2020年湘教新版八年级上册数学《第3章 实数》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版八年级上册数学《第3章 实数》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．81 D．±81
2．有一个数值转换器，程序如图所示，当输入的数x为81时，输出的数y的值是（　　）

A．9 B．3 C． D．±
3．已知，那么（a+b）2015的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．32015 D．﹣32015
4．﹣8的立方根与4的平方根的和是（　　）
A．0 B．0或4 C．4 D．0或﹣4
5．用计算器求25的值时，按键的顺序是（　　）
A．5、yx、2、＝ B．2、yx、5、＝ C．5、2、yx、＝ D．2、3、yx、＝
6．在3.14，，，π，，0.1010010001…中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．有下列说法：
①任何实数都可以用分数表示；
②实数与数轴上的点一一对应；
③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；
④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列各式正确的是（　　）
A．|a﹣b|＝|b﹣a| B．a＞﹣a
C．|﹣2|＝﹣2 D．a2＞0（a为任一实数）
9．如图，数轴上点P表示的数可能是（　　）

A． B． C． D．
10．实数﹣、﹣2.5、﹣3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．若一正数的两个平方根分别是2a﹣1与2a+5，则这个正数等于　 　．
12．计算：＝　 　．
13．若，则xy的值为　 　．
14．﹣的立方根为　 　．
15．写出两个无理数，使它们的和为有理数　 　，　 　；写出两个无理数，使它们的积为有理数　 　，　 　．
16．在﹣，0，﹣0.010010001…，π四个数中，有理数有　 　个．
17．﹣的绝对值是　 　．
18．在数轴上，﹣2对应的点为A，点B与点A的距离为，则点B表示的数为　 　．
三．解答题（共8小题）
19．一个正数a的两个平方根是3x﹣4与2﹣x，则a是多少？
20．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
21．已知和|8b﹣3|互为相反数，求（ab）﹣2﹣27的值．
22．已知3既是（x﹣1）的算术平方根，又是（x﹣2y+1）的立方根，求x2﹣y2的平方根．
23．计算（写出计算过程，并用计算器验证）：．
24．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2＝2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a＝2n，（n是整数），所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
25．把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣5，，0，﹣3.14，，﹣12.101001…，+1.99，﹣（﹣6），π
（1）正数集合：{ …}
（2）整数集合：{ …}
（3）分数集合：{ …}
（4）无理数集合：{ …}．
26．如图A在数轴上所对应的数为﹣2．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．



2020年湘教新版八年级上册数学《第3章 实数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．81 D．±81
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
故选：A．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
2．有一个数值转换器，程序如图所示，当输入的数x为81时，输出的数y的值是（　　）

A．9 B．3 C． D．±
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：＝9，＝3，
y＝．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，求算术平方根，依据程序进行计算是解题的关键．
3．已知，那么（a+b）2015的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．32015 D．﹣32015
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
所以（a+b）2015＝（﹣2+1）2015＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．﹣8的立方根与4的平方根的和是（　　）
A．0 B．0或4 C．4 D．0或﹣4
【分析】根据立方根的定义求出﹣8的立方根，根据平方根的定义求出4的平方根，然后即可解决问题．
【解答】解：∵﹣8的立方根为﹣2，4的平方根为±2，
∴﹣8的立方根与4的平方根的和是0或﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
5．用计算器求25的值时，按键的顺序是（　　）
A．5、yx、2、＝ B．2、yx、5、＝ C．5、2、yx、＝ D．2、3、yx、＝
【分析】首先确定使用的是yx键，先按底数，再按yx键，接着按指数，最后按等号即可．
【解答】解：在计算器中，先按2，再按yx，接着按5，最后按＝即可．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用计算器进行数的开方，关键是计算器求幂的时候指数的使用方法．
6．在3.14，，，π，，0.1010010001…中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的概念，找出6个数中是无理数的数，此题得解．
【解答】解：在3.14，，，π，，0.1010010001…中，无理数有、π和0.1010010001…这3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．有下列说法：
①任何实数都可以用分数表示；
②实数与数轴上的点一一对应；
③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；
④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据实数的定义和分类，及与数轴和分数的关系，即可判断各说法，从而得出答案．
【解答】解；①实数分为有理数和无理数两类，由于分数属于有理数，故不是任何实数都可以用分数表示，说法①错误；
②根据实数与数轴的关系，可知实数与数轴上的点一一对应，故说法②正确；
③在1和3之间的无理数有无数个，故说法③错误；
④无理数就是无限不循环小数，它不仅包括开方开不尽的数，以及像π、0.1010010001…，等有这样规律的数也是无理数，
∴不是分数，是无理数，故说法④错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了无理数的定义及与分数和数轴的关系，其中实数是有理数和无理数统称为实数，分数是有理数．
8．下列各式正确的是（　　）
A．|a﹣b|＝|b﹣a| B．a＞﹣a
C．|﹣2|＝﹣2 D．a2＞0（a为任一实数）
【分析】根据绝对值的性质，实数的性质，即可解答．
【解答】解：A、正确；
B、当a＝0时，a＝﹣a，故错误；
C、，故错误；
D、当a＝0时，a2＝0，故错误；
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质，解决本题的关键是熟记实数的性质．
9．如图，数轴上点P表示的数可能是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
【解答】解：由被开方数越大算术平方根越大，得
＜＜＜＜＜，
即＜2＜＜3＜＜，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出＜＜＜＜＜是解题关键．
10．实数﹣、﹣2.5、﹣3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先对三个数取平方，比较它们的平方值，由于三个数都为负数所以平方值较大的数反而比较小，由此即可解决问题．
【解答】解：取三个数的平方值得：7，6.25，9；9＞7＞6.25；
所以﹣3＜﹣＜﹣2.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，难点在于确定用什么方法比较大小，根据题中三个数的性质可确定比较三个数的平方值比较简单．
二．填空题（共8小题）
11．若一正数的两个平方根分别是2a﹣1与2a+5，则这个正数等于　9　．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求出一个平方根，然后平方即可．
【解答】解：∵一正数的两个平方根分别是2a﹣1与2a+5，
∴2a﹣1+2a+5＝0，
解得a＝﹣1，
∴2a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴这个正数等于（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．计算：＝　2　．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即＝|a|．
【解答】解：＝＝2．
故答案为2．
【点评】此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是一道基础题．
13．若，则xy的值为　8　．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相乘即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2y＝0，y+2＝0，
解得x＝﹣4，y＝﹣2，
所以，xy＝（﹣4）×（﹣2）＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．﹣的立方根为　﹣　．
【分析】可以利用立方根的定义来进行计算．
【解答】解：
∵＝﹣，
∴﹣的立方根为﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查立方根的定义，正确掌握立方根的定义是解题的关键，即如果a3＝N，则a叫N的立方根．
15．写出两个无理数，使它们的和为有理数　2﹣　，　3+　；写出两个无理数，使它们的积为有理数　3　，　2　．
【分析】（1）先写一个无理数，根据和为4即可求出另一个无理数；
（2）先写一个无理数，根据积是12即可求出另一个无理数．
【解答】解：（1）可以先写出任意一个无理数如2﹣，
若两个无理数的和是4，
则另一个无理数是：4﹣（2﹣）＝2+；

（2）可以先写出任意一个无理数如3，
若两个无理数的积是12，
则另一个无理数是：12÷3．
故答案为：2﹣，2+；3，．
【点评】此题主要考查了无理数定义和性质，两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数．并且本题答案不唯一．
16．在﹣，0，﹣0.010010001…，π四个数中，有理数有　2　个．
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．
【解答】解：﹣，0是有理数，
故答案为：2．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
17．﹣的绝对值是　　．
【分析】首先确定﹣的正负情况，然后根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：因为﹣＜0，
所以根据一个正数的绝对值是它的相反数得﹣的绝对值是．
【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．
18．在数轴上，﹣2对应的点为A，点B与点A的距离为，则点B表示的数为　﹣2或﹣﹣2　．
【分析】设B点表示的数是x，再根据数轴上两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：设B点表示的数是x，
∵﹣2对应的点为A，点B与点A的距离为，
∴|x+2|＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2．
故答案为：﹣2或﹣﹣2．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．一个正数a的两个平方根是3x﹣4与2﹣x，则a是多少？
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出3x﹣4+2﹣x＝0，求出x，即可求出答案．
【解答】解：根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得：3x﹣4+2﹣x＝0，
即得：x＝1，
即3x﹣4＝﹣1，
则a＝（﹣1）2＝1．
【点评】本题考查了平方根的应用，关键是得出关于x的方程，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
20．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义列方程求出a、b的值，然后求出3a﹣4b的值，再根据平方根的定义解答．
【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4，
∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，
∴5a+2b﹣2＝16，
解得b＝﹣1，
∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，
∴3a﹣4b的平方根是±4．
【点评】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
21．已知和|8b﹣3|互为相反数，求（ab）﹣2﹣27的值．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵和|8b﹣3|互为相反数，
∴+|8b﹣3|＝0，
∴1﹣3a＝0，8b﹣3＝0，
解得a＝，b＝，
∴（ab）﹣2﹣27＝（×）﹣2﹣27，
＝（）﹣2﹣27，
＝64﹣27，
＝37．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
22．已知3既是（x﹣1）的算术平方根，又是（x﹣2y+1）的立方根，求x2﹣y2的平方根．
【分析】根据算术平方根的平方，可得被开方数，根据立方根的立方，可得被开方数，根据平方差公式，可得答案．
【解答】解：3既是（x﹣1）的算术平方根，又是（x﹣2y+1）的立方根，
x﹣1＝32＝9，x﹣2y+1＝33，
x＝10，y＝﹣8，
x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝（10﹣8）×（10+8）
＝36．
∴x2﹣y2的平方根为±6
【点评】本题考查了立方根，先求被开方数，再求平方差．
23．计算（写出计算过程，并用计算器验证）：．
【分析】利用二次根式乘法法则首先将括号里面进行计算，再去括号，利用二次根式的除法法则，除以一个数等于乘以一个数的倒数，整理后再通分即可得出答案，再利用计算器验证计算结果即可．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝．
∵≈1.414…，
∴原式＝≈0.195，
用计算器求出原式≈（2.236…×2.449…﹣2×3.872…）÷3×3.872…≈0.195．
故以上计算正确．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及计算器的应用，解题关键是要求学生熟悉计算器的按键顺序以及熟练应用二次根式的乘、除法法则．
24．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2＝2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a＝2n，（n是整数），所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
【分析】先设＝，再由已知条件得出，a2＝5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a＝5n，（n是整数），
则b2＝5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案．
【解答】解：设与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2＝5b2，
因为b是整数且不为0，
所以a不为0且为5的倍数，设a＝5n，（n是整数），
所以b2＝5n2，
所以b也为5的倍数，
与a，b是互质的正整数矛盾．
所以是无理数．
【点评】本题考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三．
25．把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣5，，0，﹣3.14，，﹣12.101001…，+1.99，﹣（﹣6），π
（1）正数集合：{ …}
（2）整数集合：{ …}
（3）分数集合：{ …}
（4）无理数集合：{ …}．
【分析】根据实数的分类填空即可．
【解答】解：（1）正数集合：{，，+1.99，﹣（﹣6），π…}
（2）整数集合：{﹣5，0，﹣（﹣6），…}
（3）分数集合：{，﹣3.14，，+1.99，…}
（4）无理数集合：{﹣12.101001…，π…}．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类（实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0）是解题的关键．
26．如图A在数轴上所对应的数为﹣2．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
【分析】（1）根据左减右加可求点B所对应的数；
（2）先根据时间＝路程÷速度，求出运动时间，再根据路程＝速度×时间求解即可；
（3）分两种情况：运动后的B点在A点右边4个单位长度；运动后的B点在A点左边4个单位长度；列出方程求解即可．
【解答】解：（1）﹣2+4＝2．
故点B所对应的数为2；
（2）（﹣2+6）÷2＝2（秒），
4+（2+2）×2＝12（个单位长度）．
故A，B两点间距离是12个单位长度．
（3）运动后的B点在A点右边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x＝12﹣4，
解得x＝4；
运动后的B点在A点左边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x＝12+4，
解得x＝8．
故经过4秒或8秒长时间A，B两点相距4个单位长度．
【点评】本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关键．