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真题分类汇编
2020年高考数学(理)总复习:利用导数解决函数零点问题(解析版,Word版)
文档属性
名称
2020年高考数学(理)总复习:利用导数解决函数零点问题(解析版,Word版)
格式
zip
文件大小
126.8KB
资源类型
教案
版本资源
通用版
科目
数学
更新时间
2020-01-07 13:21:41
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文档简介
2020年高考数学(理)总复习:利用导数解决函数零点问题
题型一 利用导数讨论函数零点的个数
【题型要点解析】
对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是:
(1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;
(2)求导数,得单调区间和极值点;
(3)画出函数草图;
(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.1.已知f(x)=ax3-3x2+1(a>0),定义h(x)=max{f(x),g(x)}=
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若g(x)=xf′(x),且存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),求实数a的取值范围;
(3)若g(x)=ln x,试讨论函数h(x)(x>0)的零点个数.
【解】 (1)∵函数f(x)=ax3-3x2+1,∴f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),令f′(x)=0,得x1=0或x2=,∵a>0,∴x1
x (-∞,0) 0
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f(x)的极大值为f(0)=1,极小值为f=-+1=1-.
(2)g(x)=xf′(x)=3ax3-6x2,∵存在x∈[1,2],使h(x)=f(x),
∴f(x)≥g(x)在x∈[1,2]上有解,即ax3-3x2+1≥3ax3-6x2在x∈[1,2]上有解,
即不等式2a≤+在x∈[1,2]上有解.
设y=+=(x∈[1,2]),
∵y′=<0对x∈[1,2]恒成立,
∴y=+在x∈[1,2]上单调递减,
∴当x=1时,y=+的最大值为4,
∴2a≤4,即a≤2.
(3)由(1)知,f(x)在(0,+∞)上的最小值为f=1-,
①当1->0,即a>2时,f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上无零点.
②当1-=0,即a=2时,f(x)min=f(1)=0.
又g(1)=0,∴h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上有一个零点.
③当1-<0,即0
设φ(x)=f(x)-g(x)=ax3-3x2+1-ln x(0
∵φ′(x)=3ax2-6x-<6x(x-1)-<0,
∴φ(x)在(0,1)上单调递减.
又φ(1)=a-2<0,φ=+>0,
∴存在唯一的x0∈,使得φ(x0)=0,
(ⅰ)当0
∴h(x)=f(x)且h(x)为减函数.
又h(x0)=f(x0)=g(x0)=ln x0
f(0)=1>0,∴h(x)在(0,x0)上有一个零点;
(ⅱ)当x>x0时,∵φ(x)=f(x)-g(x)<φ(x0)=0,
∴h(x)=g(x)且h(x)为增函数,
∵g(1)=0,∴h(x)在(x0,+∞)上有一零点;
从而h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上有两个零点,综上所述,当0
当a=2时,h(x)有一个零点;
当a>2时,h(x)无零点.
题组训练一 利用导数讨论函数零点的个数
已知函数f(x)=lnx-ax+a-2,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a<0时,试判断g(x)=xf(x)+2的零点个数.
【解析】 (1)f′(x)=-=(x>0).
若a≤0,则f′(x)>0,∴函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
若a>0,当0
0,函数f(x)单调递增,当x>时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
综上,若a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
若a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)g(x)=xlnx-ax2+ax-2x+2,g′(x)=-ax+lnx+a-1.
又a<0,易知g′(x)在(0,+∞)上单调递增,
g′(1)=-1<0,g′(e)=-ae+a=a(1-e)>0,
故而g′(x)在(1,e)上存在唯一的零点x0,
使得g′(x0)=0.
当0
x0时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
取x1=ea,又a<0,∴0
∴g(x1)=x1
=ea,
设h(a)=a-aea+a-2+,(a<0),
h′(a)=-aea-ea-+2,(a<0),
h′(0)=-,h″(a)=e-a-ea+e-a-aea>0,
∴h′(a)在(-∞,0)上单调递增,h′(a)
∴h(a)在(-∞,0)上单调递减,∴h(a)>h(0)=0,
∴g(x1)>0,即当a<0时,g(ea)>0.
当x趋于+∞时,g(x)趋于+∞,且g(2)=2ln2-2<0.
∴函数g(x)在(0,+∞)上始终有两个零点.
题型二 由函数零点个数求参数的取值范围
【题型要点解析】
研究方程的根(或函数零点)的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况,这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.
已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(e2,f(e2))处的切线与直线2x+y=0垂直(其中e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的解析式及单调减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-无零点,求k的取值范围.
【解析】 (1)函数f(x)=的导数为f′(x)=,又由题意有:f′(e2)=?=?m=2,故f(x)=.
此时f′(x)=,由f′(x)≤0?0
(2)g(x)=f(x)-?g(x)=x,且定义域为(0,1)∪(1,+∞),要函数g(x)无零点,即要=在x∈(0,1)∪(1,+∞)内无解,亦即要klnx-=0在x∈(0,1)∪(1,+∞)内无解.
构造函数h(x)=klnx-?h′(x)=.
①当k≤0时,h′(x)<0在x∈(0,1)∪(1,+∞)内恒成立,所以函数h(x)在(0,1)内单调递减,h(x)在(1,+∞)内也单调递减.
又h(1)=0,所以在(0,1)内无零点,在(1,+∞)内也无零点,故满足条件;
②当k>0时,h′(x)=?h′(x)=,
(i)若0
又h(1)=0,所以在(0,1)内无零点;
易知h<0,而h(e)=k·-2+>0,故在内有一个零点,所以不满足条件;
(ii)若k=2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
又h(1)=0,所以x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)>0恒成立,故无零点,满足条件;
(iii)若k>2,则函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内单调递增,又h(1)=0,所以在及(1,+∞)内均无零点.
又易知h<0,而h(e-k)=k(-k)-2+2ek=2ek-k2-2,又易证当k>2时,h(e-k)>0,
所以函数h(x)在内有一零点,故不满足条件.
综上可得:k的取值范围为:k≤0或k=2.
题组训练二 由函数零点个数求参数的取值范围
已知函数f(x)=ln x-ax(ax+1),其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在(0,1]内至少有1个零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)依题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=-2a2x-a
==,
当a=0时,f(x)=ln x,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,由f′(x)>0,得0
由f′(x)<0,得x>,函数f(x)上单调递增,
在上单调递减.
当a<0时,由f′(x)>0,得0
由f′(x)<0,得x>-,
函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)当a=0时,函数f(x)在内有1个零点x0=1;
当a>0时,由(1)知函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
①若≥1,即0
②若0<<1,即当a>时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,要使函数f(x)在(0,1]内至少有1个零点,只需满足f≥0,即ln ≥,
又∵a>,∴ln <0,∴不等式不成立.
∴f(x)在(0,1]内无零点;
当a<0时,由(1)知函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
③若-≥1,即-1≤a<0时,f(x)在(0,1]上单调递增,由于当x→0时,f(x)→-∞,且f(1)=-a2-a>0,知函数f(x)在(0,1]内有1个零点;
④若0<-<1,即a<-1时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,由于当x→0时,f(x)→-∞,且当a<-1时,f=ln <0,知函数f(x)在(0,1]内无零点.
综上可得a的取值范围是[-1,0].
题型三 利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解
【题型要点解析】
证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:
(1)在该区间上构造与方程相应的函数;
(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性;
(3)判断该函数在该区间端点处的函数值的符号;
(4)作出结论.
已知函数f(x)=(x2-2x)ln x+ax2+2.
(1)当a=-1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,设函数g(x)=f(x)-x-2,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2
【解析】 (1)当a=-1时,f(x)=(x2-2x)ln x-x2+2,定义域为(0,+∞),∵f′(x)=(2x-2)ln x+x-2-2x=(2x-2)lnx-x-2.
∴f′(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1))处的切线方程3x+y-4=0.
(2)令g(x)=f(x)-x-2=0,则(x2-2x)ln x+ax2+2=x+2,即a=,
令h(x)=,
则h′(x)=--+=.
令t(x)=1-x-2ln x,t′(x)=-1-=,
∵t′(x)<0,t(x)在(0,+∞)上是减函数,
又∵t(1)=h′(1)=0,所以当0
0,
当x>1时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,
在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)max=h(1)=1.
因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.
g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x,若e-2
g′(x)=(x-1)(3+2ln x),
令g′(x)=0得x=1,或x=e-,又∵e-2
∴函数g(x)在(e-2,e-)上单调递增,
在(e-,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,
又g(e-)=-e-3+2e-,g(e)=2e2-3e,
∵g(e-)
=-e-3+2e-<2e-<2e<2e=g(e),
即g(e-)
∴m≥2e2-3e.
题组训练三 利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解
已知y=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,t∈R.
(1)当x为常数时,t在区间变化时,求y 的最小值φ(x);
(2)证明:对任意的t∈(0,+∞),总存在x0∈(0,1),使得y=0.
【解析】 (1)当x为常数时,设f(t)=4x3+3tx2-6t2x+t-1=-6xt2+(3x2+1)t+4x3-1,f′(t)=-12xt+3x2+1.
①当x≤0时,由t∈知f(t)>0,f(t)在上递增,其最小值φ(x)=f(0)=4x3-1;
②当x>0时,f(t)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线;t=-=,若
即≤x≤1,则f(t)在上的最小值为
φ(x)=f=4x3+2x2-x-.
若即0
1,
则f(t)在上的最小值为φ(x)=f(0)=4x3-1.
综合①②,得φ(x)=
(2)证明:设g(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,
则g′(x)=12x2+6tx-6t2=12(x+t)
由t∈(0,+∞),当x在区间(0,+∞)内变化时,g′(x),g(x)取值的变化情况如下表:
x
g′(x) - 0 +
g(x) 单调递减 极小值 单调递增
①当≥1,即t≥2时,g(x)在区间(0,1)内单调递减,g(0)=t-1>0,
g(1)=-6t2+4t+3
=-2t(3t-2)+3≤-4(3-2)+3<0.
所以对任意t∈[2,+∞),g(x)在区间(0,1)内均存在零点,即存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0.
②当0<<1,即0
0,所以g(x)在内存在零点;
若t∈(1,2),则g(0)=t-1>0,g=-t3+t-1<-×13+2-1<0,所以g(x)在内存在零点.
所以,对任意t∈(0,2),g(x)在区间(0,1)内均存在零点,即存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0,
综合①②,对任意的t∈(0,+∞),总存在x0∈(0,1),使得y=0.
【专题训练】
1.已知函数f(x)=+ax,x>1.
(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)若a=2,求函数f(x)的极小值;
(3)若方程(2x-m)ln x+x=0,在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
[解析] (1)f′(x)=+a,由题意可得f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,∴a≤-=-.∵x∈(1,+∞),∴ln x∈(0,+∞),
∴当-=0时,函数t=-的最小值为-,∴a≤-.
故实数a的取值范围为
(2)当a=2时,f(x)=+2x,
f′(x)=,
令f′(x)=0,得2ln2x+ln x-1=0,
解得ln x=或ln x=-1(舍),即x=e.
当1
e时,f′(x)>0,
∴f(x)的极小值为f(e)=+2e=4e.
(3)将方程(2x-m)ln x+x=0两边同除以ln x得(2x-m)+=0,整理得+2x=m,
即函数g(x)=+2x的图象与函数y=m的图象在(1,e]上有两个不同的交点.
由(2)可知,g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,e]上单调递增,g(e)=4e,g(e)=3e,在(1,e]上,当x→1时,→+∞,∴4e
故实数m的取值范围为(4e,3e].
2.已知f(x)=2xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)如果函数g(x)的单调递减区间为,求函数g(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数y=g(x)的图象在点P(-1,g(-1))处的切线方程;
(3)已知不等式f(x)≤g′(x)+2恒成立,若方程aea-m=0恰有两个不等实根,求m的取值范围.
【解】 (1)g′(x)=3x2+2ax-1,由题意知,3x2+2ax-1<0的解集为,
即3x2+2ax-1=0的两根分别是-,1,
代入得a=-1,∴g(x)=x3-x2-x+2.
(2)由(1)知,g(-1)=1,∴g′(x)=3x2-2x-1,
g′(-1)=4,∴点P(-1,1)处的切线斜率k=g′(-1)=4,∴函数y=g(x)的图象在点P(-1,1)处的切线方程为y-1=4(x+1),即4x-y+5=0.
(3)由题意知,2xln x≤3x2+2ax+1对x∈(0,+∞)恒成立,可得a≥ln x-x-对x∈(0,+∞)恒成立.
设h(x)=ln x-x-,
则h′(x)=-+=-,
令h′(x)=0,得x=1,x=-(舍),
当0
0;当x>1时,h′(x)<0,
∴当x=1时,h(x)取得最大值,h(x)max=h(1)=-2,
∴a≥-2.
令φ(a)=aea,则φ′(a)=ea+aea=ea(a+1),
∴φ(a)在[-2,-1]上单调递减,
在(-1,+∞)上单调递增,∵φ(-2)=-2e-2=-,
φ(-1)=-e-1=-,当a→+∞时,φ(a)→+∞,
∴方程aea-m=0恰有两个不等实根,只需-
3.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;
(3)求证:a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
【解析】 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f′(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.
(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,
所以f′(x)=3x2+8x+4.
令f′(x)=0,得3x2+8x+4=0,
解得x=-2或x=-.
f(x)与f′(x)在区间(-∞,+∞)上的情况如下:
x (-∞,-2) -2 -
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) c c-
所以,当c>0且c-<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.
由f(x)的单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.
(3)证明:当Δ=4a2-12b<0时,f′(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞),此时函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点.
当Δ=4a2-12b=0时,f′(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.
当x∈(-∞,x0)时,f′(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在的区间(x0,+∞)上单调递增.
所以f(x)不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.
故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.
当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.
因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
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2020年高考数学(理)总复习:利用导数解决函数零点问题
题型一 利用导数讨论函数零点的个数
【题型要点解析】
对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是:
(1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;
(2)求导数,得单调区间和极值点;
(3)画出函数草图;
(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.1.已知f(x)=ax3-3x2+1(a>0),定义h(x)=max{f(x),g(x)}=
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若g(x)=xf′(x),且存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),求实数a的取值范围;
(3)若g(x)=ln x,试讨论函数h(x)(x>0)的零点个数.
题组训练一 利用导数讨论函数零点的个数
已知函数f(x)=lnx-ax+a-2,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a<0时,试判断g(x)=xf(x)+2的零点个数.
题型二 由函数零点个数求参数的取值范围
【题型要点解析】
研究方程的根(或函数零点)的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况,这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.
已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(e2,f(e2))处的切线与直线2x+y=0垂直(其中e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的解析式及单调减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-无零点,求k的取值范围.
题组训练二 由函数零点个数求参数的取值范围
已知函数f(x)=ln x-ax(ax+1),其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在(0,1]内至少有1个零点,求实数a的取值范围.
题型三 利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解
【题型要点解析】
证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:
(1)在该区间上构造与方程相应的函数;
(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性;
(3)判断该函数在该区间端点处的函数值的符号;
(4)作出结论.
已知函数f(x)=(x2-2x)ln x+ax2+2.
(1)当a=-1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,设函数g(x)=f(x)-x-2,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2
题组训练三 利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解
已知y=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,t∈R.
(1)当x为常数时,t在区间变化时,求y 的最小值φ(x);
(2)证明:对任意的t∈(0,+∞),总存在x0∈(0,1),使得y=0.
【专题训练】
1.已知函数f(x)=+ax,x>1.
(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)若a=2,求函数f(x)的极小值;
(3)若方程(2x-m)ln x+x=0,在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
2.已知f(x)=2xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)如果函数g(x)的单调递减区间为,求函数g(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数y=g(x)的图象在点P(-1,g(-1))处的切线方程;
(3)已知不等式f(x)≤g′(x)+2恒成立,若方程aea-m=0恰有两个不等实根,求m的取值范围.
3.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;
(3)求证:a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
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