2019-2020学年江西省吉安市四校高二（上）期中数学试卷（文科） word版试卷及答案 解析版

2019-2020学年高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．90°
2．已知直线l：y+m（x+1）＝0与直线my﹣（2m+1）x＝1平行，则直线l在x轴上的截距是（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣2
3．下列说法正确的是（　　）
A．命题“?x＞0，sinx≤x”的否定是“?x≤0，sinx＞x
B．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题是真命题
C．两平行线2x+2y﹣1＝0与2x+2y﹣3＝0之间的距离为
D．直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay﹣2＝0，l1⊥l2的充要条件是a＝±1
4．已知命题p：?x∈R，；命题q：?x0∈R，sinx0＞1，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．￢p∧￢q B．p∧￢q C．￢p∧q D．p∧q
5．直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点（﹣2，3），则直线l的方程为（　　）
A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+5＝0 D．x﹣y﹣5＝0
6．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，m∥β，则α∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．设F1，F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，过点F1，F2作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为（　　）
A． B． C． D．
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）

A．2+ B．4+ C．2+2 D．5
9．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．8 D．9
10．当曲线y＝﹣与直线kx﹣y+2k﹣4＝0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（，] C．（，1] D．（，+∞）
11．直线与圆O：x2+y2＝4交于A、B两点，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
12．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，，PA＝PD＝AD＝3，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（　　）
A．20π B．18π C．16π D．12π
二、填空题（每大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为　 　．
14．一个圆锥的表面积为πa（cm2），且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为　 　．
15．已知P：A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}，q：B＝{x|x﹣a≤0}，若p是q的必要不充分条件，则实数{x|x﹣a≤0}的取值范围为　 　．
16．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为　 　．
三、解答题
17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，点M是棱PC上的一点，且AM⊥PB．
（Ⅰ）求三棱锥C﹣PBD的体积；
（Ⅱ）证明：AM⊥平面PBD．

19．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若，求实数k的值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，E，F，G分别是AB，PB，CD的中点．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求证：GF∥平面PAD；
（3）求点G到平面PAB的距离．

21．如图（1）在四边形PBCD中，BC∥PD，AB⊥PD，PA＝6，AB＝BC＝4，AD＝8，沿AB把三角形PAB折起，使P，D两点的距离为10，得到如图（2）所示图形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若点E是PD的中点，求三棱锥A﹣PCE的体积．
22．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率是，A1，A2分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2．直线l过点D（1，0）且与椭圆E交于P，Q两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求△OPQ面积的最大值；
（3）设直线A1P与直线QA2交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程．





参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．90°
解：直线l：x+y﹣3＝0，
可得y＝3﹣x，
即有直线的斜率为k＝﹣，
设倾斜角为α，
即有tanα＝﹣，
由α为钝角，可得α＝120°，
故选：C．
2．已知直线l：y+m（x+1）＝0与直线my﹣（2m+1）x＝1平行，则直线l在x轴上的截距是（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣2
解：化直线的方程为一般式可得
l：mx+y+m＝0，（2m+1）x﹣my＝1＝0，
由直线平行可得（2m+1）＝﹣m2，
解得m＝﹣1，
经验证当m＝﹣1时，满足两直线平行，
∴直线l：y﹣x﹣1＝0，
令y＝0可得x＝﹣1，
∴直线l在x轴上的截距为：﹣1
故选：C．
3．下列说法正确的是（　　）
A．命题“?x＞0，sinx≤x”的否定是“?x≤0，sinx＞x
B．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题是真命题
C．两平行线2x+2y﹣1＝0与2x+2y﹣3＝0之间的距离为
D．直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay﹣2＝0，l1⊥l2的充要条件是a＝±1
解：命题“?x＞0，sinx≤x”的否定是“?x＞0，sinx＞x，所以A错误；
命题“若x≠y，则sinx≠siny”为假命题，故其逆否命题为假命题，所以B错误；
两平行线2x+2y﹣1＝0与2x+2y﹣3＝0之间的距离为：＝，所以C正确；
直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay﹣2＝0，l1⊥l2的充要条件是a＝0，故D不正确；
故选：C．
4．已知命题p：?x∈R，；命题q：?x0∈R，sinx0＞1，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．￢p∧￢q B．p∧￢q C．￢p∧q D．p∧q
解：∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，
∴log2（x2+2x+3）≥log22＝1，
即命题p是假命题，
∵?x∈R，﹣1≤sinx≤1，∴命题q是假命题，
则￢p∧￢q是真命题，其余为假命题，
故选：A．
5．直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点（﹣2，3），则直线l的方程为（　　）
A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+5＝0 D．x﹣y﹣5＝0
解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为C（﹣1，2）．
∵弦AB的中点D（﹣2，3），
∴kCD＝＝﹣1，
∴直线l的斜率为1，
∴直线l的方程为y﹣3＝x+2，即x﹣y+5＝0．
故选：C．
6．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，m∥β，则α∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解：①若n∥α，经过n的平面与α交于a，根据线面平行的性质定理，可得n∥a，m⊥α，则m⊥a，∴m⊥n，正确；
②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，由m⊥α，可得m⊥γ，正确；
③若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故不正确；
故选：A．
7．设F1，F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，过点F1，F2作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为（　　）
A． B． C． D．
解：F1，F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，过点F1，F2作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，所以（c，c）是椭圆上的点，可得：，
即，
a2c2﹣c4+a2c2＝a4﹣a2c2，
可得e4﹣3e2+1＝0．解得e＝＝．
故选：B．
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）

A．2+ B．4+ C．2+2 D．5
解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC＝AB，E为BC中点，
EA＝2，EC＝EB＝1，OA＝1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC＝，OE＝
∴S△ABC＝2×2＝2，S△OAC＝S△OAB＝×1＝．
S△BCO＝2×＝．
故该三棱锥的表面积是2，
故选：C．

9．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．8 D．9
解：由实数x，y满足，画出可行域如图：
目标函数z＝2x+y可化为：y＝﹣2x+z，
得到一簇斜率为﹣2，截距为z的平行线，
要求z的最大值，须满足截距最大，
∴当目标函数过点A时截距最大，
又，∴x＝2，y＝4，
∴点A的坐标为（2，4），
∴z的最大值为：2×2+4＝8；
故选：C．

10．当曲线y＝﹣与直线kx﹣y+2k﹣4＝0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（，] C．（，1] D．（，+∞）
解：如图，曲线y＝﹣是以O（0，0）为圆心，以2为半径的下半圆，
直线kx﹣y+2k﹣4＝0过定点D（﹣2，﹣4），
A（﹣2，0），B（2，0），kBD＝＝1，
设直线kx﹣y+2k﹣4＝0与圆相切时，
圆心O（0，0）到直线的距离：
d＝＝2，解得k＝，
结合图形得当曲线y＝﹣与直线kx﹣y+2k﹣4＝0有两个相异的交点时，
实数k的取值范围是（，1]．
故选：C．

11．直线与圆O：x2+y2＝4交于A、B两点，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
解：圆O：x2+y2＝4的圆心是（0，0），由此知圆心到直线的距离是＝＜2
所以直线与圆相交
故AB＝2＝2＝r，所以∠AOB＝
所以＝2×2×cos＝2
故选：A．
12．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，，PA＝PD＝AD＝3，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（　　）
A．20π B．18π C．16π D．12π
解：由题意，由平面PAD⊥平面ABCD，，PA＝PD＝AD＝3，
∴底面ABCD矩形外接圆半径r＝．
四棱锥P﹣ABCD的高为：．
球心与圆心的距离为d，构造直角三角形，
即d2+r2＝R2，，
解得：R2＝5
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝20π．
故选：A．
二、填空题（每大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为　　．
解：在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰，下底AB＝3，
∴高DE＝1，
根据斜二测画法的规则可知，A'B'＝AB＝3，D'C'＝DC＝1，O'D'＝，
直观图中的高D'F＝O'D'sin45°═，
∴直观图A′B′C′D′的面积为，
故答案为：；

14．一个圆锥的表面积为πa（cm2），且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为　cm　．
解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l，
则由πl＝2πr，解得l＝2r；
又圆锥的表面积为S＝πr2+πr?2r＝3πr2＝πa，
解得r2＝，所以r＝．
故答案为：cm．
15．已知P：A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}，q：B＝{x|x﹣a≤0}，若p是q的必要不充分条件，则实数{x|x﹣a≤0}的取值范围为　（﹣∞，1）　．
解：∵P：A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}；
∴P：{x|x＜1或x＞2}；
∵q：B＝{x|x﹣a≤0}；
∴q：{x|x≤a}；
又∵p是q的必要不充分条件；
∴a＜1；
故a的取值范围为：（﹣∞，1）．
16．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为　x﹣2＝0或3x﹣4y+10＝0　．
解：设过点（2，4）的直线l的方程为y＝k（x﹣2）+4，
圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5＝0的圆心C（1，2），半径r＝＝，
圆心C（1，2）到直线l的距离d＝＝，
∵过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为6，
∴由勾股定理得：，即，
解得k＝，∴直线l的方程为y＝（x﹣2）+4，即3x﹣4y+10＝0，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，
圆心C（1，2）到直线x＝2的距离d＝1，
满足，故x﹣2＝0是直线l的方程．
综上，直线l的方程为x﹣2＝0或3x﹣4y+10＝0．
故答案为：x﹣2＝0或3x﹣4y+10＝0．
三、解答题
17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
解：若p真：则△＝a2﹣4×4≥0
∴a≤﹣4或a≥4
若q真：，
∴a≥﹣12
由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假
当p真q假时：a＜﹣12；当p假q真时：﹣4＜a＜4
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，点M是棱PC上的一点，且AM⊥PB．
（Ⅰ）求三棱锥C﹣PBD的体积；
（Ⅱ）证明：AM⊥平面PBD．

解：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD，PA＝1，即三棱锥P﹣BCD的高为PA＝1，，…2分
所以，三棱锥C﹣PBD的体积VC﹣PBD＝VP﹣BCD，…4分
＝AP?S△BCD＝…6分
（Ⅱ）由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，…7分
设AC，BD的交点为O，
由正方形知，BD⊥AC，…8分
所以，BD⊥平面PAC，…9分
从而，BD⊥AM…10分
又AM⊥PB，所以，AM⊥平面PBD…12分
19．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若，求实数k的值．
解：（I）设圆C（a，a）半径r．因为圆经过A（﹣2，0），B（0，2）
所以：|AC|＝|BC|＝r，解得a＝0，r＝2，
所以C的方程x2+y2＝4．
（II）方法一：
因为，，
所以，，∠POQ＝120°，
所以圆心到直l：kx﹣y+1＝0的距离d＝1，，所以 k＝0．
方法二：P（x1，y1），Q（x2，y2），因，代入消元（1+k2）x2+2kx﹣3＝0．
由题意得△＝4k2﹣4（1+k2）（﹣3）＞0且和
因为，
又y1?y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，
所以，
化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）＝0，
所以：k2＝0即k＝0．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，E，F，G分别是AB，PB，CD的中点．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求证：GF∥平面PAD；
（3）求点G到平面PAB的距离．

【解答】（1）证明：如图，连接AC，BD，
因为PD⊥面ABCD，且AC?平面ABCD，
所以AC⊥PD，
又因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，
又PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，
所以AC⊥平面PBD，
又PB?平面PBD，
所以AC⊥PB；
（2）证明：如图取PA中点H，连接FH，HD，
因为F为PB中点，
所以HF∥AB，且HF＝AB，
又因为四边形ABCD为菱形，且G为CD中点，
所以DG∥AB，且DG＝AB，
所以HF∥DG，且HF＝DG，
所以四边形HDGF为平行四边形，
所以GF∥HD，
因为GF?平面PAD，HD?平面PAD，
所以GF∥平面PAD，
（3）解：设G到平面PAB的距离为h，
因为DC∥AB，DC?平面PAB，AB?平面PAB，
所以DC∥平面PAB，
所以VG﹣PAB＝VD﹣PAB＝VP﹣ABD，
所以＝，
所以h＝，
所以G到平面PAB的距离为．

21．如图（1）在四边形PBCD中，BC∥PD，AB⊥PD，PA＝6，AB＝BC＝4，AD＝8，沿AB把三角形PAB折起，使P，D两点的距离为10，得到如图（2）所示图形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若点E是PD的中点，求三棱锥A﹣PCE的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）由已知在图（2）中，PA＝6，AD＝8，PD＝10，
∴PA2+AD2＝PD2，∴PA⊥AD，
∵PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AB＝BC＝4，AD＝8，
∴由平面几何知识得AC＝CD＝4，
∴AC2+CD2＝AD2，∴AC⊥CD，
∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，且平面PAD与平面ABCD的交线为AD，
∴AB⊥平面PAD，
又∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，
∴三棱锥A﹣PCE的体积：
VA﹣PCE＝VC﹣PAE＝VC﹣PAE＝×4＝16．

22．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率是，A1，A2分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2．直线l过点D（1，0）且与椭圆E交于P，Q两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求△OPQ面积的最大值；
（3）设直线A1P与直线QA2交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程．

解：由题意知e＝＝＝，
∴＝，即a＝2b，
∵△A1BA2的面积为2，
∴ab＝2，
解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，
（2）PQ斜率不存在时，易知P（1，），Q（1，﹣），此时S△OPQ＝，
当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
将y＝k（x﹣1）代入+y2＝1，整理可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝，
∴S△OPQ＝×1×|y1﹣y2|＝?|x1﹣x2|＝，
令1+4k2＝t，t＞1，
∴S△OPQ＝＝＜，
故△OPQ面积的最大值
证明（3）PQ斜率不存在时，易知N（4，），
当直线PQ的斜率存在时，直线A1P的方程为y＝（x+2），直线A2Q的方程为y＝（x﹣2），
∴（x+2）＝（x﹣2），
∴＝＝＝＝＝，
解得x＝4，即N点的横坐标为4，
综上所述，点N在定直线x＝4上．