高三数学二轮复习模块专题：直线与圆、圆锥曲线专项跟踪训练测试题 word版含答案解析

直线与圆.圆锥曲线 专项跟踪测试训练
一．选择题（共28小题）
1．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）
A．2 B．8 C．4 D．10
2．斜率为k（k＞0）的直线沿x轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则k＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
4．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）
A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]
5．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
6．已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．若直线y＝2x+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝r2相切，则r2＝（　　）
A．8 B．5 C．2 D．
8．已知椭圆+＝1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e＝（　　）
A． B． C． D．
9．过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则?＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
10．已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）
A． B．2 C． D．2
12．设F1，F2是双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
13．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
14．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
15．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
16．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则?＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
17．已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）
A． B．3 C．2 D．4
18．椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在C上，F2P＝2，，则C的长轴长为（　　）
A．2 B． C． D．
19．已知双曲线的右焦点为F（c，0），直线y＝k（x﹣c）与C的右支有两个交点，则（　　）
A． B． C． D．
20．已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）
A． B． C． D．
21．若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
22．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
23．设A，B是椭圆C：+＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（　　）
A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，]∪[9，+∞） C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，]∪[4，+∞）
24．已知双曲线C：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆+＝1有公共焦点，则C的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝1 D．﹣＝1
25．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
26．若a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（，2） C．（1，） D．（1，2）
27．设直线y＝2x﹣4与双曲线C：x2﹣＝1的一条渐近线平行，则C的离心率为（　　）
A． B． C．3 D．5
28．抛物线y2＝（x﹣1）的准线方程是（　　）
A．x＝0 B．x＝ C．x＝1 D．x＝
二．填空题（共9小题）
29．坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为　 　．
30．点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为　 　．
31．直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝　 　．
32．直线被圆x2+y2﹣2x＝0截得的线段长为　 　．
33．已知直线l：mx+y+3m﹣＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝　 　．
34．已知直线l：x﹣y+6＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝　 　．
35．设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为　 　．
36．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　 　．
37．双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝　 　．
三．解答题（共3小题）
38．双曲线﹣＝1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．
（1）求C的轨迹方程；
（2）动点P在C上运动，M满足＝2，求M的轨迹方程．
39．设椭圆的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，短轴的一个端点为B，短轴长为4，△ABF的面积为
（1）求a，b；
（2）设直线l与C交于P，Q两点，M（2，2），四边形OPMQ为平行四边形，求l的方程．
40．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．



参考答案与试题解析
一．选择题（共28小题）
1．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）
A．2 B．8 C．4 D．10
【考点】IR：两点间的距离公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆．
【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x＝0，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，
∴D＝﹣2，E＝4，F＝﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0，
令x＝0，可得y2+4y﹣20＝0，
∴y＝﹣2±2，
∴|MN|＝4．
故选：C．
【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．
2．斜率为k（k＞0）的直线沿x轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则k＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】I3：直线的斜率；IU：两条平行直线间的距离．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】根据直线的平移规律，两条平行线间的距离公式，求出k的值．
【解答】解：设斜率为k（k＞0）的直线为y＝kx+b，把它沿x轴的正方向平移5个单位，得到直线y＝k（x﹣5）+b，
根据平移后的直线与原直线之间的距离为4，可得＝4，求得k＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的平移规律，两条平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
3．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
【考点】%H：三角形的面积公式；I1：确定直线位置的几何要素；IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；44：数形结合法；5B：直线与圆．
【分析】解法一：先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b＝；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜； ③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．
【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 ＝1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故﹣≤0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b＝．
②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即＝，即 ＝，可得a＝＞0，求得 b＜，
故有＜b＜．
③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ?（1﹣b）?|xN﹣xP|＝，
即（1﹣b）?|﹣|＝，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）＝＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣，
故有1﹣＜b＜．
再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，
故选：B．

解法二：当a＝0时，直线y＝ax+b（a＞0）平行于AB边，
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得＝，b＝1﹣，趋于最小．
由于a＞0，∴b＞1﹣．
当a逐渐变大时，b也逐渐变大，
当b＝时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．
综上可得，1﹣＜b＜，
故选：B．
【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
4．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）
A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|＝2，设P（2+，），点P到直线x+y+2＝0的距离：d＝＝∈[]，由此能求出△ABP面积的取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|＝＝2，
∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2+，），
∴点P到直线x+y+2＝0的距离：
d＝＝，
∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d＝∈[]，
∴△ABP面积的取值范围是：
[，]＝[2，6]．
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
5．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d＝＝1，
解得：a＝，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
6．已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．
【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝1上，
可设圆心P（1，p），由PA＝PB得
|p|＝，
得p＝
圆心坐标为P（1，），
所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．
7．若直线y＝2x+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝r2相切，则r2＝（　　）
A．8 B．5 C．2 D．
【考点】J7：圆的切线方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5B：直线与圆．
【分析】由直线与圆相切的性质得圆心到直线的距离等于圆半径，由此能求出r的值．
【解答】解：∵直线y＝2x+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝r2相切，
∴圆心C（3，2）到直线的距离d＝＝r，
∴r2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查圆半径的求法，考查直线与圆相切、点到直线的距离公式，是基础题．
8．已知椭圆+＝1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】将点代入可得方程组，解得a＝5，b＝1，根据离心率公式即可求出．
【解答】解：椭圆+＝1过点（﹣4，）和（3，﹣），
则，解得a＝5，b＝1，
∴c2＝a2﹣b2＝24，
∴c＝2，
∴e＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的简单性质，以及离心率公式，属于基础题．
9．过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则?＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x轴的直线方程，将直线方程代入y2＝2x求得y的值，即可求出?．
【解答】解：y2＝2x的焦点坐标是（，0），
则过焦点且垂直x轴的直线是x＝，代入y2＝2x得y＝±1，
故?＝（，1）?（）＝﹣1＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．
10．已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），
可得a2﹣4＝4，解得a＝2，
∵c＝2，
∴e＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）
A． B．2 C． D．2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得＝，即：，解得a＝b，
双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的渐近线方程为：y＝±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为：＝2．
故选：D．
【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
12．设F1，F2是双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|＝b，再求出|OP|＝a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得a＝c，问题得以解决．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，
∴点F2到渐近线的距离d＝＝b，即|PF2|＝b，
∴|OP|＝＝＝a，cos∠PF2O＝，
∵|PF1|＝|OP|，
∴|PF1|＝a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c×＝4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2＝c2，
即a＝c，
∴e＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
13．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），
直线AP的方程为：y＝（x+a），
由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），
代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，
∴题意的离心率e＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
14．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），
所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），
解得e＝．
故选：D．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
15．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为e＝＝，
则＝＝＝＝＝，
即双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
16．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则?＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，
联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．
则?＝（0，2）?（3，4）＝8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
17．已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）
A． B．3 C．2 D．4
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|．
【解答】解：双曲线C：﹣y2＝1的渐近线方程为：y＝，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y＝，
则：解得M（，），
解得：N（），
则|MN|＝＝3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
18．椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在C上，F2P＝2，，则C的长轴长为（　　）
A．2 B． C． D．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据椭圆的性质和余弦定理即可得到|PF1|2＝|F1F2|2+|PF2|2﹣2|F1F2|?|PF2|?cos，解得即可
【解答】解：椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），则c＝1，
∵|PF2|＝2，
∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝2a﹣2，
由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2+|PF2|2﹣2|F1F2|?|PF2|?cos，
即（2a﹣2）2＝4+4﹣2×2×2×（﹣），
解得a＝1+，a＝1﹣（舍去），
∴2a＝2+2，
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的简单性质和余弦定理，属于基础题．
19．已知双曲线的右焦点为F（c，0），直线y＝k（x﹣c）与C的右支有两个交点，则（　　）
A． B． C． D．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，由直线恒过右焦点F，结合题意可得|k|＞，即可得到结论．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为
y＝±x，
由直线y＝k（x﹣c）与C的右支有两个交点，
且直线经过右焦点F，
可得|k|＞，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查分析判断能力，属于基础题．
20．已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）
A． B． C． D．
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【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣＝1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y＝3，
则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP丨＝1，丨PF丨＝3，
∴△APF的面积S＝×丨AP丨×丨PF丨＝，
同理当y＜0时，则△APF的面积S＝，
故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．
21．若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，
圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：＝，
解得：，可得e2＝4，即e＝2．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．
22．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 +θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案
【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，
直线l2与C交于D、E两点，
要使|AB|+|DE|最小，
则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l2过点（1，0），
则直线l2的方程为y＝x﹣1，
联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，
∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
∴|DE|＝?|y1﹣y2|＝×＝8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，
方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 +θ，
根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝
|DE|＝＝＝
∴|AB|+|DE|＝+＝＝，
∵0＜sin22θ≤1，
∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，
故选：A．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
23．设A，B是椭圆C：+＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（　　）
A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，]∪[9，+∞） C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，]∪[4，+∞）
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【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO＝≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO＝≥tan60°＝，即可求得m的取值范围．
【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，
设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，
则a2﹣x2＝，
∠MAB＝α，∠MBA＝β，∠AMB＝γ，tanα＝，tanβ＝，
则tanγ＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，
∴tanγ＝﹣，当y最大时，即y＝b时，∠AMB取最大值，
∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO＝≥tan60°＝，
解得：0＜m≤1；

当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，
当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO＝≥tan60°＝，解得：m≥9，
∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）
故选A．

故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
24．已知双曲线C：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆+＝1有公共焦点，则C的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝1 D．﹣＝1
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
【解答】解：椭圆+＝1的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c＝3，
双曲线C：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，
可得，即，可得＝，解得a＝2，b＝，
所求的双曲线方程为：﹣＝1．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
25．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
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【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，可得原点到直线的距离＝a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，
∴原点到直线的距离＝a，化为：a2＝3b2．
∴椭圆C的离心率e＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．若a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（，2） C．（1，） D．（1，2）
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．
【解答】解：a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率为：＝＝∈（1，）．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
27．设直线y＝2x﹣4与双曲线C：x2﹣＝1的一条渐近线平行，则C的离心率为（　　）
A． B． C．3 D．5
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由两直线平行的条件：斜率相等，可得一条渐近线的斜率为2，设b＞0，即有b＝2，求得c，再由离心率公式可得所求值．
【解答】解：直线y＝2x﹣4与双曲线C：x2﹣＝1的一条渐近线平行，
可得一条渐近线的斜率为2，设b＞0，
即y＝bx的斜率为2，即有b＝2，
又a＝1，可得c＝＝，
e＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．
28．抛物线y2＝（x﹣1）的准线方程是（　　）
A．x＝0 B．x＝ C．x＝1 D．x＝
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】抛物线y2＝（x﹣1）的图象可看成是向右平移了一个单位，所以准线也就向右平移了一个单位，所以求出的准线方程即可．
【解答】解：y2＝（x﹣1）的图象可以看成是向右平移了一个单位，
因为的准线方程为x＝﹣＝﹣，
所以y2＝（x﹣1）的准线方程为：x＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，主要是准线方程求法，要注意图象移动的规律．
二．填空题（共9小题）
29．坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为　（6，﹣6）　．
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5B：直线与圆．
【分析】设坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（a，b），利用中点坐标公式、直线与直线垂直的性质列出方程组，能求出结果．
【解答】解：设坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（a，b），
则，
解得a＝6，b＝﹣6，
∴坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（6，﹣6）．
故答案为：（6，﹣6）．
【点评】本题考查点关于直线对称的点的坐标的求法，考查中点坐标公式、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
30．点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为　（1，﹣3）　．
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5B：直线与圆．
【分析】设点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（a，b），利用中点坐标公式、直线与直线垂直的性质列出方程组，能求出结果．
【解答】解：设点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（a，b），
则，
解得a＝1，b＝﹣3，
∴点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题考查点关于直线对称的点的坐标的求法，考查中点坐标公式、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
31．直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝　2　．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．
【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为：2，
圆心到直线的距离为：＝，
所以|AB|＝2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．
32．直线被圆x2+y2﹣2x＝0截得的线段长为　　．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．
【分析】把圆x2+y2﹣2x＝0化为（x﹣1）2+y2＝1，利用点的直线的距离公式求出弦心距，由半径、弦心距，半弦长构成的直角三角形进行计算即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0化为（x﹣1）2+y2＝1，
设直线与圆（x﹣1）2+y2＝1的交点为A、B，圆心为O（1，0），
线段AB的中点为D，半径为r＝1
则由圆的几何性质可知，OD⊥AB，且|OD|＝，|OA|＝r＝1，
∴|AB|＝2|AD|＝2＝2．
故答案为：．
【点评】本题考察了直线与圆的位置关系，直线与圆相交求弦长的方法，圆的标准方程及圆的几何性质运用等知识，是基础题．
33．已知直线l：mx+y+3m﹣＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝　4　．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，|AB|＝2，∴圆心到直线的距离d＝3，
∴＝3，
∴m＝﹣
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴|CD|＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
34．已知直线l：x﹣y+6＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝　4　．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
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【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d＝＝3，
∴|AB|＝2＝2，
∵直线l：x﹣y+6＝0
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴|CD|＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
35．设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为　4π　．
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【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为，
∵直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，且|AB|＝2，
∴圆心（0，a）到直线y＝x+2a的距离d＝，
即+3＝a2+2，
解得：a2＝2，
故圆的半径r＝2．
故圆的面积S＝4π，
故答案为：4π
【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．
36．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　　．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°＝，
可得：＝，即，可得离心率为：e＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
37．双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝　5　．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．
【解答】解：双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，
可得，解得a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
三．解答题（共3小题）
38．双曲线﹣＝1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．
（1）求C的轨迹方程；
（2）动点P在C上运动，M满足＝2，求M的轨迹方程．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）根据双曲线的方程求出焦点F2的坐标，再根据“C是以F2为圆心且过原点的圆”即可得出圆C的圆心和半径，从而求得C的轨迹方程；
（2）先设出M点和P点的坐标，根据＝2来列出用M点坐标表示P点坐标的式子，因为P点在圆C上，将P点坐标代入C的轨迹方程即可求出M的轨迹方程．
【解答】解：（1）由已知得a2＝12，b2＝4，故c＝＝4，所以F1（﹣4，0）、F2（4，0），
因为C是以F2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0），半径为4，
所以C的轨迹方程为（x﹣4）2+y2＝16；
（2）设动点M（x，y），P（x0，y0），
则＝（x+4，y），，
由，得（x+4，y）＝2（x0﹣x，y0﹣y），
即，解得，
因为点P在C上，所以，
代入得，
化简得．
【点评】本题考查了双曲线的性质、轨迹方程的解题方法，考查了运算能力，属于中档题．
39．设椭圆的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，短轴的一个端点为B，短轴长为4，△ABF的面积为
（1）求a，b；
（2）设直线l与C交于P，Q两点，M（2，2），四边形OPMQ为平行四边形，求l的方程．
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【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）依题意得，，解得即可，
（2）方法1（点差法）：求出直线的斜率即可得到直线方程，
方法2（韦达定理法）：
①当直线PQ的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时yP＝﹣yQ，其中点为（1，0），不成立；
②当直线PQ的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），根据韦达定理即可求出．
【解答】解：（1）依题意得，，解得a＝，b＝2，c＝1
（2）方法1（点差法）：由（1）得椭圆的方程为，
因为四边形OPMQ为平行四边形，设OM的中点为D，
则D也是PQ的中点，因为M（2，2），则D（1，1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意，两式相减得，
变形得，即，
所以直线l的方程为，即4x+5y﹣9＝0．
带入，检验△＞0，有两个交点，满足题意．
方法2（韦达定理法）：
①当直线PQ的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时yP＝﹣yQ，其中点为（1，0），不成立；
②当直线PQ的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），
联立得，消y化简得，（5k2+4）x2﹣10k（k﹣1）x+5k2﹣10k﹣15＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝＝2×1，解得，
带入上述二次方程，检验得△＞0，满足题意．
所以直线l的方程为，即4x+5y﹣9＝0．
【点评】本题考查直线与椭圆位置关系，直线与圆锥曲线位置关系，椭圆的标准方程，数形结合，运算能力，转化与化归能力，是中档题．
40．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2＝4，b2＝1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，
又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：
，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＝1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x＝m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，
∴＝＝＝﹣1，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
，x1x2＝，
则＝＝
＝＝＝﹣1，又t≠1，
∴t＝﹣2k﹣1，此时△＝﹣64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直线l的方程为y＝kx﹣2k﹣1，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴l过定点（2，﹣1）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
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日期：2019/4/3 17:22:16；用户：张建辉；邮箱：18293445733；学号：19651797









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