12.7 分数指数幂 教案

§12.7分数指数幂(1)
教学目标：
1.理解分数指数幂的意义.
2.能将方根与分数指数幂互化，体会化归的数学思想.
教学重点及难点:将方根与分数指数幂互化.
教学过程：
一、复习引入
1.引言：加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？
2．思考：
把表示为2的次幂的形式.
引导分析：
（1）解决这个问题之前，先口答：（用幂的形式表示）

（2）这是以前所学的整数指数幂，负整数指数幂可以转化为正整数指数幂.到目前为止2的任何整数指数幂都是有理数，而是一个无理数，可知不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把表示为的形式.
（3）假设成立，问：在等式成立的前提下，如何消除根号进行转化呢？
那么
说明：原有的幂的运算性质应该保持不变.
左边=21，右边=
要使 左边=右边 成立，则，即
所以
追问1：被开方数中2的指数是几？（师可用红色粉笔标注出指数）
问2：猜想=？
3. 讨论
通过，，的转化，讨论方根与幂的形式如何互化？（学生讨论）
二、学习新课
1．分数指数幂概念
师：把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
（其中、为整数，）.
【说明】在说明同样适用后，导出后一个负分数指数幂.
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.
揭示课题：12.7分数指数幂
[说明]指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.
2.有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.
3．例题分析
把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）
每一题问：如何转化？谁做分数指数幂中指数的分母？
师：刚才将方根转化为分数指数幂，反过来分数指数幂可以转化为方根进行开方运算.
计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
小结：可将分数指数幂转化为方根的形式再求值，最后写成分数指数幂的形式.

将幂的形式转化为方根形式：
（1）；（2）；（3）；（4）
解：（1）； （2）；
（3）； （4）.
小结：分数指数幂中指数的分母是方根中的根指数.
三、巩固练习
1.把下列方根化为幂的形式：
（1）；（2）；（3）； （4）．
*2. 把下列幂化为方根的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
*3.把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）； （3） ； （4）.
4.计算（口答）：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
四、课堂小结
学生自主小结：你学到了什么?
你有什么体会或想法?
数学思想：化归思想.
五、作业：
练习册、堂堂练
§12.7 分 数 指 数 幂 （2）
教学目标：
1. 初步掌握有理数指数幂的法则和运算性质.
2. 初步会用幂的运算性质进行计算以及运用方根与幂的互化进行相关运算.
教学重难点：
用有理数指数幂的性质进行计算.
教学过程：
一、 复习引入
上节课我们已学习了幂指数的取值范围从整数扩大到了有理数，下面请同学回答一下问题：
问1：什么是分数指数幂？
问2：什么是有理数指数幂？

二、学习新课
问3：类似于整数指数幂，你能说说有理数指数幂的运算性质吗？
有理数指数幂的运算性质：
讲解例题：
例1 计算（结果用幂的形式表示）：（1）； 问：这是什么运算，如何计算？
解（1）.
（2）；问：这是什么运算，如何计算？
解（2）.
（3）； 问：这是什么运算，如何计算？
解（3）.
（4）.问：如何进行计算？
【适时小结】分数指数幂计算的一般步骤：(1)判断是什么运算；(2)运用法则计算.
计算：
（1）；问：如何进行计算？
解（1） = = =6
（2）；问：如何进行计算？
解（2）= ==4.
（3）问：如何进行计算？
解（3）====.
（4）问：如何进行计算？
解：= == ===1
【适时小结】分数指数幂计算的一般步骤：(1)判断是什么运算；(2)运用法则计算.
三、问题拓展
例4 利用幂的运算性质计算：
（1）问：如何进行计算？
解： ===
另解：原式===
小结：对含有方根的算式，利用幂的运算性质进行计算时，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.
四、课堂练习
A组
1、计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
2、计算（结果表示为含幂的形式）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
B组
*计算：
五、课堂小结
通过今天的学习你有什么收获？
教师补充：
由整数指数幂的运算性质，迁移得出分数指数幂的运算性质.
六、作业：
练习册
堂堂练