可．
【解答】解：设t＝a+b，则由原方程得到：t（t﹣2）﹣8＝0，
整理得：（t+2）（t﹣4）＝0，
解得t＝﹣2或t＝4，
即a+b＝﹣2或a+b＝4．
故答案是：﹣2或4．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
三．解答题（共8小题）
19．关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13＝0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2﹣8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
【分析】利用配方法求出m2﹣8m+19＝m2﹣8m+16+3＝（m﹣4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．
【解答】答：乙正确，
证明：m2﹣8m+19＝m2﹣8m+16+3＝（m﹣4）2+3≠0，
故可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，利用配方法得出二次项系数不为0是解题关键．
20．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【分析】常数项为零即m2﹣1＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．
【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
21．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，求m的值．
【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，那么把x＝0代入方程即可得到关于m的方程，解这个方程即可求出m的值，再根据一元二次方程的定义对m的值进行取舍．
【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，
∴把x＝0代入方程中得
m2+3m﹣4＝0，
∴m1＝﹣4，m2＝1．
由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，
∴m＝﹣4（经检验符合题意）
【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．
22．解方程：（x﹣3）2＝25．
【分析】该问题转化为求（x﹣3）的平方根．
【解答】解：由原方程开平方，得
x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，
解得，x1＝8，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
23．（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：将原方程整理，得
x2+2x＝15（1分）
两边都加上12，得
x2+2x+12＝15+12（2分）
即（x+1）2＝16（3分）
开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）
∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
24．解方程x2﹣1＝4x．
【分析】先化为一般式：x2﹣4x﹣1＝0．然后把a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1代入求根公式计算即可．
【解答】解：原方程化为一般式：x2﹣4x﹣1＝0．
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x＝（b2﹣4ac≥0）．
25．解方程：x2+8x﹣9＝0．
【分析】利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
【解答】解：由原方程，得
（x+9）（x﹣1）＝0，
解得 x1＝﹣9，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
26．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到　降次　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【解答】解：（1）换元，降次

（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．