2019-2020学年上学期高二数学寒假自主先学1 正弦定理 学生版（Word版）

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1．了解正弦定理的推导过程（重点）．
2．运用正弦定理解三角形（重点）．


图片：教材截图










1．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即．

2．正弦定理的推广及其变形
①正弦定理的推广：设外接圆的半径为，则．
这样结论对任意三角形都成立．
②正弦定理的常见变形
边化角公式
角化边公式
变式1
变式2
变式3

3．正弦定理的推导
分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况进行推导:
①当为直角三角形时，如下图所示，

有，所以．
又因为，所以有．
②当为锐角三角形时，如下图，

设边上的高是，根据三角函数的定义，，，
所以，得到，
同理可证，即．
当是钝角三角形(如下图)时，

设为钝角，边上的高为．
∵，∴，
∴，且，
∴，即，同理．
综上可知，，对于任意三角形，均有，此即为正弦定理．

4．三角形解的讨论
一般地，已知三角形的两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类问题时将出现误解、一解和两解三种情况下，下面以已知和．用正弦定理求解三角形出现的各种情况为例进行说明．已知，求(若确定，则与c可确定)．
（1）从代数角度有:，
①当时，不存在，使，所以无解．
②当时，即时，有，当时有解，当时，无解．
③当时，先求出在内满足的两解(不妨设)，再看是否小于，若小于，则有两解；若，则无解;若且，则有一解．
（2）从几何角度有：
①为锐角时，若，无解，如图（1）；
若，一解，如图（2）；
若，两解，如图（3）；
若，一解，如图（4）．
②为直角或钝角时，若，无解，如图（5）；若，一解，如图（6）．

规律总结我们把上述的各种情况归纳成下表：




1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．中，角所对的边分别为，已知，，，
则（ ）
A． B． C．或 D．或



1．的内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A．，由所以不存在这样的三角形．
B．，由且，所以只有一个角B．
C．中，同理也只有一个三角形．
D．中，，此时，
所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形．
所以选择D．


1．在△ABC中，，则三角形解的情况是（ ）
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解



1．在中，若角，，边长为4，则边长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知分别为的三边长，且，则（ ）
A． B． C． D．3
3．在中，，，，则角大小为（ ）
A． B． C． D．
4．的内角所对的边分别为，且，，，
则（ ）
A． B．或 C．或 D．
5．在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
6．在中，，，，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
7．在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=______．
9．已知的内角所对的边分别为，若，，则__________．
10．甲同学碰到一道缺失条件的问题:“在中，已知，试判断此三角形解的个数．"查看标准答案发现该三角形有一解．若条件中缺失边，那么根据答案可得所有可能的的取值范围是_______．







即学即练：
1．【答案】D
【解析】∵中，，∴，
∴由，得．故选D．
2．【答案】D
【解析】由题意，因为，，，
由正弦定理，可得，
又因为，则，可得，所以或．
故选D．

技能应用：
1．【答案】D
【解析】过点A作AD⊥BD，点D在∠B的一条边上，
∵，因此此三角形无解．
故选D．



先学检测：
1．【答案】C
【解析】由正弦定理，得，
即边长为，故选C．
2．【答案】B
【解析】在中，由A＝45°，C＝60°，c＝3，
由正弦定理得，故选B．
3．【答案】A
【解析】由正弦定理，得，解得，
又，，故选A．
4．【答案】B
【解析】由正弦定理得，所以，所以，
又因为，所以或，故选B．
5．【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
又因为，所以，所以或．
故选C．
6．【答案】B
【解析】由正弦定理得，得，
，，则或．
当时，由三角形的内角和定理得；
当时，由三角形的内角和定理得．
因此，或．
故选B．
7．【答案】D
【解析】对于A选项，，，此时，无解；
对于B选项，，，此时，有两解；
对于C选项，，则为最大角，由于，此时，无解；
对于D选项，，且，此时，有且只有一解．
故选D．
8．【答案】
【解析】∵A+B+C=π，A：B：C=1：2：3，∴A=30°，B=60°，C=90°，
由正弦定理可知：．
故答案为．
9．【答案】
【解析】由，得，故答案为．
10．【答案】
【解析】由题，由正弦定理可得，则，
因为三角形有一解，则或，则或，
故答案为．



先学目标

先学过程









先学检测