2019-2020学年上学期高二数学寒假自主先学6 等差数列的前n项和 学生版（Word版）

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1．了解等差数列前项和的定义；了解倒序相加法原理，理解等差数列前项和的推导过程．
2．掌握等差数列前项和公式，并能灵活的利用公式解决简单的问题．


一般地，我们称为数列的前项和，用表示，
即．
由高斯算法的启示，采用倒序相加法可得到等差数列的前项和．
然后代入等差数列的通项公式，
于是可得到．



知识点1：等差数列有关量的计算
由上一节的等差数列的通项公式以及等差数列的前项和，这两个公式中含有五个量，分别是，，，，，两个公式对应两个方程，因此已知其中的三个量，就可以求出其他的两个量，即“知三求二”．
知识点2：等差数列判断
由数列的前项和公式是一个关于的二次函数，而且缺少常数项，可推出该数列为等差数列．


1．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D
2．已知等差数列中，，，，它的前项和为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．



拓展一：等差数列的前项和的最值问题
求等差数列的前n项和的最值的方法：
1．二次函数法：
，当公差时，可将看作关于的二次函数，运用配方法，
借助函数的单调性以及数形结合，使得问题得解．
2．通项公式法：
求使得（或）成立的的最大值即可得到的最大（或最小值）
3．不等式法：
借助最大时，有，解此不等式组确定的取值范围，进而确定的值和对应的的值（即的最值）．

拓展二：等差中项与等差数列的前项和
若任意的等差数列的前项和为，前项和为，前项和为，则有，，也成等差数列，公差为．

拓展三：非零等差数列的奇数项与偶数项的性质
（1）若项数为，则，；
（2）若项数为，则，，，．


1．已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
2．设数列是等差数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，
则下列等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．



1．已知等差数列的前9项和为27，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间的一项为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的各项都为整数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列是等差数列，前项和为，满足，给出下列四个结论：①；②;③；④最小，其中一定正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②
5．是等差数列的前项和，，，则时的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．若等差数列满足，，则当 时，的前项和最大．









即学即练：
1．【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，
即，．
2．【答案】B
【解析】在等差数列中，成等差数列，
，，，
，解得或（舍去）．故选B．

技能应用：
1．【答案】B
【解析】由为等差数列，得，，
由，得，令，得，取最大值时为5．
2．【答案】D
【解析】设数列的前项的和为，
则由等差数列的性质得，，也成等差数列．
，得，
又，将，代入得．
故选D．

先学检测：
1．【答案】C
【解析】设数列的公差为，则由等差数列的前项和以及通项公式可得：，解得．
2．【答案】D
【解析】设该数列的公差为，由题意可知：，解得，
中间的一项为，选D．
3．【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，由各项都为整数得．
因为，所以，
化简得，解得或（舍去），所以，
所以，故选B．
4．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，，，
整理得，即，①正确．
，②不正确．
，③正确．
，可能大于，也可能小于，④不正确，其中正确的结论是①③．
故选A．
5．【答案】D
【解析】，，，，
所以，
，可知时的最大值是，故选D．
6．【答案】8
【解析】根据题意知，则，
又，所以，
当时，的前项和最大．



先学目标

先学过程









先学检测