2020年沪科新版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷（解析版）

2020年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上都不对
2．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（　　）

A．AC是△ABC和△ABE的高 B．DE，DC都是△BCD的高
C．DE是△DBE和△ABE的高 D．AD，CD都是△ACD的高
3．下列说法中错误的是（　　）
A．一个三角形中至少有一个角不小于60°
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线不可能在三角形外部
D．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
4．下列三条线段不能构成三角形的是（　　）
A．4cm，2cm，5cm B．3cm，3cm，4cm
C．2cm，3cm，4cm D．2cm，2cm，5cm
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
6．下列命题是假命题的为（　　）
A．如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形
B．锐角三角形的所有外角都是钝角
C．内错角相等
D．平行于同一直线的两条直线平行
7．两个角的两边分别平行，那么这两个角（　　）
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
8．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（　　）
A．1场 B．2场 C．3场 D．4场
9．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（　　）
A．901班 B．902班 C．903班 D．904班
10．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　）
A．5 B．12 C．14 D．16
二．填空题（共8小题）
11．阅读材料，并填表：
在△ABC中，有一点P1，当P1，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其它条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样

完成下表：
ABC内点的个数 1 2 3 … 1002
构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …
按表格顺序填入为　 　，　 　．
12．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为　 　cm．

13．已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是　 　．
14．一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是　 　．
15．“等边对等角”的逆命题是　 　．
16．命题“如果a2＝b2，那么a＝b．”的否命题是　 　．
17．有5名新同学，如果每两个人都握手1次，那么他们握手的总次数是　 　次．
18．如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是　 　，破译“正做数学”的真实意思是　 　．

三．解答题（共8小题）
19．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　 　个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

20．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．

21．（1）在△ABC中，BC边上的高是　 　；
（2）在△AEC中，AE边上的高是　 　；
（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．

22．如图，O是△ABC内任意一点，连接OB、OC．
（1）求证：∠BOC＞∠A；
（2）比较AB+AC与OB+OC的大小，并说明理由．

23．如图，有三个论断①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

24．请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．
25．有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米．
（1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己．
亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择．
选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分．
26．有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．



2020年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上都不对
【分析】根据非负数的性质列式求解得到a＝b＝c，然后选择答案即可．
【解答】解：根据非负数的性质，a﹣b＝0，b﹣c＝0，
解得a＝b，b＝c，
所以，a＝b＝c，
所以，△ABC是等边三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
2．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（　　）

A．AC是△ABC和△ABE的高 B．DE，DC都是△BCD的高
C．DE是△DBE和△ABE的高 D．AD，CD都是△ACD的高
【分析】三角形的高即从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
【解答】解：A、AC是△ABC和△ABE的高，正确；
B、DE，DC都是△BCD的高，正确；
C、DE不是△ABE的高，错误；
D、AD，CD都是△ACD的高，正确．
故选：C．
【点评】考查了三角形的高的概念．
3．下列说法中错误的是（　　）
A．一个三角形中至少有一个角不小于60°
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线不可能在三角形外部
D．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
【分析】分别根据三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵三角形的内角和等于180°，
∴一个三角形中至少有一个角不少于60°，故本选项正确；
B、直角三角形有三条高，故本选项错误；
C、三角形的中线一定在三角形的内部，故本选项正确；
D、三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分，故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
4．下列三条线段不能构成三角形的是（　　）
A．4cm，2cm，5cm B．3cm，3cm，4cm
C．2cm，3cm，4cm D．2cm，2cm，5cm
【分析】根据在三角形中“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析求解．
【解答】解：A、4+2＞5，4﹣2＜5，符合；
B、3+3＞4，3﹣3＜4，符合；
C、2+3＞4，3﹣2＜4，符合；
D、2+2＜5，不符合．
故选：D．
【点评】本题利用了三角形中三边的关系求解．
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状即可．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴本选项不符合题意；
B、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝90°，∴本选项不符合题意C、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝90°，∴本选项不符合题意；
D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝2∠B＝3∠C，∴3∠C+∠C+∠C＝180°，解得∠C＝，∴∠A＝3∠C＝，∴本题选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．下列命题是假命题的为（　　）
A．如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形
B．锐角三角形的所有外角都是钝角
C．内错角相等
D．平行于同一直线的两条直线平行
【分析】依据三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质进行判断即可．
【解答】解：A．如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形，是真命题；
B．锐角三角形的所有外角都是钝角，是真命题；
C．内错角相等，是假命题；
D．平行于同一直线的两条直线平行，是真命题；
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．两个角的两边分别平行，那么这两个角（　　）
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：两个角的两边分别平行，这两个角可能是同位角或同旁内角，因此相等或互补．
故选：D．
【点评】要准确把握平行线的性质，利用平行线的性质判断这两个角的关系．
8．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（　　）
A．1场 B．2场 C．3场 D．4场
【分析】根据甲参赛了5场，则甲和每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了1场，戊只和甲比赛了一场；再根据乙已经赛了4场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场．根据丁已经赛了2场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了3场，则丙和甲、乙、小强各比赛了一场．所以小强比赛了3场．
【解答】解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场．
甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；
由此可知：
甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；
乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；
丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；
丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛．
因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．
故选：C．
【点评】本题要首尾结合进行逐步推理．
9．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（　　）
A．901班 B．902班 C．903班 D．904班
【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
【解答】解：假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，
“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，
“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．
故猜测是正确的．
故选：B．
【点评】本题考查推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．
10．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　）
A．5 B．12 C．14 D．16
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
【解答】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案A错误；
B.12，
∵12是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案B错误；
C.14，
∵14是偶数，不是4的倍数，
∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是14，
故答案C正确；
D.16，
∵16是偶数，且也是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案D错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
二．填空题（共8小题）
11．阅读材料，并填表：
在△ABC中，有一点P1，当P1，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其它条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样

完成下表：
ABC内点的个数 1 2 3 … 1002
构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …
按表格顺序填入为　7　，　2005　．
【分析】当△ABC内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当△ABC内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；依此类推得到当△ABC内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1；所以当△ABC内的点的个数是1002时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2×1002+1＝2005．
【解答】解：当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1．∴按表格顺序填入为7，2005．
【点评】本题是一个根据已知条件找规律的问题．
12．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为　19　cm．

【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．
故答案为19．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
13．已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是　±4　．
【分析】根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a取正负数都符合题意．
【解答】解：由题意可得5×|OA|÷2＝10，
∴|OA|＝，
∴|OA|＝4，
∴点a的值是4或﹣4．
故答案为：±4．
【点评】需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．
14．一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是　1＜x≤12　．
【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm，
∴，
解得1＜x≤12．
故答案为：1＜x≤12．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系．
15．“等边对等角”的逆命题是　等角对等边　．
【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；
【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；
故答案为：等角对等边．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是分清原命题的题设和结论．
16．命题“如果a2＝b2，那么a＝b．”的否命题是　如果a2≠b2，那么a≠b　．
【分析】根据否命题的定义：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题．直接写出答案即可．
【解答】解：如果a2≠b2，那么a≠b．
故答案为：如果a2≠b2，那么a≠b．
【点评】此题主要考查了否命题，关键是掌握否命题的定义．
17．有5名新同学，如果每两个人都握手1次，那么他们握手的总次数是　10　次．
【分析】根据每两个人都握手1次，则每个同学参与了4次握手，但每一次握手算了2次，所以这5人握手的总次数是5×4÷2＝10次．
【解答】解：有5名同学，因此每个人握手的次数为5×4＝20次，
由于每两个人握手一次，所以它们握手的总次数为20÷2＝10次．
【点评】本题需注意每一次握手对每个人来说重复算了一次，类似于比赛类问题中的单循环赛制．
18．如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是　x+1，y+2　，破译“正做数学”的真实意思是　祝你成功　．

【分析】根据坐标中文字位置得出“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），进而得出密码钥匙，即可得出“正做数学”的真实意思．
【解答】解：∵已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．
“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），
∴找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加1，纵坐标加2，
∴“正”的位置为（4，2）对应字母位置是（5，4）即为“祝”，
“做”的位置为（5，6）对应字母位置是（6，8）即为“你”，
“数”的位置为（7，2）对应字母位置是（8，4）即为“成”，
“学”的位置为（2，4）对应字母位置是（3，6）即为“功”，
∴“正做数学”的真实意思是：祝你成功．
故答案为：x+1，y+2；祝你成功．
【点评】此题主要考查了推理论证，根据已知得出“今”对应文字位置是：（x+1，y+2）进而得出密码钥匙是解题关键．
三．解答题（共8小题）
19．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　4　个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0＝2（1﹣1）；当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2＝2（2﹣1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有2×（2006﹣1）＝4010个三角形．
【解答】解：（1）

4个；

（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；

（3）2×（2006﹣1）＝4010个．
答：当n＝2006时，最少可以画4010个三角形．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
20．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
21．（1）在△ABC中，BC边上的高是　AB　；
（2）在△AEC中，AE边上的高是　CD　；
（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．

【分析】（1）（2）三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；
（3）在△AEC中，要看作AE是底，CD是AE上的高，由面积公式计算，也可把CE看作底，AB是高，故也可求得CE的长．
【解答】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；
（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；
（3）∵AE＝3cm，CD＝2cm，
∴S△AEC＝AE?CD＝3cm2，
∵S△AEC＝AB?CE＝3cm2，
∴CE＝3cm．
故S△AEC＝3cm2，CE＝3cm．
故答案为：（1）AB；（2）CD
【点评】本题考查了三角形高线的概念及直角三角形的面积公式，关键是根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段解答．
22．如图，O是△ABC内任意一点，连接OB、OC．
（1）求证：∠BOC＞∠A；
（2）比较AB+AC与OB+OC的大小，并说明理由．

【分析】（1）延长BO交AC于点D，首先利用三角形的外角性质得到∠BOC＞∠ODC，让根据∠ODC＞∠A，证得∠BOC＞∠A；
（2）根据三角形的三边关系证得AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，从而得到AB+AD+CD＞OB+OC，进而得到AB+AC＞OB+OC．
【解答】解：（1）证明：延长BO交AC于点D，
∴∠BOC＞∠ODC，
又∠ODC＞∠A，
∴∠BOC＞∠A；

（2）AB+AC＞OB+OC，
∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，
∴AB+AD+CD＞OB+OC，
即：AB+AC＞OB+OC．

【点评】本题考出了三角形的三边关系及三角形的外角的性质，解题的关键是能够正确的构造三角形，难度不大．
23．如图，有三个论断①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】已知：∠B＝∠D，∠A＝∠C．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B＝∠BFC．
∵∠B＝∠D，
∴∠BFC＝∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN＝∠BNM．
∵∠1＝∠DMN，∠2＝∠BNM，
∴∠1＝∠2．
【点评】证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
24．请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，进而判断它的真假，再举例证明即可．
【解答】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，
是假命题，
举例证明：如图DE∥BC，
∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠A＝∠A，
但△ADE△ABC不全等．

【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
25．有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米．
（1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己．
亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择．
选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分．
【分析】（1）因为共有12人，这辆小汽车连司机在内最多能乘5人．所以当汽车首先载4位乘客时，其余乘客在原地不动，12位乘客分3批，计算所需要的时间和3小时进行比较即可；
（2）在汽车每接送一批顾客的时候，剩下的顾客也要同时往前赶，计算所需的时间和3小时进行比较即可．
【解答】解：（1）：用汽车来回送这12名旅客要分3趟，总路程为（3×2﹣1）×40＝200千米，所需的时间为200÷60＝小时＞3小时，因此单靠汽车来回送旅客无法让12名旅客全部赶上火车．
（2）：汽车送前一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，这样可以节省一点时间．
第一趟，设汽车来回共用了x小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以6x+60x＝40×2，解得x＝小时，此时，剩下8名旅客与车站的距离为40﹣×6＝千米；
第二趟，设汽车来回共用了y小时，那么6y+60y＝×2，解y＝小时，此时剩下的4名旅客与车站的距离为﹣×6＝千米；
第三趟，汽车用了÷60＝小时．
所以共需时间++≈2.6（小时），所以可以赶上．
（3）：先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名步行（此时其他8名旅客也在步行），接着汽车回来再送4名旅客（剩下4名旅客继续步行），追上前面4名旅客候也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的4名旅客到火车站．适当选取第一批旅客的下车地点使送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站．
设汽车送第一批旅客行驶x千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行了4×＝，
6×＝千米，他们之间相差了千米，在以后的时间里，由于步行旅客的速度一样，所以两批步行旅客之间始终相差x千米，而汽车要在这段距离间来回行驶两趟，每来回一趟所用时间为+＝x，而汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行40﹣x千米所用时间，即2×x＝，
解得x＝千米，故所需时间为÷60+≈2.267小时，所以可以赶上．
【点评】此题的难点在于计算第二种选择，注意在汽车所走的时间内，剩下的顾客一直在走，从而得到每一次汽车接送顾客时所走的路程．
26．有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．
【分析】可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明．
【解答】解：答案不唯一，如：数学是思维的体操，可以培养自己的逻辑思维能力、发散思维能力等．
【点评】此题为开放性试题，主要是考查学生对数学的认识．