13.2 垂线 教案（共2课时）

13．2垂线（1）
教学目标：
1．知道两条相交直线的夹角；理解两条直线互相斜交、垂直的有关概念，会用符号表示两线垂直．
2．通过操作实践活动，理解垂线的基本性质；会过一点作已知直线的垂线， 在垂直概念的形成过程中，体会从一般到特殊的几何研究方法．
3．了解线段垂直平分线的概念，会用尺规作线段的垂直平分线，并会用符号语言表示．
教学重点及难点：垂直的有关概念与垂线的基本性质．
教学过程：
一、引入：
思考1：如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC= 40°，那么∠BOD=_________，∠AOD=_______．

二、学习新知：
（一）两条直线的夹角：
观察：
如图，直线AB和CD相交于点O，则形成了四个小于平角的角，若将直线AB绕着点O旋转，观察四个角大小变化．
几何画板演示
（1）这四个小于平角的角中，有两组对顶角，若其中一组对顶角为锐角，那么另一组对顶角是什么角？
（2）若∠AOC为90°，那么另三个角是什么角？
师：由上题我们可知，两条直线AB和CD相交形成了四个小于平角的角，我们把其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角．
两条直线的夹角：
两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角．
问：定义中“不大于直角的角”指的是怎样的角？若设两条直线的夹角为α，那么α的取值范围是什么？
师：当直线AB绕着点O旋转时，两条直线的夹角从锐角逐渐变为直角，而两条直线的位置关系也随之改变．若夹角为锐角，我们称两条直线互相斜交；若夹角为直角，则称两条直线互相垂直，垂直是相交的特殊形式．
几何画板演示
（二）两条直线斜交：
如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交，其中一条直线叫做另一条直线的斜线．
如观察（1）中的直线AB与CD斜交．
（三）两条直线垂直：
1．两条直线垂直的概念：
如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
“垂直”用符号“⊥”表示，读作“垂直于”．直线AB与CD垂直，写作：“AB⊥CD”．
符号语言：
因为∠AOD= 90°，
所以AB⊥CD（垂直的意义）．
反之，因为AB⊥CD于O，
所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=
∠BOC =90°（垂直的意义）．
强调直角可用符号“ ”表示．
2．垂线的基本性质：
操作：
（1）平面内经过直线AB上一点P，作直线与已知直线AB垂直，这样的垂线能作几条？
（2）在平面内经过直线AB外一点P，作直线与已知直线AB垂直，这样的垂线能作几条？
总结：用直角尺作垂线的三个步骤:
“一叠线，二过点，三画线”．
思考2：从以上操作实践中，你能得到什么结论？
垂线的基本性质：
在同一平面内，经过直线上或直线外一点作已知直线的垂线可以做一条，并且只能作一条．
简称：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
3．利用尺规作已知线段的垂直平分线：
线段的垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
因为CD是线段AB的垂直平分线，点O为垂足，
所以CD⊥AB，AO=BO（垂直平分线意义）．
反之，因为CD⊥AB，AO=BO，
所以CD是线段AB的垂直平分线，点O为垂足（垂直平分线意义）．
师：类似于用直尺和圆规作出线段中点的方法，可以作出线段的垂直平分线．
例1已知线段AB，请使用直尺、圆规作出它的垂直平分线．
解：
（1）A为圆心，大于AB的长为半径作弧，以点B为圆心，同样长为半径作弧，两弧分别相交于点E、F；
（2）作直线EF．直线EF就是所作线段AB的垂直平分线．
（四）课堂练习：
A组
1． 填空：如图（图中直线AB、CE相交处的记号“┐”表示∠COB是直角）
（1）直线 与 直线 相交于点D；
（2）直线 ⊥直线 ，垂足为 ；
（3）过点C有且只有 条直线与直线AB垂直；
（4）用刻度尺测量：
点C到点D的距离是 cm，
点C到点O的距离是 cm，
由此可知线段CO比线段 短．
2．填空：如图，
（1）因为∠AOM= 90°（已知），
所以_____⊥_____（ ）．
（2）因为MN⊥AB，垂足为点O，
所以∠_____= _____°（ ）．
（3）因为MN是线段AB的垂直平分线，点O为垂足（已知），
所以MN_____AB，_____=_____（ ）．
（4）因为∠BOM= 90°（已知），
所以_____⊥_____（ ）．
又因为AO=BO（已知），
所以______是______的垂直平分线( )．
3．如图，直线a、b的夹角是 °．
*B组
如图，点P 在∠AOB的内部，点M在
∠AOB的外部，点Q在射线OB上，按以下要求画图：
（1）利用三角板过点P画OA的垂线；
（2）利用三角板过点Q画OB的垂线；
（3）利用三角板点过M画OA的垂线；
（4）利用尺规作OQ的垂直平分线．
三、自主小结：
1．两条直线的夹角：
两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角．
（2）垂线的性质:过一点作已知直线的垂线能且只能作一条．
3．线段的垂直平分线：性质与作法．
四、作业
练习册13.2（1）
堂堂练13.2（1）
13.2垂线（2）
教学目标：
经历导出“垂线段最短”这一性质所经历的操作、观察、思考过程，理解点到直线的距离的意义.
会度量点到直线的距离，会利用点到直线的距离解决简单的实际问题.
教学重点与难点：点到直线距离的应用.
教学过程：
一、引入
问1：什么是两点间的距离？
我们知道“两点之间，线段最短”，我们将这个线段的长度就规定为两点间的距离.
问2：点和点之间有距离，那么点和直线之间有距离吗？
出示课题：§13.2垂线（2）——点到直线的距离.
问3：如图，小明要从家门口 A 处出发走到河边 l .你能告诉他怎样走才能使路程最短吗？
转化：如图，已知直线 l 与其外一点A，点 A与直线 l上的各点联结的线段中，最短线段是哪一条？
二、点到直线的距离
1、点到直线的距离
操作：过点A作直线l的垂线，垂足为A1；另外在直线l上任取四个点：A2、A3、A4、A5，分别联结AA2、AA3、AA4、AA5.
线段AA1叫点A到直线l的垂线段；其他线段AA2、AA3、AA4、AA5…叫斜线段.
思考：观察这五条线段的长度，你能得到怎样的结论？
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
教师补充：简单地说：垂线段最短.并且我们将这个“最短距离”规定为点到直线的距离.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.
问：说说其中有哪些关键词.
补充说明：
如果一个点在直线上，那么就说这个点到直线l的距离为零.
即时练习：
选择正确答案并说明理由.
点到直线的距离是指（ ）
（A）直线外的一点到这条直线的垂线； （B）直线外的一点到这条直线的垂线段；
（C）直线外的一点到这条直线的垂线的长； （D）直线外的一点到这条直线的垂线段的长；
适时小结：“距离”是数量的概念，“线段”是图形，“长度”是数量的概念，所以这里的“距离”是“线段的长度”.
2．应用
例题 指出图中线段AC、BC、AD、BD、CD的长分别表示哪个点到哪条直线的距离.
师：如图（1），AC⊥BC，垂足为点C，所以线段AC的长度表示点A到直线BC的距离.
BC⊥AC，垂足为点C，线段BC的长是点B到直线AC的距离；
（1）
问：你能说说线段AD、BD、CD的长表示哪一点到那条直线的距离吗？理由呢？
解：
线段AC的长是点A到直线BC的距离；
线段BC的长是点B到直线AC的距离；
线段AD的长是点A到直线CD的距离；
线段BD的长是点B到直线CD的距离；
线段CD的长是点C到直线AB的距离.
适时小结：判断某条线段是哪一点到那条直线的距离，关键在于找到它与那条直线垂直.
适时小结：在解决点到直线的距离的有关问题中，关键是抓住概念中“垂线段”这一关键.
即时练习：
如图，根据图形回答问题.
（1）点B到直线AC的距离是线段________的长度；
（2）点C到直线AD的距离是线段________的长度；
（3）线段AD的长度表示点______到直线________的距离；
（4）线段AC的长度表示点______到直线________的距离；
（5）线段BD的长度表示点______到直线________的距离；
3．课堂练习
1．按下列要求画图并填空：如图，
（1）过点P画PD⊥AB，垂足为点D； （2）过点P画PE⊥AC，垂足为点E；
（3）点PQ两点间的距离是线段　 的长度，PD的长度表示　　的距离．
（4）点P到直线AC的距离是线段　 　的长度．
（5）点Q到直线AB的距离是　　　.
2.（1）如果一点在直线上，那么这点到该直线的距离为 ．
（2）在图中分别画出表示点C到直线AB的距离，点B到直线AC的距离的线段，再分别量出这些距离．
（注意：题2（2）中，表示点B直线AC的距离的线段在形外，垂足在AC的延长线上，延长线应画为虚线.）
三、课堂小结
今天主要学习了什么？
补充：
“距离”是数量的概念，“线段”是图形，“长度”是数量的概念，“点到直线的距离”是“垂线段的长度”.
四、作业
练习册13.2（2）
堂堂练13.2（2）