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镇原二中2019-2020学年度第一学期高二数学期末测试题
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共12小题）
1．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝﹣4x B．x2＝4y
C．y2＝﹣4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝﹣4y
3．（文科）已知函数f（x）＝x+,则f′（1）＝（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
（理科）如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是，那么（ ）
A．l⊥α l与α斜交 C．l?α D l∥α
4.原命题为“若
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
5.在下列四个命题中，真命题的个数是( )
①?x∈R，x2＋x＋3＞0；
②?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④?x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
A．1 B．2 C．3 D．4
6.对?x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是( )
A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0
C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0
7.已知动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )
A．y2＝4x
B．y2＝－12(x－4)
C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)
D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)
8．（文科）设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）可能为（ ）
A． B．
C． D．
（理科）如图所示，已知正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD则直线DE和BF所成角的余弦值为( )
(A) (B)
(C) (D)
9．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（ ）
A．（0，0） B． C． D．（2，2）
10.已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A．（0，] B．[，1） C．（0，] D．[，1）
11.（文科）已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A． f(b)－g(b) B．f(a)－g(a)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
（理科）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
①和② B．④和② C．④和③ D．③和①
12.设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷（非选择)
二．填空题（共4小题）
13．命题“?x＞0，”的否定是 ．
14．椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|＝5，则cos∠F1PF2＝ ．
15． (文科）函数f（x）＝﹣x﹣cosx，则使f（x+1）﹣f（1﹣3x）≥0的成立x范围是 ．
（理科）已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 ．
16.椭圆的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为 ．
三．解答题（共6小题)
17.(10分)已知命题p：方程x2﹣2mx+7m﹣10＝0无解，命题q：x∈[4，+∞），x﹣m≥0恒成立，若p∨q是真命题，且p∧q也是真命题，求m的取值范围．
18．(12分)已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－m)2＝9(m∈R)，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切．当m＝5时，求双曲线G的方程．
19.（12分）（文科）已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1在x＝﹣1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求函数f（x）的最小值．
（理科）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．
（1）求满足的实数x、y、z的值．
（2）求AC1的长．
20.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．
21.（文科）已知函数f（x）＝ax+lnx其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）若f（x）在区间（1，e）上的最大值为﹣3，求a的值；
（2）若不等式f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．
(理科）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值.
22.已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线C过点，且其离心率为．
（1）求抛物线E和双曲线C的标准方程；
（2）已知直线l过点F，且与抛物线E交于A，B两点，以AB为直径作圆M，设圆M与y轴交于点P，Q，求∠PMQ的最大值．
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2019-2020学年度第一学期高二数学（文理）期末试题参考答案
一．选择题
1-5 ACDAD 6-10 CDADB 11-12 BA
二．填空题
13.?x0＞0，
14.
15.(文科）（-∝，0】
（理科）2
三．解答题
17.解：当p为真时，有：△＝（﹣2m）2﹣4（7m﹣10）＜0，解得：2＜m＜5；
当命题q为真时，有：m≤x，对x∈[4，+∞）恒成立，即m≤4，
由p∨q是真命题，且p∧q也是真命题得：p与q都是真命题；即2＜m≤4，
综上，所求m的取值范围是（2，4]
18.解：椭圆D：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)、F2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.当m＝5时，圆心为(0,5)，半径为r＝3.
∴＝3?a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
19.(文）解：（1）f′（x）＝3x2﹣3a，
又函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，则f′（﹣1）＝3﹣3a＝0；
即a＝1，此时f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
所以当a＝1时满足条件；
所以a＝1；
（2）由（1）可知f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，[﹣1，1]单调递减；
所以 当x∈[﹣2，1]时，函数f（x）的最小值是f（﹣2），f（1）中的较小者；
f（﹣2）＝﹣3，f（1）＝﹣3；
故函数f（x）的最小值为﹣3．
（理）.解：（1）
所以…（4分）
（2）∵
AC=√5
20【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于，
∴＝1，＝，
∴a＝2，b＝，
∴椭圆C的方程为＝1；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立椭圆方程得（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣2）＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+mk（x1+x2）+m2＝，
由PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，代入得4k2+8mkx+3m2＝0
∴m＝﹣2k（舍去），m＝﹣k，
∴直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以过定点（，0）．
21.（理）.证明：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABA1B1，
∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，
∴BE⊥平面EB1C1．
解：（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AE＝A1E＝1，∵BE⊥平面EB1C1，∴BE⊥EB1，∴AB＝1，
则E（1，1，1），A（1，1，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2），C（0，0，0），
∵BC⊥EB1，∴EB1⊥面EBC，
故取平面EBC的法向量为＝＝（﹣1，0，1），
设平面ECC1 的法向量＝（x，y，z），
由，得，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），
∴cos＜＞＝＝﹣，
∴二面角B﹣EC﹣C1的正弦值为．
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（1）＝，
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＜f（e）＝ae+1，无最大值．
当a＜0时，在（0，﹣）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（﹣，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递增，
若函数在（1，e）上取得最大值﹣3，则1＜﹣＜e，且f（﹣）＝﹣3，
则a＝﹣e2．
（2）不等式f（x）≤x恒成立，则ax+lnx≤x恒成立，
a≤1﹣，
令g（x）＝1﹣，（x＞0）
，
在（0，e）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
在（e，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（e）＝1﹣，
所以a≤1﹣．
22.【解答】解：（1）由双曲线C过点，且其离心率为．
∴﹣＝1，＝，c2＝a2+b2，
联立解得：a2＝＝b2，c＝1．
∴双曲线C的标准方程为：2x2﹣2y2＝1．
由c＝1，可得＝1，解得p＝2．
∴抛物线的标准方程为：y2＝4x．
（2）①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为：x＝1．此时A（1，2），B（1，﹣2）．
⊙M的方程为：（x﹣1）2+y2＝4．
可得P（0，），Q（0，﹣）．∠PMQ＝．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），
由题意可得：k≠0．联立，化为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝1．
xM＝＝，
∴|AB|＝x1+x2+2＝．
设⊙M的半径为r，则r＝＝．
过点M作MN⊥PQ，垂足为N．
在Rt△PMN中，cos∠PMN＝＝＝＝+∈．
∴∠PMN∈（0，），则∠PMQ∈（0，）．
综上可得：∠PMQ的最大值为．
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