2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 346.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-05 15:00:42 | ||
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文档简介
2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
2．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影面积等于（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
4．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架
C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
7．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．两边及其夹角
B．两角及其夹边
C．三边
D．两边及除夹角外的另一个角
9．下列命题中：
①有理数和数轴上的点一一对应；
②内错角相等；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④邻补角一定互补．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列语句是命题的是（ ）
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？
二．填空题（共8小题）
11．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 对．
12．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
13．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，若S△ABC＝15，则图中阴影部分面积是 ．
14．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝ ．
15．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝ ．
16．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是 ．
17．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
18．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
（1）当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
20．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC＝24cm2，求△DEC的面积．
21．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
22．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
23．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．
①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．
（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．
24．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
25．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②?③； B：①③?②； C：②③?①
请选择一个真命题 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
26．如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；
（1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果??，那么?）
（2）说明你写的一个命题的正确性．
2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的分类．
2．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
【分析】根据三角形的高线的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
B、AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
C、∵GC⊥BC，
∴△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
D、∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影面积等于（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，
∴S△BCE＝S△ABC＝4，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
4．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架
C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
【分析】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD＝BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD＝BD；利用三角形的内角和得出∠A＝∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC＝AD，无法得出EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC不成立；由此选择答案即可．
【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠BDE＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD；
∵∠A+∠B＝∠B+∠BED＝90°，
∴∠A＝∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC＝BD，
故∠DCB＝∠DBC＝25°，
则∠CDA＝25°+25°＝50°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝∠CDA＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠A＝∠CDA＝50°是解题关键．
7．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【解答】解：连接AB，
根据题意得：OB＝OA＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：B．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB．
8．已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．两边及其夹角
B．两角及其夹边
C．三边
D．两边及除夹角外的另一个角
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查由已知条件作三角形，可以依据全等三角形的判定来做．
9．下列命题中：
①有理数和数轴上的点一一对应；
②内错角相等；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④邻补角一定互补．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据实数与数轴的关系、平行线的性质、平行公理、邻补角的概念判断即可．
【解答】解：①错误．应该是实数和数轴上的点一一对应；
②错误．应该是两直线平行，内错角相等；
③正确．平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④正确．邻补角一定互补；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．下列语句是命题的是（ ）
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？
【分析】根据命题的定义作答．
【解答】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；
B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；
C、符合命题的定义，是命题；
D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．
故选：C．
【点评】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．
二．填空题（共8小题）
11．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 3 对．
【分析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
【解答】解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的定义，学生全面准确的识图能力，正确的识别图形是解题的关键．
12．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 2 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．
13．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，若S△ABC＝15，则图中阴影部分面积是 5 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴CG＝2FG，
∴S△ACG＝2S△AFG，
∵点E是AC的中点，
∴S△CEG＝S△ACG，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，
同理：S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×15＝7.5，
∴S△CGE＝S△ACF＝×7.5＝2.5，S△BGF＝S△BCF＝×7.5＝2.5，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝5．
故答案为5
【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积＝△BGD的面积＝△CGD的面积，△AGF的面积＝△AGE的面积＝△CGE的面积．
14．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝ 40° ．
【分析】首先根据作图过程得到MN垂直平分AB，然后利用中垂线的性质得到∠A＝∠ABD，然后利用三角形外角的性质求得∠CDB的度数，从而可以求得∠C的度数．
【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝35°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝70°，
∴∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了基本作图中作已知线段的垂直平分线及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是能利用垂直平分线的性质及外角的性质进行角之间的计算，难度不大．
15．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝ 105° ．
【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠CDB和∠ACD即可．
【解答】解：如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB
∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
∵∠CDA＝∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB＝∠DBC＝25°，∠DCA＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝80°，
∴∠ACB＝∠CDB+∠ACD＝25°+80°＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．
16．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
17．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么它们相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
18．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 ．
【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．
【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
（1）当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
【分析】（1）由于BD＝CD，则点D是BC的中点，AD是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）由于∠BAE＝∠CAE，由AE是三角形的角平分线；
（3）由于∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是三角形的高线．
【解答】解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形上角平分线有三条．
（3）AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．
【点评】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的概念，它们分别都有三条．
20．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC＝24cm2，求△DEC的面积．
【分析】根据三角形的面积公式以及中点的概念即可分析出各部分的面积关系．
【解答】解：作高线AM．
∵S△ABC＝BC?AM，S△ADC＝CD?AM
又∵D是△ABC的边BC的中点，S△ABC＝24cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝12cm2．
同理，S△CDE＝S△ACD＝6cm2．
【点评】注意根据三角形的面积公式：在高相等的时候，面积比等于底的比；在底相等的时候，面积比等于高的比．
21．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
22．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示：PQ即为所求；
（2）如图所示：PR即为所求；
（3）∠PQC＝60°
理由：∵PQ∥CD，
∴∠DCB+∠PQC＝180°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．
【点评】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键．
23．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．
①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．
（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC＝∠4，∠2＝∠3，然后再证明∠1＝∠3，根据等角对等边可得BD＝DE．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）BD＝DE，
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠ABC．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠4．
∴∠1＝∠4．
∵CE＝CD，
∴∠2＝∠3．
∵∠4＝∠2+∠3，
∴∠3＝∠4．
∴∠1＝∠3．
∴BD＝DE．
【点评】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．
24．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y＝2，求出整数解即可解决问题；
（2）设P（x，y），由题意x2+42＝4（4+y），求出整数解即可解决问题；
【解答】解：（1）设P（x，y），由题意x+y＝2，
∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，
△PAB如图所示．
（2）设P（x，y），由题意x2+42＝4（4+y），
整数解为（2，1）或（0，0）或（4，4）（舍去）等，△PAB如图所示．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②?③； B：①③?②； C：②③?①
请选择一个真命题 ①③② 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【分析】根据全等三角形的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】已知：AB＝AC，BD＝CE，
求证：AD＝AE．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE．
故答案为：①③②．
【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；
（1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果??，那么?）
（2）说明你写的一个命题的正确性．
【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论．
（2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF．
【解答】解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①．
（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC．
∵AD＝BC，∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴DF＝CE．
∴DF﹣EF＝CE﹣EF．
即DE＝CF．
对于“如果②，③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC．
∵DE＝CF，
∴DE+EF＝CF+EF．
即DF＝CE．
∵∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴AD＝BC．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS、HL等．编题然后选择，最后进行证明是现在比较多的一种考题，要注意掌握．
一．选择题（共10小题）
1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
2．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影面积等于（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
4．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架
C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
7．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．两边及其夹角
B．两角及其夹边
C．三边
D．两边及除夹角外的另一个角
9．下列命题中：
①有理数和数轴上的点一一对应；
②内错角相等；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④邻补角一定互补．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列语句是命题的是（ ）
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？
二．填空题（共8小题）
11．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 对．
12．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
13．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，若S△ABC＝15，则图中阴影部分面积是 ．
14．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝ ．
15．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝ ．
16．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是 ．
17．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
18．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
（1）当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
20．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC＝24cm2，求△DEC的面积．
21．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
22．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
23．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．
①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．
（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．
24．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
25．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②?③； B：①③?②； C：②③?①
请选择一个真命题 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
26．如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；
（1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果??，那么?）
（2）说明你写的一个命题的正确性．
2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的分类．
2．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
【分析】根据三角形的高线的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
B、AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
C、∵GC⊥BC，
∴△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
D、∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影面积等于（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，
∴S△BCE＝S△ABC＝4，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
4．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架
C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
【分析】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD＝BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD＝BD；利用三角形的内角和得出∠A＝∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC＝AD，无法得出EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC不成立；由此选择答案即可．
【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠BDE＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD；
∵∠A+∠B＝∠B+∠BED＝90°，
∴∠A＝∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC＝BD，
故∠DCB＝∠DBC＝25°，
则∠CDA＝25°+25°＝50°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝∠CDA＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠A＝∠CDA＝50°是解题关键．
7．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【解答】解：连接AB，
根据题意得：OB＝OA＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：B．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB．
8．已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．两边及其夹角
B．两角及其夹边
C．三边
D．两边及除夹角外的另一个角
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查由已知条件作三角形，可以依据全等三角形的判定来做．
9．下列命题中：
①有理数和数轴上的点一一对应；
②内错角相等；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④邻补角一定互补．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据实数与数轴的关系、平行线的性质、平行公理、邻补角的概念判断即可．
【解答】解：①错误．应该是实数和数轴上的点一一对应；
②错误．应该是两直线平行，内错角相等；
③正确．平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④正确．邻补角一定互补；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．下列语句是命题的是（ ）
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？
【分析】根据命题的定义作答．
【解答】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；
B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；
C、符合命题的定义，是命题；
D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．
故选：C．
【点评】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．
二．填空题（共8小题）
11．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 3 对．
【分析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
【解答】解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的定义，学生全面准确的识图能力，正确的识别图形是解题的关键．
12．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 2 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．
13．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，若S△ABC＝15，则图中阴影部分面积是 5 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴CG＝2FG，
∴S△ACG＝2S△AFG，
∵点E是AC的中点，
∴S△CEG＝S△ACG，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，
同理：S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×15＝7.5，
∴S△CGE＝S△ACF＝×7.5＝2.5，S△BGF＝S△BCF＝×7.5＝2.5，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝5．
故答案为5
【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积＝△BGD的面积＝△CGD的面积，△AGF的面积＝△AGE的面积＝△CGE的面积．
14．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝ 40° ．
【分析】首先根据作图过程得到MN垂直平分AB，然后利用中垂线的性质得到∠A＝∠ABD，然后利用三角形外角的性质求得∠CDB的度数，从而可以求得∠C的度数．
【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝35°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝70°，
∴∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了基本作图中作已知线段的垂直平分线及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是能利用垂直平分线的性质及外角的性质进行角之间的计算，难度不大．
15．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝ 105° ．
【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠CDB和∠ACD即可．
【解答】解：如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB
∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
∵∠CDA＝∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB＝∠DBC＝25°，∠DCA＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝80°，
∴∠ACB＝∠CDB+∠ACD＝25°+80°＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．
16．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
17．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么它们相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
18．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 ．
【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．
【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
（1）当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
【分析】（1）由于BD＝CD，则点D是BC的中点，AD是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）由于∠BAE＝∠CAE，由AE是三角形的角平分线；
（3）由于∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是三角形的高线．
【解答】解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形上角平分线有三条．
（3）AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．
【点评】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的概念，它们分别都有三条．
20．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC＝24cm2，求△DEC的面积．
【分析】根据三角形的面积公式以及中点的概念即可分析出各部分的面积关系．
【解答】解：作高线AM．
∵S△ABC＝BC?AM，S△ADC＝CD?AM
又∵D是△ABC的边BC的中点，S△ABC＝24cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝12cm2．
同理，S△CDE＝S△ACD＝6cm2．
【点评】注意根据三角形的面积公式：在高相等的时候，面积比等于底的比；在底相等的时候，面积比等于高的比．
21．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
22．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示：PQ即为所求；
（2）如图所示：PR即为所求；
（3）∠PQC＝60°
理由：∵PQ∥CD，
∴∠DCB+∠PQC＝180°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．
【点评】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键．
23．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．
①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．
（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC＝∠4，∠2＝∠3，然后再证明∠1＝∠3，根据等角对等边可得BD＝DE．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）BD＝DE，
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠ABC．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠4．
∴∠1＝∠4．
∵CE＝CD，
∴∠2＝∠3．
∵∠4＝∠2+∠3，
∴∠3＝∠4．
∴∠1＝∠3．
∴BD＝DE．
【点评】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．
24．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y＝2，求出整数解即可解决问题；
（2）设P（x，y），由题意x2+42＝4（4+y），求出整数解即可解决问题；
【解答】解：（1）设P（x，y），由题意x+y＝2，
∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，
△PAB如图所示．
（2）设P（x，y），由题意x2+42＝4（4+y），
整数解为（2，1）或（0，0）或（4，4）（舍去）等，△PAB如图所示．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②?③； B：①③?②； C：②③?①
请选择一个真命题 ①③② 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【分析】根据全等三角形的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】已知：AB＝AC，BD＝CE，
求证：AD＝AE．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE．
故答案为：①③②．
【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；
（1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果??，那么?）
（2）说明你写的一个命题的正确性．
【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论．
（2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF．
【解答】解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①．
（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC．
∵AD＝BC，∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴DF＝CE．
∴DF﹣EF＝CE﹣EF．
即DE＝CF．
对于“如果②，③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC．
∵DE＝CF，
∴DE+EF＝CF+EF．
即DF＝CE．
∵∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴AD＝BC．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS、HL等．编题然后选择，最后进行证明是现在比较多的一种考题，要注意掌握．
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