2020年沪科新版七年级上册数学《第3章 一次方程与方程组》单元测试卷
一.选择题(共10小题)
1.若关于x的方程2x﹣(2a﹣1)x+3=0的解是x=3,则a=( )
A.1 B.0 C.2 D.3
2.下列利用等式的性质,错误的是( )
A.由a=b,得到1﹣2a=1﹣2b
B.由ac=bc,得到a=b
C.由,得到a=b
D.由a=b,得到
3.下列是一元一次方程的是( )
A.x2﹣2x﹣3=0 B.2x+y=5 C. D.x+1=0
4.如果x=﹣2是关于方程5x+2m﹣8=0的解,则m的值是( )
A.﹣1 B.1 C.9 D.﹣9
5.下列方程的变形正确的个数有( )
(1)由3+x=5,得x=5+3;
(2)由7x=﹣4,得x=﹣;
(3)由y=0得y=2;
(4)由3=x﹣2得x=﹣2﹣3.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.下列方程中,是二元一次方程的是( )
A.x﹣y2=1 B.2x﹣y=1 C. D.xy﹣1=0
7.若是方程3x+ay=1的一个解,则a的值是( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
8.方程2x+y=8的正整数解的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9.电影《刘三姐》中,秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩.罗秀才唱道:“三百条狗交给你,一少三多四下分,
不要双数要单数,看你怎样分得均?”刘三姐示意舟妹来答,舟妹唱道:“九十九条打猎去,九十九条看羊来,九十九条守门口,剩下三条财主请来当奴才.”若用数学方法解决罗秀才提出的问题,设“一少”的狗有x条,“三多”的狗有y条,则解此问题所列关系式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.一个两位数,把其十位数字与个位数字交换位置后,所得的数比原数多9,这样的两位数的个数有( )
A.0 B.1 C.8 D.9
二.填空题(共8小题)
11.在①2x﹣1;②2x+1=3x;③|π﹣3|=π﹣3;④t+1=3中,等式有 ,方程有 .(填入式子的序号)
12.若x=是方程mx﹣1=2+m的解,则m= .
13.已知x﹣3y=3,则7+6y﹣2x= .
14.若(a﹣1)x|a|+3=6是关于x的一元一次方程,则a= .
15.若方程(2m﹣6)x|n|﹣1+(n+2)=1是二元一次方程,则m= ,n= .
16.已知方程ax+by=10的两个解是,,则a= ,b= .
17.已知方程2x+y=3,用含x的代数式表示y,则y= .
18.算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具.在算筹计数法中,以“立”,“卧”两种排列方式来表示单位数目,表示多位数时,个位用立式,十位用卧式,百位用立式,千位用卧式,以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法.如图1,从左向右的符号中,前两个符号分别代表未知数x,y的系数.因此,根据此图可以列出方程:x+10y=26.请你根据图2列出方程组 .
三.解答题(共8小题)
19.已知x=﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9=0的一个解,求3k2﹣15k﹣95的值.
20.已知等式(a﹣2)x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程(即x未知),求这个方程的解.
21.当m为何值时,关于x的方程3x+m=2x+7的解比关于x的方程4(x﹣2)=3(x+m)的解大9?
22.如果x=1是方程的解,
(1)求m的值;
(2)求关于y的方程m(y﹣3)﹣2=m(2y﹣5)的解.
23.已知和都是方程y=ax+b的解,求a和b的值.
24.(开放题)是否存在整数m,使关于x的方程2x+9=2﹣(m﹣2)x在整数范围内有解,你能找到几个m的值?你能求出相应的x的解吗?
25.某兴趣小组进行活动,每个男生都头戴蓝色帽子,每个女生都头戴红色帽子.帽子戴好后,每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1,而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的.问该兴趣小组男生、女生各有多少人?
26.甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m,解得,乙解题时看错②中的n,解得,试求原方程组的解.
2020年沪科新版七年级上册数学《第3章 一次方程与方程组》单元测试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.若关于x的方程2x﹣(2a﹣1)x+3=0的解是x=3,则a=( )
A.1 B.0 C.2 D.3
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即利用方程的解代替未知数,所得到的式子左右两边相等.把x=3代入方程就可以得到了一个关于a的方程.解方程就可以求出a的值.
【解答】解:把x=3代入方程得到:6﹣3(2a﹣1)+3=0
解得:a=2.
故选:C.
【点评】本题主要考查了方程解的定义,已知条件中涉及到方程的解,把方程的解代入原方程,转化为关于字母系数的方程进行求解,可把它叫做“有解就代入”.
2.下列利用等式的性质,错误的是( )
A.由a=b,得到1﹣2a=1﹣2b
B.由ac=bc,得到a=b
C.由,得到a=b
D.由a=b,得到
【分析】根据等式的性质即可判断.
【解答】解:A、在等式a=b的两边同时乘以﹣2再加上1,等式仍成立,即1﹣2a=1﹣2b,故本选项不符合题意;
B、当c=0时,ac=bc=0,但a不一定等于b,故本选项符合题意;
C、在等式的两边同时乘以c,等式仍成立,即a=b,故本选项不符合题意;
D、在等式a=b的两边同时除以不为0的式子(c2+1),等式仍成立,即,故本选项不符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查等式的性质,注意ac=bc,且c≠0时,才能有a=b,本题属于基础题型.
3.下列是一元一次方程的是( )
A.x2﹣2x﹣3=0 B.2x+y=5 C. D.x+1=0
【分析】根据只含有一个未知数(元),且未知数的次数是1,这样的方程叫一元一次方程可得答案.
【解答】解:A、不是一元一次方程,故此选项错误;
B、不是一元一次方程,故此选项错误;
C、不是一元一次方程,故此选项错误;
D、是一元一次方程,故此选项正确;
故选:D.
【点评】此题主要考查了一元一次方程定义,关键是掌握一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.
4.如果x=﹣2是关于方程5x+2m﹣8=0的解,则m的值是( )
A.﹣1 B.1 C.9 D.﹣9
【分析】把x=﹣2代入方程得出关于m的方程,解之可得答案.
【解答】解:将x=﹣2代入5x+2m﹣8=0,得:﹣10+2m﹣8=0,
解得:m=9,
故选:C.
【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程,能得出关于m的方程是解此题的关键.
5.下列方程的变形正确的个数有( )
(1)由3+x=5,得x=5+3;
(2)由7x=﹣4,得x=﹣;
(3)由y=0得y=2;
(4)由3=x﹣2得x=﹣2﹣3.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】此题主要考查解一元一次方程的一般步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1等,移项,系数化为1的依据是等式的性质.
【解答】解:(1)由3+x=5;得x=5+3不正确,因为移项时,符号没有改变;
(2)由7x=﹣4,得x=﹣正确;
(3)由y=0得y=2不正确,系数化为1时,出现错误;
(4)由3=x﹣2得x=﹣2﹣3不正确,因为移项时,符号没有改变.
故选:A.
【点评】方程的变形包括去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1等,要注意移项时符号的变化,系数化为1时,方程两端都除以未知数的系数.
6.下列方程中,是二元一次方程的是( )
A.x﹣y2=1 B.2x﹣y=1 C. D.xy﹣1=0
【分析】根据二元一次方程的定义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程.据此逐一判断即可得.
【解答】解:A.x﹣y2=1不是二元一次方程;
B.2x﹣y=1是二元一次方程;
C.不是二元一次方程;
D.xy﹣1=0不是二元一次方程;
故选:B.
【点评】本题主要考查二元一次方程的定义,解题的关键是掌握含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程.
7.若是方程3x+ay=1的一个解,则a的值是( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
【分析】知道了方程的解,可以把这对数值代入方程,得到一个含有未知数a的一元一次方程,从而可以求出a的值.
【解答】解:把代入方程3x+ay=1得:
﹣3+2a=1,
∴a=2.
故选:C.
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程的解,解题关键是把方程的解代入原方程,使原方程转化为以系数a为未知数的方程,一组数是方程的解,那么它一定满足这个方程,利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值.
8.方程2x+y=8的正整数解的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【分析】由于二元一次方程2x+y=8中y的系数是1,可先用含x的代数式表示y,然后根据此方程的解是正整数,那么把最小的正整数x=1代入,算出对应的y的值,再把x=2代入,再算出对应的y的值,依此可以求出结果.
【解答】解:∵2x+y=8,
∴y=8﹣2x,
∵x、y都是正整数,
∴x=1时,y=6;
x=2时,y=4;
x=3时,y=2.
∴二元一次方程2x+y=8的正整数解共有3对.
故选:B.
【点评】由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解,求满足二元一次方程的正整数解,即此方程中两个未知数的值都是正整数,这是解答本题的关键.
注意最小的正整数是1.
9.电影《刘三姐》中,秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩.罗秀才唱道:“三百条狗交给你,一少三多四下分,
不要双数要单数,看你怎样分得均?”刘三姐示意舟妹来答,舟妹唱道:“九十九条打猎去,九十九条看羊来,九十九条守门口,剩下三条财主请来当奴才.”若用数学方法解决罗秀才提出的问题,设“一少”的狗有x条,“三多”的狗有y条,则解此问题所列关系式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据一少三多四下分,不要双数要单数,列出不等式组解答即可.
【解答】解:设“一少”的狗有x条,“三多”的狗有y条,可得:,
故选:B.
【点评】此题考查二元一次方程的应用,关键是根据一少三多四下分,不要双数要单数列出不等式组.
10.一个两位数,把其十位数字与个位数字交换位置后,所得的数比原数多9,这样的两位数的个数有( )
A.0 B.1 C.8 D.9
【分析】等量关系为:新两位数﹣原两位数=9,把相关数值代入求小于10的自然数解即可.
【解答】解:设原两位数的十位数字为x,个位数字为y,
(10y+x)﹣(10x+y)=9,
9y﹣9x=9,
y﹣x=1
即y=x+1(原两位数的个位数字y比十位数字x要大1,)
∴这样的两位数为12,23,34,45,56,67,78,89共8个,
故选:C.
【点评】考查二元一次方程的应用,得到新数和原数的等量关系是解决本题的关键.
二.填空题(共8小题)
11.在①2x﹣1;②2x+1=3x;③|π﹣3|=π﹣3;④t+1=3中,等式有 ②③④ ,方程有 ②④ .(填入式子的序号)
【分析】方程是含有未知数的等式,因而方程是等式,等式不一定是方程,只是含有未知数的等式是方程.
【解答】解:等式有②③④,方程有②④.
故答案为:②③④,②④.
【点评】本题考查了方程的定义,方程与等式的关系,是一个考查概念的基本题目.
12.若x=是方程mx﹣1=2+m的解,则m= ﹣6 .
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即利用方程的解代替未知数,所得到的式子左右两边相等.把x=代入方程,就得到关于m的方程,就可求出m的值.
【解答】解:把x=代入方程得: m﹣1=2+m
解得:m=﹣6.
故填﹣6.
【点评】本题主要考查了方程解的定义,已知x=是方程的解实际就是得到了一个关于m的方程.
13.已知x﹣3y=3,则7+6y﹣2x= 1 .
【分析】根据等式的性质,可得6y﹣2x的值,再根据有理数的加法,可得答案.
【解答】解:x﹣3y=3,
方程两边都乘以﹣2,得
6y﹣2x=﹣6,方程两边都加7,得
7+6y﹣2x=﹣6+7=1,
故答案为:1.
【点评】本题考查了等式的性质,利用了等式的性质.
14.若(a﹣1)x|a|+3=6是关于x的一元一次方程,则a= ﹣1 .
【分析】根据一元一次方程的特点求出a的值.只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0),高于一次的项系数是0.
【解答】解:由一元一次方程的特点得,
解得:a=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式,只含有一个未知数,未知数的指数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.
15.若方程(2m﹣6)x|n|﹣1+(n+2)=1是二元一次方程,则m= ﹣3 ,n= 2 .
【分析】根据二元一次方程的定义即可得出x,y的次数和系数,进而得出答案.
【解答】解:由题意得:
2m﹣6≠0,m2﹣8=1,
解得:m=﹣3.
|n|﹣1=1,n+2≠0,
解得:n=2.
故答案为:﹣3,2.
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义,根据定义正确把握次数与系数的关系是解题关键.
16.已知方程ax+by=10的两个解是,,则a= ﹣10 ,b= 4 .
【分析】知道了方程的解,可以把这对数值代入方程,得到两个含有未知数a,b的二元一次方程组,从而可以求出a,b的值.
【解答】解:把和分别代入方程ax+by=10,
得,
解得.
【点评】主要考查了方程的解的定义和二元一次方程组的解法.
解题关键是把方程的解代入原方程,使原方程转化为以系数a和b为未知数的方程,再求解.
17.已知方程2x+y=3,用含x的代数式表示y,则y= 3﹣2x .
【分析】把方程2x﹣y=1写成用含x的代数式表示y,需要进行移项即得.
【解答】解:移项得:
y=3﹣2x,
故答案为:y=3﹣2x.
【点评】本题考查的是方程的基本运算技能:移项、合并同类项、系数化为1等,表示谁就该把谁放到等号的左边,其它的项移到另一边.
18.算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具.在算筹计数法中,以“立”,“卧”两种排列方式来表示单位数目,表示多位数时,个位用立式,十位用卧式,百位用立式,千位用卧式,以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法.如图1,从左向右的符号中,前两个符号分别代表未知数x,y的系数.因此,根据此图可以列出方程:x+10y=26.请你根据图2列出方程组 .
【分析】由图1可得从左向右的算筹中,前两个算筹分别代表未知数x,y的系数,第三个算筹表示的两位数是方程右边的常数项:前面的表示十位,后面的表示个位,由此可得图2的表达式.
【解答】解:根据题意,图2可得方程组:
,
故答案为.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,主要培养学生的观察能力,关键是能够根据对应位置的算筹理解算筹表示的实际意义.
三.解答题(共8小题)
19.已知x=﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9=0的一个解,求3k2﹣15k﹣95的值.
【分析】将x=1代入方程求出k的值,代入所求式子中计算即可求出值.
【解答】解:将x=﹣1代入方程得:﹣8﹣4﹣k+9=0,
解得:k=﹣3,
当k=﹣3时,3k2﹣15k﹣95=27+45﹣95=﹣23.
【点评】此题考查了方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
20.已知等式(a﹣2)x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程(即x未知),求这个方程的解.
【分析】只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0).高于一次的项系数是0.据此可得出关于a的方程,继而可得出a的值.
【解答】解:由一元一次方程的特点得a﹣2=0,
解得:a=2;
故原方程可化为2x+1=0,
解得:x=.
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式,未知数的指数是1,一次项系数不是0,特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件,高于一次的项系数是0.
21.当m为何值时,关于x的方程3x+m=2x+7的解比关于x的方程4(x﹣2)=3(x+m)的解大9?
【分析】分别解两个方程求得方程的解,然后根据关于x的方程3x+m=2x+7的解比关于x的方程4(x﹣2)=3(x+m)的解大9,即可列方程求得m的值.
【解答】解:解方程3x+m=2x+7,得x=7﹣m,
解方程4(x﹣2)=3(x+m),得x=3m+8,
根据题意,得7﹣m﹣(3m+8)=9,
解得m=﹣.
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解,也考查了一元一次方程的解法.
22.如果x=1是方程的解,
(1)求m的值;
(2)求关于y的方程m(y﹣3)﹣2=m(2y﹣5)的解.
【分析】(1)将x=1代入方程即可求出m的值;
(2)将m的值代入方程计算即可求出方程的解.
【解答】解:(1)将x=1代入方程得:2﹣(m﹣1)=2,
去分母得6﹣m+1=6,即m=1;
(2)将m=1代入方程得y﹣3﹣2=2y﹣5,
移项合并得:y=0.
【点评】此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,将未知数系数化为1,求出解.
23.已知和都是方程y=ax+b的解,求a和b的值.
【分析】把两组解分别代入方程,得关于a,b的方程组,求解即可.
【解答】解:把和代入方程y=ax+b得,
,
解得a=1,b=1.
【点评】此题主要考查了二元一次方程解的定义以及解二元一次方程组的基本方法.
24.(开放题)是否存在整数m,使关于x的方程2x+9=2﹣(m﹣2)x在整数范围内有解,你能找到几个m的值?你能求出相应的x的解吗?
【分析】要求关于x的方程2x+9=2﹣(m﹣2)x在整数范围内有解,首先要解这个方程,其解x=,根据题意的要求让其为整数,故m的值只能为±1,±7.
【解答】解:存在,四组.
∵原方程可变形为﹣mx=7,
∴当m=1时,x=﹣7;
m=﹣1时,x=7;
m=7时,x=﹣1;
m=﹣7时,x=1.
【点评】此题只需把m当成字母已知数求解,然后根据条件的限制进行分析求解.
25.某兴趣小组进行活动,每个男生都头戴蓝色帽子,每个女生都头戴红色帽子.帽子戴好后,每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1,而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的.问该兴趣小组男生、女生各有多少人?
【分析】设该兴趣小组男生有x人,女生有y人,根据题意的两个等量关系得出方程组,解出即可得出答案.
【解答】解:设该兴趣小组男生有x人,女生有y人,
依题意得:,
解得:.
答:该兴趣小组男生有12人,女生有21人.
【点评】本题考查了二元一次方程的应用,属于基础题,解答本题的关键是仔细审题,得出方程组.
26.甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m,解得,乙解题时看错②中的n,解得,试求原方程组的解.
【分析】把甲的解代入②中求出n的值,把乙的解代入①中求出m的值;把m与n的值代入方程组求出解即可.
【解答】解:(1)把代入②得:7+2n=13,
解得:n=3,
把代入①得:3m﹣7=5,
解得:m=4;
把m=4,n=3代入方程组得:,
①×3+②得:14x=28,即x=2,
把x=2代入①得:y=﹣3,
则方程组的解为.
【点评】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.