2020年湘教新版八年级上册数学《第1章 分式》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版八年级上册数学《第1章 分式》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． +y D．
2．无论x为任何实数，下列分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．若分式的值为零，则x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
4．若a2﹣ab＝0（b≠0），则＝（　　）
A．0 B． C．0或 D．1或 2
5．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍
6．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若方程的根为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．﹣3＜k＜2 C．k≠﹣3 D．k＜2且 k≠﹣3
8．方程＝﹣1的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．无解
9．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
10．关于x的方程﹣＝0有增根，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
二．填空题（共8小题）
11．观察给定的分式：，猜想并探索规律，那么第n个分式是　 　．
12．当x　 　时，分式有意义．
13．当x＝　 　时，分式的值为0．
14．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的所有值为　 　．
15．分式方程＝的解是　 　．
16．方程的根是　 　．
17．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的方程是　 　．
18．若方程有增根，则m的值为　 　．
三．解答题（共8小题）
19．已知y＝，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
20．①＝（a≠0）
②＝．
21．约分（1）；
（2）．
22．若a＞0，M＝，N＝，
（1）当a＝3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
23．阅读材料，解答问题：
观察下列方程：①； ②； ③；…；
（1）按此规律写出关于x的第4个方程为　 　，第n个方程为　 　；
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．
24．解分式方程：﹣1＝．
25．解方程：．
26．m为何值时，关于x的方程+＝会产生增根？



2020年湘教新版八年级上册数学《第1章 分式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． +y D．
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解：A、分母中不含有字母的式子是整式，故A错误；
B、分母中含有字母的式子是分式，故B正确；
C、分母中不含有字母的式子是整式，故C错误；
D、分母中不含有字母的式子是整式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．无论x为任何实数，下列分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、当x＝0时，此分式无意义，故本选项错误；
B、当x＝0时，此分式无意义，故本选项错误；
C、当x＝﹣3时，x+3＝0，此分式无意义，故本选项错误；
D、无论x为何实数，x2+1＞0，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式分母不等于零．
3．若分式的值为零，则x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：依题意得|x|﹣1＝0，且x2﹣3x+2≠0，
解得x＝1或﹣1，x≠1和2，
∴x＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解和因式分解的方法的运用，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
4．若a2﹣ab＝0（b≠0），则＝（　　）
A．0 B． C．0或 D．1或 2
【分析】首先求出a＝0或a＝b，进而求出分式的值．
【解答】解：∵a2﹣ab＝0（b≠0），
∴a＝0或a＝b，
当a＝0时，＝0．
当a＝b时，＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0的情况．
5．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍
【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得＝＝，
可见新分式与原分式相等．
故选：B．
【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
6．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根；
②方程＝0的根为2，分母为0，所以是增根；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；
所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．
故选：A．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
7．若方程的根为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．﹣3＜k＜2 C．k≠﹣3 D．k＜2且 k≠﹣3
【分析】先求出分式方程的解，得出6﹣3k＞0，求出k的范围，再根据分式方程有解得出x+3≠0，x+k≠0，求出x≠﹣3，k≠3，即可得出答案．
【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3），
3x+3k＝2x+6，
3x﹣2x＝6﹣3k，
x＝6﹣3k，
∵方程的根为正数，
∴6﹣3k＞0，
解得：k＜2，
∵分式方程的解为正数，
x+3≠0，x+k≠0，
x≠﹣3，k≠3，
即k的范围是k＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了对分式方程的解的应用，关键是求出6﹣3k＞0和得出x≠﹣3，k≠3，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
8．方程＝﹣1的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+2＝﹣x+2，
移项合并得：2x＝0，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
【分析】根据方程特点设y＝，则原方程可化为2y﹣+3＝0，则y2+3y﹣5＝0．
【解答】解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
10．关于x的方程﹣＝0有增根，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x＝0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2．
故选：A．
【点评】考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二．填空题（共8小题）
11．观察给定的分式：，猜想并探索规律，那么第n个分式是　　．
【分析】先看分子，后面一项是前面一项的2倍（第一项是1，第二项是﹣2，…第n项是2n﹣1）；再看分母，后面一项是前面一项的x倍（第一项是x，第二项是x2，…第n项是xn）；据此可以找寻第n个分式的通式．
【解答】解：先观察分子：
1、21、22、23、…2n﹣1；
再观察分母：
x、x1、x2、…xn；
所以，第n个分式；
故答案是：．
【点评】本题考查了分式的定义．解答此题的关键是找出分子分母的变化规律．找其中的规律是，采用了归纳法．
12．当x　≠﹣2　时，分式有意义．
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故答案是：≠﹣2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．当x＝　1　时，分式的值为0．
【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意得|x|﹣1＝0，且x+1≠0，
解得 x＝1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的所有值为　0，2，3，﹣1　．
【分析】根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是（x﹣1）的倍数，可得答案．
【解答】解：由题意得，x﹣1＝﹣1，1，2，﹣2
故x﹣1＝﹣1，x＝0；
x﹣1＝1，x＝2；
x﹣1＝2，x＝3，
x﹣1＝﹣2，x＝﹣1
故答案为：0，2，3，﹣1．
【点评】本题考查了分式的值，认真审题，抓住关键的字眼，是正确解题的出路，注意x≠±1．
15．分式方程＝的解是　x＝2　．
【分析】观察可得这个分式方程的最简公分母为x（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解答】解：两边都乘以x（x﹣1）得：x＝2（x﹣1），
去括号，得：x＝2x﹣2，
移项、合并同类项，得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）＝2≠0，
∴原分式方程的解为：x＝2，
故答案为：x＝2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．方程的根是　x＝﹣5　．
【分析】首先方程的两边同乘以最简公分母x（x﹣2），化为整式方程，然后解整式方程即可，最后要把x的值代入到最简公分中进行检验．
【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣2）得：5（x﹣2）＝7x，
整理得：5x﹣10＝7x，
解得：x＝﹣5，
检验：当x＝﹣5时，x（x﹣2）＝﹣5×（﹣7）＝35≠0，所以，x＝﹣5是原方程的解．
故答案为﹣5．
【点评】本题主要考查解分式方程，关键在于找到方程的最简公分母，把分式方程化为整式方程求解．
17．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的方程是　2y2+3y﹣1＝0　．
【分析】根据换元法，把换成y，然后整理即可得解．
【解答】解：∵y＝，
∴原方程化为﹣2y＝3，
整理得，2y2+3y﹣1＝0．
故答案为：2y2+3y﹣1＝0．
【点评】本题考查了换元法解分式方程，换元法是解分式方程常用的方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
18．若方程有增根，则m的值为　6或﹣4　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+2）（x﹣2）＝0，得到x＝2或﹣2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2）（x+2），
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x+2）（x﹣2）＝0，
解得x＝﹣2或2，
当x＝﹣2时，m＝6，
当x＝2时，m＝﹣4．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三．解答题（共8小题）
19．已知y＝，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
【分析】（1）y的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况；
（2）y的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论；
（3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0；
（4）分式无意义的条件是分母等于0．
【解答】解：当＜x＜1时，y为正数；
当x＞1或x＜时，y为负数；
当x＝1时，y值为零；
当x＝时，分式无意义．
【点评】本题主要考查了分式 的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，对这些条件的理解是解决本题的关键．
20．①＝（a≠0）
②＝．
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）＝，
（2）＝．
故答案为：6a2，a﹣2，
【点评】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
21．约分（1）；
（2）．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变作答．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
22．若a＞0，M＝，N＝，
（1）当a＝3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）直接将a＝3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
【解答】解：（1）当a＝3时，M＝＝，N＝＝；

（2）方法一：猜想：M＜N
理由：M﹣N＝﹣
＝
＝，
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，
∴，
∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N
理由：，
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，
∴，
∴，∴M＜N．
【点评】此题主要考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题关键．
23．阅读材料，解答问题：
观察下列方程：①； ②； ③；…；
（1）按此规律写出关于x的第4个方程为　x+＝9　，第n个方程为　x+＝2n+1　；
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．
【分析】（1）观察一系列等式左边分子为连续两个整数的积，右边为从3开始的连续奇数，即可写出第4个方程及第n个方程；
（2）归纳总结即可得到第n个方程的解为n与n+1，代入检验即可．
【解答】解：（1）x+＝x+＝9，x+＝2n+1；

（2）x+＝2n+1，
观察得：x1＝n，x2＝n+1，
将x＝n代入方程左边得：n+n+1＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n是方程的解；
将n+1代入方程左边得：n+1+n＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n+1是方程的解，
则经检验都为原分式方程的解．
故答案为：x+＝9；x+＝2n+1．
【点评】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．
24．解分式方程：﹣1＝．
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2是原方程的增根，原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键．
25．解方程：．
【分析】此题应先设3x﹣1为y，然后将原方程化为3y﹣2＝5解得y＝，最后求出x的值．
【解答】解：设3x﹣1＝y则原方程可化为：3y﹣2＝5，
解得y＝，
∴有3x﹣1＝，解得x＝，
将x＝代入最简公分母进行检验，6x﹣2≠0，
∴x＝是原分式的解．
【点评】本题主要考查用换元法解分式方程，求出结果一定要注意必须检验．
26．m为何值时，关于x的方程+＝会产生增根？
【分析】先去分母得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），整理得（m﹣1）x+10＝0，由于关于x的方程+＝会产生增根，则（x+2）（x﹣2）＝0，解得x＝﹣2 或x＝2，然后把x＝﹣2 和x＝2分别代入（m﹣1）x+10＝0即可得到m的值．
【解答】解：原方程化为+＝，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
整理得（m﹣1）x+10＝0，
∵关于x的方程+＝会产生增根，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2 或x＝2，
∴当x＝﹣2时，（m﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m＝6，
当x＝2时，（m﹣1）×2+10＝0，解得m＝﹣4，
∴m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根．
【点评】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根．