14.2 三角形内角和 教案（共3课时）

14.2三角形内角和（1）
教学目标：
1.经历对三角形内角和进行实验、猜测、说理证实的研究过程，体会直观感知与理性思考的联系和区别，感受添加辅助线的依据.
2.掌握三角形的内角和性质，能运用这一性质进行简单的说理计算.
教学重点：初步运用三角形内角和性质进行说理.
教学难点：通过实验操作，感受辅助线生成的过程，证实三角形内角和的性质.
教学过程：
一、三角形的内角和性质的引入：
课前准备
同学们，我们已经知道三角形的三边之间的关系，即三角形任意两边的和大于第三边，那么三角形的三个内角之间有怎么样的数量关系呢？
现在请大家动手剪剪拼拼三角形的三个角：验证一下你的结论是否正确；
教师巡视学生的操作活动过程------
现在，请同学说说你们是怎样拼的？三角形的内角和是否是180°？为什么？
为什么拼成的是平角呢？
将∠B剪下拼到∠A的左边，由于在移动过程中角的大小没有变，且处的位置是内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以得到射线AE∥BC，同理AF∥BC，由于过线段BC外一点A有且只有一条平行线，所以射线AE、AF共线，所以EF∥BC，即点E、A、F三点共线，所以三角形的内角和是180°.
如果不将∠B、∠C剪下拼到∠A的两旁，你能说明三角形的内角和是180°吗？
那么，如何归纳三角形内角和性质？
二、三角形的内角和性质的应用：
思考1：一个三角形的三个内角中最多有几个钝角？几个直角？为什么？
练习:
1．判断下列各组角度的角是否是同一个三角形的内角？为什么？
（1）80°、95°、5°； （2）60°、20°、90°；
（3）35°、40°、105°； （4）73°、50°、57°.
例题1 在△ABC中，已知∠B=35°，∠C=55°，求∠A的度数，并判断△ABC的类型.
请学生先分析，教师加以引导，并板书.
练习：请先审题，解题时能够默念性质中的语句.
2.已知△ABC中两个内角的度数，判断△ABC的类型：
（1）∠A=30°，∠B=40°；
（2）∠B=32°，∠C= 58°；
（3）∠A= 60°，∠C= 50°.
3.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=45°，AD是△BAC的角平分线，求∠ADC的度数.
先审题，请学生先分析，教师加以引导，并板书.
例题2 在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1︰2︰3，求∠A、∠B、∠C的度数.
练习：
4.在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C= 2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数.
先审题，请学生先分析，教师加以引导，并板书.
拓展延伸：变式一：如图，增加条件“CE是△ABC的角平分线”，CE与AD相交于点O，其余条件不变，求∠AOC的度数.
变式二：如图，将条件“∠BAC=60°，∠C=45°”改为“∠BAC+∠BCA=105°”，其余条件不变，求∠AOC的度数.
变式三：如图，在△ABC中，∠B=75°，AD、CE是△ABC的角平分线，相交于点O，求∠AOC的度数.
变式四：如上图，在△ABC中，∠B=n°，AD、CE是△ABC的角平分线，相交于点O，求∠AOC的度数.
三、课堂小结：
本节课学到了什么知识？
补充：实验几何向论证几何过渡，初步经历和体验几何推理的过程.
四、布置作业：练习册，习题14.2（1）
14.2三角形的内角和（2）
教学目标：
1．知道三角形的外角及外角的含义．
2．掌握三角形的外角的性质；知道三角形外角和．
3．能运用三角形外角的性质进行简单的说理计算，感受分解与组合的数学思想．
教学重点和难点：
在图形中正确识别三角形的外角的基本图形并正确运用三角形外角的性质．
教学过程：
一、复习引入
1．外角的概念
三角形的三条边、三个内角有什么样的关系？
我们知道三角形有三条边和三个内角构成.如图所示, ∠ACD与∠ACB有什么位置关系？
我们把三角形一个内角的邻补角称为三角形的一个外角．
师：请同学们归纳三角形外角的概念.
师：在三角形中，与一个内角相邻的外角有几个？这两个的外角的大小关系如何？
师：本节课我们要学习有关三角形外角的性质以及三角形的外角和．（给出课题）
二、探究新知
思考1：三角形的外角与内角有怎样的位置关系？
思考2：三角形的外角与相邻的内角有怎样的数量关系？
思考3：三角形的外角与不相邻的两个内角有怎样的关系呢？
我们现在用说理的方法说明大家的猜测是正确的．
∵ ∠ACD+∠ACB= （平角的意义）
∠A+∠B+∠ACB= （三角形的内角和等于 ）
∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB (等量代换)
得∠ACD=∠A+∠B (等式性质)
问：三角形的外角与不相邻的一个内角有怎样的关系呢?
归纳三角形外角的两个性质.
性质1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言：
∵∠ACD是 的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
性质2 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
符号语言：
∵∠ACD是 的外角，
∴∠ACD>∠A（或∠B）（三角形的一个内角大于任何一个与它不相邻的内角）
三、例题讲解
例3 已知 中，∠A=30°，∠C=50°，求分别与∠B、∠C相邻的一个外角的度数．
师问：要求相邻的一个外角的度数，图上有外角吗？
师：作CB的延长线BD，则∠ABD是∠ABC相邻的外角．
反馈练习:
1.求下列图中 ：
2．如图， 、 、 是 的三个内角， 、 是三角形的外角，已知 ， ，求 、 、 的度数．
2．如图， 中，已知 ， ，求 的度数．
师：通过例题和练习，同学们已会在基本图形中用三角形的外角和性质，那么在较复杂的图形中还会用吗？
例4 已知∠BAC=70°，D是△ABC的边上的一点，且∠CAD=∠C，
∠ADB=80°，求（1）∠C的度数；（2）∠B的度数．
分析：要求出∠C的度数，关键是找出符合题意的基本图形，也就是要找出哪个角哪个三角形的外角．
解：（1）∵∠ADB=∠CAD+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵∠CAD=∠C，∠ADB=80°（已知）∴∠C+∠C=80°（等量代换）．∴∠C=40°（等式性质）．
（2）∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），又∵∠BAC=70°（已知），
∴∠B=70°（等式性质）．
适时小结：
（1）在这个复合图形中，要把与已知条件有关的基本图形分解出来；
（2）一个复合图形可以分解成几个基本图形，反之，几个基本图形又可以组合成一个复合图形．

四、知识延伸
1．三角形的外角和的概念．
对于三角形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和．
∠1、∠2、∠3是三角形的外角，
∠1+∠2+∠3就是△ABC的外角和．
2．三角形的外角和性质的推导．
师：三角形的内角和等于180°，那么三角形的外角和等于多少度？为什么？
师：请小组派代表交流：
五、课堂小结
通过这堂课，你学到了什么？
图形的分解与组合
六、布置作业：练习册，习题14.2（2）
14．2三角形的内角和（3）
教学目标：
1．综合运用三角形内角和性质和外角性质进行说理和计算．
2．在应用性质的过程中，感受分解与组合的数学思想．
教学重点和难点：
在较复杂图形中识别符合三角形外角性质的基本图形，并能运用性质．
教学过程：
一、复习提问：
问1：三角形的内角和为多少度？
问2：三角形的外角和呢？
问3：三角形外角的性质是什么？
这些性质反映了三角形角与角之间的数量关系，这节课将运用它们解决问题．
板书课题：
§14．2三角形的内角和（3）
二、新课学习：
例题5 如图，在△ABC中，已知点D是边BC上的一点，且∠ADE=∠B，那么∠1与∠2相等吗？为什么？
（教师板书）
在图中标∠ADE=∠3，
问1：∠1与∠2相等吗？为什么？
问2：∠1与∠B是一个三角形的两个内角，与它们不相邻的外角是哪个角？
分解出基本图形：
问3：在分解后的图形中，∠ADC等于哪两个角的和？为什么？
问4：在原图形中，∠ADC等于哪两个角的和？
解：相等，
∵∠ADC=∠B+∠1（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即∠3+∠2=∠B+∠1．
又∵∠3=∠B（已知），
∴∠1=∠2（等式性质）．
【适时小结】
在图形中找出符合三角形外角性质的基本图形是解题的关键．
练习：
1．如图，在△ABC中，已知点D是边BC上的一点，且∠1=∠B.那么，∠BAC与∠2相等吗？为什么？
例题6 直线AB、CD相交于点O，已知∠B=∠C，∠A=40°，求∠D的度数．
问1：如何求∠D的度数？
问2：这是运用了三角形的内角和性质，你还有别的方法吗？
分解出基本图形：
解：∵∠AOD=∠A+∠C，
∠AOD=∠D+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠A+∠C =∠D+∠B（等量代换）．
又∵∠B=∠C（已知），∴∠D=∠A（等式性质）．
∵∠A=40°（已知），∴∠D=40°（等量代换）．
三、课堂练习:
2.如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠A=50°，∠AOC=85°，求∠C的度数 .
3．如图，在△ABC中，已知∠BAC=∠C=70°，AH⊥BC，求∠B、∠BAH的度数．
变式：
如果已知条件不变，增加“∠BAC的平分线AD交BC于点D”，求∠DAH、∠ADH的度数．
4.如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O，求∠BOC的度数.
四、课堂小结
谈谈这节课你有什么收获、体会或想法？
分解组合的数学思想．
五、布置作业：练习册，习题14.2（3）