人教版数学九年级下册28．2 解直角三角形及其应用同步测试（优选2019年50道真题 含解析 ）

28.2 解直角三角形及其应用
一．选择题（共20小题）
1．（2019?济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）

A．225m B．275m C．300m D．315m
2．（2019?营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．
3．（2019?日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）

A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
4．（2019?长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（　　）

A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
5．（2019?湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．4 D．2
6．（2019?宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
7．（2019?广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
8．（2019?广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）

A．75m B．50m C．30m D．12m
9．（2019?益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ D．+
10．（2019?河北）如图，从点C观测点D的仰角是（　　）

A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
11．（2019?长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10
12．（2019?苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（　　）

A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
13．（2019?温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米
14．（2019?长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
15．（2019?杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）

A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
16．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．
17．（2019?威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（　　）

A． B．
C． D．
18．（2019?重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（　　）
（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
19．（2019?重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（　　）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
20．（2019?泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　　）km．

A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
二．填空题（共20小题）
21．（2019?阜新）如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为　 　nmile．（结果保留根号）

22．（2019?青海）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为　 　米．（结果保留根号）

23．（2019?葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为　 　米．（≈1.73，结果精确到0.1米）

24．（2019?鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝　 　．
25．（2019?辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车　 　（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）

26．（2019?大连）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为　 　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．

27．（2019?徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为　 　m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）

28．（2019?赤峰）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为　 　m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

29．（2019?柳州）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为　 　．

30．（2019?舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tanC＝　 　．

31．（2019?孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝　 　米．

32．（2019?咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为　 　m（结果保留整数，≈1.73）．

33．（2019?荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为　 　海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）

34．（2019?天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为　 　m．

35．（2019?黄石）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为　 　海里（结果保留根号）．

36．（2019?广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　 　米（结果保留根号）．

37．（2019?宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是　 　．

38．（2019?乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝．则AB边的长为　 　．

39．（2019?温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为　 　分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为　 　分米．

40．（2019?衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　 　米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

三．解答题（共10小题）
41．（2019?恩施州）如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）

42．（2019?盘锦）如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）

43．（2019?营口）如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）

44．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）

45．（2019?上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．

46．（2019?遵义）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．

47．（2019?永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）

48．（2019?湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

49．（2019?陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）

50．（2019?内江）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）




28.2 解直角三角形及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．（2019?济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）

A．225m B．275m C．300m D．315m
解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．

在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，
在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，
解得x＝180，y＝135，
∴AC＝＝＝300（m），
故选C．
2．（2019?营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．
解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB+∠EAD＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴△ABC∽△DAB，
∴＝，
∵BC＝AD，
∴AD＝2BC，
∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，
∴AB＝BC，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；
故选C．
3．（2019?日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）

A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选D．

4．（2019?长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（　　）

A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
解：由题意可得sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选A．
5．（2019?湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．4 D．2
解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故选D．
6．（2019?宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选D．

7．（2019?广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，
∵tan65°＝，
∴OF＝xtan65°，
∴BF＝3+x，
∵tan35°＝，
∴OF＝（3+x）tan35°，
∴2.1x＝0.7（3+x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15+1.5＝4.65，
故选C．

8．（2019?广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）

A．75m B．50m C．30m D．12m
解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝，
解得，AC＝75，
故选A．
9．（2019?益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ D．+
解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ；
故选C．
10．（2019?河北）如图，从点C观测点D的仰角是（　　）

A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，
故选B．
11．（2019?长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故选B．
12．（2019?苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（　　）

A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°，
∴∠ADE＝30°，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE?tan30°＝18m，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，
故选C．

13．（2019?温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米
解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝0.3＝，
∵cosα＝，
∴cosα＝，
解得，AB＝米，
故选B．

14．（2019?长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC?cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选D．

15．（2019?杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）

A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a?cosx+b?sinx，
故选D．

16．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA?cosC＝1，
∴AD＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，
∴AB＝＝2，
∴sinB＝＝．
故选D．

17．（2019?威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（　　）

A． B．
C． D．
解：在△ABC中，sinA＝sin20°＝，
∴AB＝＝，
∴按键顺序为2÷sin20＝
故选A．
18．（2019?重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（　　）
（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，
∴设DG＝x，则CG＝2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，
∴DG＝20米，CG＝48米，
∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝27°，
∴AM＝EM?tan27°≈100×0.51＝51米，
∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．
故选B．

19．（2019?重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（　　）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
解：如图，设CD与EA交于F，
∵＝1：2.4＝，
∴设CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝＝13k＝26，
∴k＝2，
∴AF＝24，CF＝10，
∵AE＝6，
∴EF＝6+24＝30，
∵∠DEF＝48°，
∴tan48°＝＝＝1.11，
∴DF＝33.3，
∴CD＝33.3﹣10＝23.3，
答：古树CD的高度约为23.3米，
故选C．

20．（2019?泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　　）km．

A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，
∴AE＝BE＝AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝30+10，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故选B．

二．填空题（共20小题）
21．（2019?阜新）如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为　50　nmile．（结果保留根号）

解：根据题意，得∠PAB＝60°，∠PBA＝30，AB＝2.5×40＝100（nmile），
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
在Rt△PAB中，PB＝AB?sin∠PAB＝100×＝50（nmile）．
故答案为50．
22．（2019?青海）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为　4﹣4　米．（结果保留根号）

解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，
∴CM＝MB?tan30°＝12×＝4，
在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，
∴∠MAD＝∠MDA＝45°，
∴MD＝AM＝4米，
∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，
故答案为4﹣4．

23．（2019?葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为　54.6　米．（≈1.73，结果精确到0.1米）

解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40，AD＝40，
∴PD＝DB＝40，
∴AP＝AD+PD＝40+40，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴AE＝AP＝20+20≈54.6，
故答案为54.6

24．（2019?鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝　或　．
解：①如图1中，

在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC＝a，
∴tan∠ABC＝＝．

②如图2中，

在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB＝a，
∴tan∠ABC＝＝．，
故答案为或．
25．（2019?辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车　没有超速　（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）

解：作AD⊥直线l于D，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝100，
在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，
则CD＝＝100≈173.2，
∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），
小汽车的速度为0.0732÷＝52.704（千米/小时），
∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，
∴小汽车没有超速，
故答案为没有超速．

26．（2019?大连）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为　3　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．

解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，
则BC＝CD?tan∠BDC＝10，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
则AC＝CD?tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，
∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），
故答案为3．
27．（2019?徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为　262　m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）

解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴EC＝AD＝62，
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，
则AE＝≈＝200，
在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，
∴BE＝AE＝200，
∴BC＝200+62＝262（m），
则该建筑的高度BC为262m，
故答案为262．

28．（2019?赤峰）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为　8.1　m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，
∴AB＝＝，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）
故答案为8.1

29．（2019?柳州）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为　　．

解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，
∴AD＝AB?sinB＝1，
在Rt△ACD中，tanC＝，
∴＝，即CD＝，
根据勾股定理得AC＝＝＝，
故答案为

30．（2019?舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tanC＝　　．

解：如图，过B作BD⊥AC于D，
∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝∠A＝45°，
∴AD＝BD．
∵∠ADB＝∠CDB＝90°，
∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，
∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）
＝AD2+DC2+2AD?DC﹣DC2﹣BD2
＝2AD?DC
＝2BD?DC，
∵AC2﹣BC2＝AB2，
∴2BD?DC＝×2BD2，
∴DC＝BD，
∴tanC＝＝＝．
故答案为．

31．（2019?孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝　（20﹣20）　米．

解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，
则BD＝PD?tan∠BPD＝20，
在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，
∴CD＝PD＝20，
∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，
故答案为（20﹣20）．
32．（2019?咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为　69　m（结果保留整数，≈1.73）．

解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴DA＝DC＝80，
在Rt△ABD中，
，
∴＝＝40≈69（米），
故答案为69．
33．（2019?荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为　22　海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）

解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，
∴BN＝MN＝20，
如图，过A作AE⊥BN于E，
则四边形AMNE是矩形，
∴AE＝MN＝20，EN＝AM，
∵AM＝MN?tan26.5°＝20×0.50＝10，
∴BE＝20﹣10＝10，
∴AB＝＝10≈22海里．
故答案为22．

34．（2019?天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为　14.4　m．

解：作DE⊥AB于E，如图所示：
则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，
∴∠ADC＝90°+30°＝120°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CAD＝30°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝9.6m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝4.8m，
∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；
故答案为14.4．

35．（2019?黄石）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为　15　海里（结果保留根号）．

解：由题意得，MN＝15×2＝30海里，
∵∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，
∴∠MPN＝∠PMN＝30°，
∴PN＝MN＝30海里，
∴PT＝PN?sin∠PNT＝15海里．
故答案为15．
36．（2019?广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　（15+15）　米（结果保留根号）．

解：过点B作BE⊥AB于点E，

在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．
答：教学楼AC的高度是（15）米．
37．（2019?宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是　＜BC＜　．

解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2
在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°
∴∠ABC1＝30°
∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得BC1＝，
在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°
∴∠AC2B＝30°
∴AC2＝4，由勾股定理得BC2＝2，
当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．
故答案为＜BC＜2．

38．（2019?乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝．则AB边的长为　　．

解：如图，作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cosC＝，
∴＝，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AH＝，
故答案为．
39．（2019?温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为　（5+5）　分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为　4　分米．

解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．

∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∴∠COP＝∠COD＝30°，
∴QM＝OP＝OC?cos30°＝5（分米），
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝OA＝5（分米），
∴AM＝AQ+MQ＝5+5．
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝2（分米），
在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）
∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），
在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），
在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，
∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，
∴B′E′﹣BE＝4．
故答案为5+5，4．
40．（2019?衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　1.5　米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

解：∵sinα＝，
∴AD＝AC?sinα≈2×0.77＝1.5，
故答案为1.5
三．解答题（共10小题）
41．（2019?恩施州）如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）

解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，
∴EF＝CD，CF＝DE＝10，
设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，
在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，
∴＝，
∴x＝24+8≈37.8m
答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．

42．（2019?盘锦）如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）

解：设CB部分的高度为xm．
∵∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴BC＝BD＝xm．
在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，
∴CE＝2BC＝2x（m）．
∵CE＝CF＝CD+DF，
∴2x＝x+2，
解得x＝2+．
∴BC＝2+≈3.4（m）．
答：CB部分的高度约为3.4m．

43．（2019?营口）如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）

解：高速公路AB不穿过风景区．
过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．
根据题意，得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，
∴CH＝BH．
设BH＝tkm，则CH＝tkm，
在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，
∴AH＝tkm．
∵AB＝150km，
∴t+t＝150，
∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．
∵54.75＞50，
∴高速公路AB不穿过风景区．

44．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）

解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，
则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，
设DC＝3x，
∵tanθ＝，
∴CP＝4x，
由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，
解得，x＝5，
则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，
∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，
设MF＝ym，
则ME＝（y+15）m，
在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，
则DF＝＝y，
在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，
则PE＝＝（y+15），
∵DH＝DF﹣HF，
∴y﹣（y+15）＝20，
解得，y＝7.5+10，
∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，
答：古塔的高度ME约为39.8m．

45．（2019?上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．

解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′?sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE＝＝30厘米，
∴EE′＝30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．


46．（2019?遵义）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．

解：作DE⊥BC于E，
则四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE，DF＝EC，
在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，
∴DE＝BD＝84，
∴FC＝DE＝84，
∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AD＝AF＝70（米），
答：电动扶梯DA的长为70米．

47．（2019?永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）

解：设AB＝x，
由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
∴AB＝BC＝x，
∴BD＝BC+CD＝x+400，
在Rt△ADB中，
∴tan30°＝，
∴＝，
解得x＝≈546.4，
∴山高AB为546.4米
48．（2019?湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

解：如图所示：连接MN，由题意可得∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN＝8km，
在直角△AMN中，MN＝AN?cos30°＝8×＝4（km）．
在直角△BMN中，BM＝MN?tan45°＝4km≈6.9km．
答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．

49．（2019?陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）

解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝即＝，
解之，得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．

50．（2019?内江）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）

解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴AD＝CE，
设BE＝x，
在Rt△ABE中，tanBAE＝，
则AE＝＝x，
∵∠EAC＝45°，
∴EC＝AE＝x，
由题意得，BE+CE＝120，即x+x＝120，
解得，x＝60（﹣1），
∴AD＝CE＝x＝180﹣60，
∴DC＝180﹣60，
答：两座建筑物的地面距离DC为（180﹣60）米．