2019-2020学年上学期高二数学寒假自主先学2 余弦定理 学生版

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1．了解余弦定理的推导过程（重点）．
2．运用余弦定理解三角形（重点）．


图片：教材截图











1．余弦定理
三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
，
，
．
2．余弦定理的推广及其变形
，
，
．
3．余弦定理的推导
对余弦定理的推导可借助向量的数量积，如下图在中，．
又，，，即有．

4．余弦定理的应用
（1）给出三角形的三边长，可求出三个内角的余弦值．
例：在中，，，，求的余弦值．
解：，的余弦值为．
（2）给出三角形的两边长和一个角，可求出三角形的第三边的长度．
①若给出的是两边及其夹角，则直接代入公式求解．
例：在中，，，，求的长度．
解：，，
所以的长度为．
②若给出的是两边及其一边的对角，则直接代入公式，建立方程，利用方程求解．
例：在中，，，，求的长度．
解：由余弦定理有，即，令，则有，解得或（舍），
所以的长度为．


1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．中，角所对的边分别为，已知，，，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在





1．为钝角三角形，，，，为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，内角为钝角，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，已知，，，则最大角与最小角的和为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角、、的对边分别为，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知在中，，，则三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角、直角或钝角三角形都可能
6．中，角，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，、、分别为角、、的对边，它的面积为，
则角等于（ ）
A． B． C． D．
8．在中，如果，那么________．
9．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则_______．
10．中，，，则其面积的最大值为______．







即学即练：
1．【答案】B
【解析】∵中，，∴，，
∴由，得，所以．
2．【答案】C
【解析】由余弦定理，可得，
整理可得，解得，．

先学检测：
1．【答案】B
【解析】由题意，在中，，，，
由角为钝角，由余弦定理可得，
即，解得，
又由三角形的性质，可得，
所以的取值范围是．
2．【答案】A
【解析】因为，为钝角，所以，
因此由余弦定理得，
或（负值舍去），故选A．
3．【答案】B
【解析】因为，，，所以最小角与最大角的和为，
因为，，．
4．【答案】B
【解析】由余弦定理可得，
解得或，
因为，所以符合题意．
5．【答案】C
【解析】设中，的对边分别为，则，
因为，故，
即，
又，
即，故为钝角．
6．【答案】A
【解析】由，结合正弦定理有，
所以，即，
又，，由余弦定理得，
，．
7．【答案】B
【解析】由题意可知，的面积为，
即，整理得，得，
，因此，．
8．【答案】
【解析】，由正弦定理可得，
不妨设，则，
所以，．
9．【答案】4
【解析】由余弦定理可得，
即，解得．
10．【答案】
【解析】在中，，，
由余弦定理，可得，
又，当且仅当时取等号，所以有，
又，则，
故的面积的最大值为．



先学目标

先学过程





先学检测