2020年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知∠A+∠B＝90°，且cosA＝，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
5．若∠B，∠A均为锐角，且sinA＝，cosB＝，则（　　）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝30° D．∠A＝30°，∠B＝60°
6．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（　　）
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
7．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，则边AC的长是（　　）
A． B．6 C． D．
8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′（　　）

A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定
10．如图，某底面为圆形的古塔剖面和山坡的剖面在同一平面上，古塔EF（F为塔底的中心）与地面BD垂直，古塔的底面直径CD＝8米，BC＝10米，斜坡AB＝26米，斜坡坡面AB的坡度i＝5：12，在坡脚的点A处测得古塔顶端点E的仰角∠GAE＝47°，则古塔EF的高度约（　　）（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）

A．27.74米 B．30.66米 C．35.51米 D．40.66米
二．填空题（共8小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是　 　．

12．比较下列三角函数值的大小：sin40°　 　cos40°（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　 　．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为　 　．
15．若∠A为锐角，且tanA＝1，则∠A的度数为　 　．
16．用计算器计算：sin35°≈　 　，　 　（保留4个有效数字）．
17．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，…按此规律，写出tan∠BAnC＝　 　（用含n的代数式表示）．

18．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的　 　倍．（结果保留两个有效数字）．

三．解答题（共8小题）
19．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosB，tanA的值．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
22．计算：sin260°﹣tan30°?cos30°+tan45°．
23．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

24．如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，≈1.414）

25．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

26．如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC＝10米，又测得∠BDA＝45°．已知斜坡CD的坡度为i＝1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）．




2020年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据三角函数的定义求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴sinA＝＝．
故选：A．

【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：
正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边：斜边＝a：c．
2．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【分析】首先明确tan45°＝1，tan60°＝，再根据正切值随角增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，正切值随角增大而增大，
又1＜＜，
∴45°＜∠A＜60°．
故选：C．
【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的值，再求出sinA的值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A是锐角，
∵cosA＝＝
∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，
∴sinA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，主要考察学生对锐角三角函数的定义的理解能力和计算能力．
4．已知∠A+∠B＝90°，且cosA＝，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝cos（90°﹣∠A）＝sinA，
又∵sin2A+cos2A＝1，
∴cosB＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA；同角的三角函数关系式：sin2A+cos2A＝1．
5．若∠B，∠A均为锐角，且sinA＝，cosB＝，则（　　）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝30° D．∠A＝30°，∠B＝60°
【分析】根据三角函数的特殊值解答即可．
【解答】解：∵∠B，∠A均为锐角，且sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．
6．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（　　）
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器．
【解答】解：依次按键，显示的是sin30°的值，即0.5．
故选：A．
【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查特殊角三角函数值，需要同学们熟记有关特殊角的三角函数值．
7．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，则边AC的长是（　　）
A． B．6 C． D．
【分析】首先根据∠A的正弦值求得斜边，再根据勾股定理求得AC的长．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，
∴AB＝＝6，
根据勾股定理，得AC＝＝＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了锐角三角函数的运用以及勾股定理的运用，能够灵活运用边角关系解直角三角形．
8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝，即可求出BC的长度．
【解答】解：
∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，
∴BC＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
9．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′（　　）

A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定
【分析】由题意可知OA＝2，OB＝7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB＝A′B′，又由题意可知OA′＝3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【解答】解：在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7
由勾股定理得：AB＝，
由题意可知AB＝A′B′＝，
又OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝，
∴BB′＝7﹣＜1．
故选：C．
【点评】本题利用了勾股定理求解．
10．如图，某底面为圆形的古塔剖面和山坡的剖面在同一平面上，古塔EF（F为塔底的中心）与地面BD垂直，古塔的底面直径CD＝8米，BC＝10米，斜坡AB＝26米，斜坡坡面AB的坡度i＝5：12，在坡脚的点A处测得古塔顶端点E的仰角∠GAE＝47°，则古塔EF的高度约（　　）（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）

A．27.74米 B．30.66米 C．35.51米 D．40.66米
【分析】延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG，由i＝5：12及AB＝26可得FH＝BP＝10，AP＝24，继而可知AH＝38，利用EH＝AHtan∠GAE求得EH的长，继而可得答案．
【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，

由i＝5：12可设BP＝5x，则AP＝12x，
由BP2+AP2＝AB2可得（5x）2+（12x）2＝262，
解得：x＝2（负值舍去），
则FH＝BP＝10，AP＝24，
∵CF＝4，BC＝10，
∴HP＝BF＝14，
∴AH＝38，
则EH＝AHtan∠GAE＝38×tan47°≈40.66，
∴EF＝EH﹣FH＝40.66﹣10＝30.66（米），
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
二．填空题（共8小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是　　．

【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图，
tanα＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12．比较下列三角函数值的大小：sin40°　＜　cos40°（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】首先根据正余弦的转换方法，得cos40°＝sin50°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵cos40°＝sin50°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵40°＜50°，
∴sin40°＜cos40°．
【点评】掌握正余弦的转换方法，以及正弦值的变化规律．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　　．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】解：由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x．
∴tanA＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为　　．
【分析】根据sinA＝，假设BC＝12x，AB＝13x，得出AC＝5x，再利用锐角三角函数的定义得出tanB的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴假设BC＝12x，AB＝13x，
∴AC＝5x．
∴tanB＝＝．
故答案为：．

【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键．
15．若∠A为锐角，且tanA＝1，则∠A的度数为　45°　．
【分析】直接根据tan45°＝1进行解答即可．
【解答】解：∵∠A为锐角，且tanA＝1，tan45°＝1，
∴∠A＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
16．用计算器计算：sin35°≈　0.5736　，　6.403　（保留4个有效数字）．
【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：sin35°≈0.5736， 6.403．
【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，需要同学们熟记有效数字的概念：从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字．
17．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，…按此规律，写出tan∠BAnC＝　　（用含n的代数式表示）．

【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．
【解答】解：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4＝，A4C＝，
△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，
∴××CH＝，
解得，CH＝，
则A4H＝，
∴tan∠BA4C＝，
1＝12﹣1+1，
3＝22﹣2+1，
7＝32﹣3+1，
∴tan∠BAnC＝，
故答案为：，

【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
18．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的　2.3　倍．（结果保留两个有效数字）．

【分析】根据题意：设光速为tm/s，则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，根据平行四边形的性质和三角函数的定义，可求得A移动的距离约为2.3tm；故交点A的移动速度是光速的2.3倍．
【解答】解：如图，根据题意设光速为tm/s，
则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，
过A'作CA'⊥AC于A'，
在Rt△ACA'中，∠A'AC1＝10°÷2＝5°，A'C＝0.2tm，
∴AA'＝CA'÷sin5°≈2.3，
∴A移动的距离约为2.3tm；
故交点A的移动速度是光速的2.3倍．

【点评】本题考查图形的平移变换．注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行．
三．解答题（共8小题）
19．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosB，tanA的值．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
根据勾股定理可得：AC＝4，
∴sinA＝，cosB＝＝，tanA＝＝．
【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数，正切函数的定义，是需要识记的内容．
并且根据定义可得：sinA＝cosB．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；

（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；

（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，

设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
22．计算：sin260°﹣tan30°?cos30°+tan45°．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可得sin60°、tan30°、cos30°、tan45°的值，代入原式可得答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣×+1（4分）
＝．（5分）
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，要求学生准确记忆．
23．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；
求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；
解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；
（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B＝PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°．
【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，
∴AE＝PE＝×＝1，
∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝．
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．
∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°
∴PP′＝PA＝2，
∴PD＝P′B＝＝＝；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．
在Rt△PFG中，
可得PF＝PG?cos∠FPG＝PG?cos∠ABE＝，FG＝．
在Rt△PDF中，可得，
PD＝＝＝．

（2）如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．




【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定P′B取得最大值时点P′的位置．
24．如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，≈1.414）

【分析】过O点作OD⊥AB交AB于D点，根据∠A＝15°，AO＝30可知OD＝AO?sin15°，AD＝AO?cos15°，在Rt△BDO中根据∠OBC＝45°可知BD＝OD，再根据AB＝AD+BD即可得出结论．
【解答】解：过O点作OD⊥AB交AB于D点．
在Rt△ADO中，
∵∠A＝15°，AO＝30，
∴OD＝AO?sin15°＝30×0.259＝7.77（cm）
AD＝AO?cos15°＝30×0.966＝28.98（cm）
又∵在Rt△BDO中，∠OBC＝45°，
∴BD＝OD＝7.77（cm），
∴AB＝AD+BD＝36.75≈36.8（cm）．
答：AB的长度为36.8cm．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
25．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；
（2）利用矩形性质求出设BC＝x，则x+10＝24+DH，再利用tan76°＝，求出即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26m． 解得k＝2．
∴AH＝10m．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．

（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，
解得x＝，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．

【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键．
26．如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC＝10米，又测得∠BDA＝45°．已知斜坡CD的坡度为i＝1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）．

【分析】延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．构建直角△DEF和直角△CDF．通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度即可．
【解答】解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．
∵i＝tan∠DCF＝＝，
∴∠DCF＝30°．
又∵∠DAC＝15°，
∴∠ADC＝15°．
∴CD＝AC＝10．
在Rt△DCF中，DF＝CD?sin30°＝10×＝5（米），
CF＝CD?cos30°＝10×＝5，∠CDF＝60°．
∴∠BDF＝45°+15°+60°＝120°，
∴∠E＝120°﹣90°＝30°，
在Rt△DFE中，EF＝＝＝5
∴AE＝10+5+5＝10+10．
在Rt△BAE中，BA＝AE?tanE＝（10+10）×＝10+≈16（米）．
答：旗杆AB的高度约为16米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．