2020年湘教新版八年级上册数学《第5章 二次根式》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版八年级上册数学《第5章 二次根式》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a，b均为非负数 B．a，b同号
C．a≥0，b＞0 D．
2．要使有意义，则字母x应满足的条件是（　　）
A．x＝2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
3．已知ab＜0，则化简后为（　　）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
4．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
7．下列二次根式，不能与合并的是（　　）
A． B． C． D．﹣
8．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．下列各式中，运算正确的是（　　）
A．＝﹣2 B． +＝ C．×＝4 D．2﹣
10．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+xy+y2的值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
二．填空题（共8小题）
11．观察下列各式：①，②，③，…，根据以上规律，第n个等式应为：　 　．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
13．化简：＝　 　．
14．观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列得到第10个数据应是　 　．
15．计算：×＝　 　．
16．写出的一个有理化因式　 　．
17．若最简二次根式与可以合并，则a＝　 　．
18．计算：﹣＝　 　．
三．解答题（共8小题）
19．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
20．已知实数a满足，求a﹣20102的值．
21．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知m为实数，化简：
解：原式＝
＝．
22．计算：2×．
23．阅读下面问题：
＝＝﹣1；
＝＝﹣
＝＝﹣2，根据以上解法
试求：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值
（3）+++…++的值．
24．若最简二次根式是同类二次根式．
（1）求x、y的值．
（2）求x、y平方和的算术平方根．
25．计算：
26．计算：（﹣）÷．



2020年湘教新版八年级上册数学《第5章 二次根式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a，b均为非负数 B．a，b同号
C．a≥0，b＞0 D．
【分析】根据二次根式的定义得出根式有意义的条件，再逐个判断即可．
【解答】解：∵是二次根式，
∴≥0，
A、a、b可以都是负数，故本选项错误；
B、a＝0可以，故本选项错误；
C、a、b可以都是负数，故本选项错误；
D、≥0，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义的应用，注意：当a≥0时，叫二次根式．
2．要使有意义，则字母x应满足的条件是（　　）
A．x＝2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：由题意得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．已知ab＜0，则化简后为（　　）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
【分析】根据算术平方根和绝对值的性质＝|a|，进行化简即可．
【解答】解：∵a2≥0，ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴＝|a|＝﹣a，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．
4．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、＝|b|，可化简；
B、＝＝2，可化简；
D、＝＝，可化简．
故选：C．
【点评】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质即可判断．
【解答】解：，，
∴C正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
【分析】求出ab的乘积是多少，即可判断出a与b的关系．
【解答】解：∵ab＝×＝＝1，
∴a与b互为倒数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，以及实数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1．
7．下列二次根式，不能与合并的是（　　）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：A、＝4，故与可以合并，此选项错误；
B、＝3，故与不可以合并，此选项正确；
C、＝，故与可以合并，此选项错误；
D、﹣＝﹣5，故与可以合并，此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简各二次根式是解题关键．
8．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减及乘除运算法则，直接求解各项即可．
【解答】解：A、＝＝3，故本选项正确；
B、与不是同类二次根式不能合并，故本选项错误；
C、3×3＝9，故本选项错误；
D、＝3，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的加减及乘除法，属于基础题难度不大，注意细心运算．
9．下列各式中，运算正确的是（　　）
A．＝﹣2 B． +＝ C．×＝4 D．2﹣
【分析】根据＝|a|，×＝（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
【解答】解：A、＝2，故原题计算错误；
B、+＝+2＝3，故原题计算错误；
C、＝＝4，故原题计算正确；
D、2和不能合并，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则．
10．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+xy+y2的值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】根据x＝+1，y＝﹣1，可以求得x+y和xy的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，xy＝2，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝
＝12﹣2
＝10，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
二．填空题（共8小题）
11．观察下列各式：①，②，③，…，根据以上规律，第n个等式应为：　＝（n+1）（n为正整数）　．
【分析】观察所给的等式易得第n个等式应为：＝（n+1）（n为正整数）．
【解答】解：第n个等式应为：＝（n+1）（n为正整数）．
故答案为：＝（n+1）（n为正整数）．
【点评】本题考查了二次根式的定义：形如（a≥0）叫二次根式．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥　．
【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【解答】解：根据题意得，2x﹣3≥0，
解得x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数列不等式是解题的关键．
13．化简：＝　3　．
【分析】先算出（﹣3）2 的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
【解答】解：＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是算术平方根的定义，把化为的形式是解答此题的关键．
14．观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列得到第10个数据应是　﹣3　．
【分析】根据观察，可发现规律：（﹣1）n+1，根据规律，可得答案．
【解答】解：由规律：（﹣1）n+1，得第10个数据为：（﹣1）11＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了最简二次根式，观察数据发现规律是解题关键．
15．计算：×＝　3　．
【分析】根据二次根式的乘法运算法则和算术平方根的概念计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法运算法则： ＝是解题的关键．
16．写出的一个有理化因式　（答案不唯一）　．
【分析】利用有理化因式的定义求解．
【解答】解：的一个有理化因式（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是熟记有理化因式的定义．
17．若最简二次根式与可以合并，则a＝　1　．
【分析】根据最简二次根式的定义，进行计算即可．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴1+2a＝5﹣2a，
∴4a＝4，
∴a＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了实数，掌握一个数立方根、平方根以及算术平方根的求法是解题的关键．
18．计算：﹣＝　　．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
三．解答题（共8小题）
19．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴当a＝﹣时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
【点评】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
20．已知实数a满足，求a﹣20102的值．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．
【解答】解：根据题意得，a﹣2011≥0，
解得a≥2011，
去掉绝对值号得，a﹣2010+＝a，
所以，＝2010，
两边平方得，a﹣2011＝20102，
所以，a﹣20102＝2011．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，求出a的取值范围并去掉绝对值号是解题的关键．
21．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知m为实数，化简：
解：原式＝
＝．
【分析】根据二次根式的性质，m成立，则m为负数，由此可先判断已知解答是错误的，再化简解答即可．
【解答】解：不正确，
根据题意，m成立，则m为负数，

＝m+
＝m+
＝（m+1）．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据成立，则m为负数，要求熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
22．计算：2×．
【分析】根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变，如：2×÷3，÷，计算后求出即可．
【解答】解：原式＝（2××），
＝．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，关键是能熟练地运用法则进行计算，题目比较典型，难度适中，此题是一道容易出错的题目．
23．阅读下面问题：
＝＝﹣1；
＝＝﹣
＝＝﹣2，根据以上解法
试求：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值
（3）+++…++的值．
【分析】（1）（2）根据平方差公式即可求解；
（3）先拆项，再抵消法计算即可求解；
【解答】解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝﹣；
（3）+++…++
＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1+10
＝9．
【点评】考查了分母有理化，规律型：数字的变化类，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
24．若最简二次根式是同类二次根式．
（1）求x、y的值．
（2）求x、y平方和的算术平方根．
【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴3x﹣10＝2，2x+y﹣5＝x﹣3y+11，
即
解得：；
（2）∵x、y的平方和为x2+y2＝16+9＝25，
∴x、y平方和的算术平方根为5．
【点评】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
25．计算：
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝，
＝2，
＝．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，难度不大，注意要先将二次根式化为最简．
26．计算：（﹣）÷．
【分析】先把括号里化简合并，再做除法运算．
【解答】解：原式＝．
【点评】二次根式的混合运算，应遵循实数的运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的，先算括号．