2020年沪科新版八年级上册数学第14章全等三角形单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年沪科新版八年级上册数学第14章全等三角形单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 308.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-07 09:06:44 | ||
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文档简介
2020年沪科新版八年级上册数学《第14章 全等三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．平行四边形
2．如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
4．两个全等图形中可以不同的是（ ）
A．位置 B．长度 C．角度 D．面积
5．如图，△ABC≌△EDF，∠FED＝70°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．70° C．90° D．20°
6．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
7．如图，在①AB＝AC②AD＝AE③∠B＝∠C④BD＝CE四个条件中，能证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③②④
8．不能说明两个三角形全等的条件是（ ）
A．三边对应相等 B．两边及其夹角对应相等
C．两角及其夹边对应相等 D．三角对应相等
9．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两直角边对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．两锐角对应相等
D．一个锐角和斜边对应相等
10．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．AAS
二．填空题（共8小题）
11．如图，在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 ．
12．起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了 ．
13．能够 的两个图形叫做全等图形．
14．在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2＝ 度．
15．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝35°，则∠BAD＝ °．
16．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为 ．
17．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 秒时，△DEB与△BCA全等．
18．如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB＝ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为 ；若添加条件AC＝EC，则可以用 公理（或定理）判定全等．
三．解答题（共8小题）
19．如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
20．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M 是对应角．
（1）写出相等的线段与相等的角；
（2）若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度．
21．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
22．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AD＝EC，△ABD≌△EBC吗？为什么？
23．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．
24．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE＝DF吗？
25．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
26．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为 ．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
2020年沪科新版八年级上册数学《第14章 全等三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．平行四边形
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：正方形，三角形，长方形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性的性质．
2．如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可．
【解答】解：根据三角形的稳定性可得他至少要再钉上1根木条，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形具有稳定性，题目比较简单．
3．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．
【解答】解：
由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC，
∴∠BAC＝∠DEC，
∠1+∠2＝180°．
故选：B．
【点评】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△ABC≌△EDC．
4．两个全等图形中可以不同的是（ ）
A．位置 B．长度 C．角度 D．面积
【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．
【解答】解：两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．
故选：A．
【点评】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题的关键．
5．如图，△ABC≌△EDF，∠FED＝70°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．70° C．90° D．20°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠A＝∠FED，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，∠FED＝70°，
∴∠A＝∠FED＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
6．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是120°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝∠C，
∴∠B、∠C不能等于120°，
∴在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是∠A．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质，三角形的内角和等于180°，根据∠B＝∠C判断出这两个角都不能是120°是解题的关键．
7．如图，在①AB＝AC②AD＝AE③∠B＝∠C④BD＝CE四个条件中，能证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③②④
【分析】做题时可根据各选项提供的条件结合全等三角形的判定方法逐一验证，只有选项C提供的条件符合SSS，能证明△ABD与△ACE全等，是可选答案．
【解答】解：根据图形和四个三角形全等的判定定理可知：
（1）当有条件①②④的时候，可根据“边边边”定理证明出△ABD与△ACE全等．
（2）当满足条件①③④的时候，可根据“边角边”定理证明出△ABD与△ACE全等．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．不能说明两个三角形全等的条件是（ ）
A．三边对应相等 B．两边及其夹角对应相等
C．两角及其夹边对应相等 D．三角对应相等
【分析】运用全等三角形的判定方法结合已知条件逐项分析，即可解答．
【解答】解：A、三边对应相等，符合SSS，能推出两个三角形全等；
B、两边及其夹角对应相等，符合SAS，能推出两个三角形全等；
C、两角及其夹边对应相等，符合ASA，能推出两个三角形全等；
D、三角对应相等满足AAA，不能推出全等三角形，是错误的．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两直角边对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．两锐角对应相等
D．一个锐角和斜边对应相等
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、正确．根据SAS即可判断．
B、正确．根据HL即可判断．
C、错误．两锐角对应相等不能判断两个三角形全等．
D．正确．根据AAS即可判断．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．
10．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．AAS
【分析】由于∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB．题中还隐含了公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，DB＝DB，
∴△BAD≌△BCD（HL）．
故选：A．
【点评】本题需注意：当两个三角形有公共边时，公共边是常用的条件之一．
二．填空题（共8小题）
11．如图，在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 三角形的稳定性 ．
【分析】用木条EF固定长方形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上EF后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12．起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答．
【解答】解：起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型．
13．能够 完全重合 的两个图形叫做全等图形．
【分析】根据全等图形是能够完全重合的两个图形进行解答．
【解答】解：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
故答案为完全重合．
【点评】本题考查全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，比较简单．
14．在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2＝ 90 度．
【分析】根据图形可判断出△ACM≌△BAN，从而可得出∠1和∠2互余，继而可得出答案．
【解答】解：
在△ACM和△BAN中，，
∴△ACM≌△BAN，
∴∠2＝∠CAM，即可得∠1+∠2＝90°．
故答案为：90．
【点评】此题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是判断出△ACM≌△BAN，可得出∠1和∠2互余，难度一般．
15．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝35°，则∠BAD＝ 35 °．
【分析】根据全等三角形性质得出∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝35°，
∴∠BAD＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了全等三角形性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为 65° ．
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠C＝∠A，∠ABD＝∠CBD，再求出∠CBD，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C＝∠A＝80°，∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABC＝70°，
∴∠CBD＝∠ABC＝×70°＝35°，
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣80°﹣35°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
17．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 0，4，12，16 秒时，△DEB与△BCA全等．
【分析】设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；由斜边ED＝CB，分类讨论BE＝AC或BE＝AB或AE＝0时的情况，求出t的值即可．
【解答】解：设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；此时AE＝3t
分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，
BE＝24﹣3t＝12，
∴t＝4；
（2）当点E在点B的右侧时，
①BE＝AC时，3t＝24+12，
∴t＝12；
②BE＝AB时，
3t＝24+24，
∴t＝16．
（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；
综上所述，故答案为：0，4，12，16．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键．
18．如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB＝ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为 BC＝DC ；若添加条件AC＝EC，则可以用 HL 公理（或定理）判定全等．
【分析】根据已知条件知∠B＝∠D＝90°．若以“SAS”为依据判定△ABC≌△EDC，结合已知条件缺少对应边BC＝DC；若添加条件AC＝EC，则可以利用直角三角形全等的判定定理证明△ABC≌△EDC．
【解答】解：∵AB⊥BD，AB∥ED，
∴ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°；
①又∵AB＝ED，
∴在△ABC和△EDC中，
当BC＝DC时，
△ABC≌△EDC（SAS）；
②在Rt△ABC和△Rt△EDC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；
故答案分别是：BC＝DC、HL．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
三．解答题（共8小题）
19．如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
【分析】本题要灵活运用全等三角形的性质．两个三角形为全等三角形，则对应边相等，对应角相等．
【解答】解：∵△ABF≌△DCE
∴∠BAF＝∠CDE，∠AFB＝∠DEC，∠ABF＝∠DCE，AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE；
∴AF∥ED，AC＝BD，BF∥CE．
【点评】主要考查全等三角形的性质即，全等三角形对应边相等，对应角相等．做题时要从最简单、最明显的开始找，由浅入深，由易到难，循序渐进．
20．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M 是对应角．
（1）写出相等的线段与相等的角；
（2）若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度．
【分析】（1）根据△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角；
（2）根据（1）中的对等关系即可得MN和HG的长度．
【解答】解：（1）∵△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，
∴EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM，
∴FH＝GM，∠EGM＝∠NHF；
（2）∵EF＝NM，EF＝2.1cm，
∴MN＝2.1cm；
∵FG＝MH，FH+HG＝FG，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，
∴HG＝FG﹣FH＝HM﹣FH＝3.3﹣1.1＝2.2cm．
【点评】本题考查了全等三角形全等的性质及比较线段的长短，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键．
21．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
【分析】求出BM＝EN，根据SSS证△ABM≌△DEN，推出∠B＝∠E，根据SAS证△ABC≌△DEF即可．
【解答】
已知：△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，AM＝DN，
求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，
∴BM＝EN，
在△ABM和△DEN中，
∵，
∴△ABM≌△DEN（SSS），
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中线，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
22．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AD＝EC，△ABD≌△EBC吗？为什么？
【分析】根据∠1＝∠2，可得∠ABD＝∠EBC，然后∠C＝∠D，AD＝EC，利用AAS可证明△ABD≌△EBC．
【解答】解：△ABD≌△EBC．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．
【分析】因为∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB＝∠DBC，即∠OCB＝∠OBC，所以有OB＝OC．
【解答】证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）
∴∠ACB＝∠DBC．
∴∠OCB＝∠OBC．
∴OB＝OC（等角对等边）．
【点评】本题考查了直角三角形的判定和性质；由三角形全等得角相等，从而得到线段相等是证明题中常用的方法，注意掌握应用．
24．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE＝DF吗？
【分析】相等，先利用HL来判定Rt△ABC≌Rt△BAD，得出AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，再利用AAS判定△ACE≌△BDF，从而推出CE＝DF．
【解答】解：CE＝DF．理由：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA．
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴CE＝DF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
25．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
【分析】（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，即可得出结论．
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【解答】证明：（1）∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°．
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM＝AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD+BD，
∴AD＝PD．
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD＝AP；∠BAD＝∠CAP．
∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°．
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
26．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为 1 ．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE＝DF；
（2）利用等腰三角形的性质和判定得出结论，从而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE＝DF．
（3）利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS证明△DHE≌△FGD可得．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE＝DF
∵DE＝kDF
∴k＝1；
（2）∵CB＝CA
∴∠CBA＝∠CAB
∵∠MAC＝∠MBE
∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC
即∠ABM＝∠BAM
∴AM＝BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB＝∠MFA＝90
又∵∠MBE＝∠MAF
∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE＝AF
∵D是AB的中点，即BD＝AD
又∵∠DBE＝∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE＝DF；
（3）DE＝DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H，
∵点 D是 边 AB的 中点
∴DG∥BM，DG＝BM
同理可得：DH∥AM，DH＝AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH
∴∠HBE＝∠HEB
∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC
又∵DG＝BM，HE＝BM
∴DG＝HE
同理可得：DH＝FG，∠MGF＝2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM＝∠DHM
∵∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC
又∵∠MBC＝∠MAC
∴∠MGF＝∠MHE
∴∠DGM+∠MGF＝∠DHM+∠MHE
∴∠DGF＝∠DHE
在△DHE与△FGD中
，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE＝DF．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．
一．选择题（共10小题）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．平行四边形
2．如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
4．两个全等图形中可以不同的是（ ）
A．位置 B．长度 C．角度 D．面积
5．如图，△ABC≌△EDF，∠FED＝70°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．70° C．90° D．20°
6．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
7．如图，在①AB＝AC②AD＝AE③∠B＝∠C④BD＝CE四个条件中，能证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③②④
8．不能说明两个三角形全等的条件是（ ）
A．三边对应相等 B．两边及其夹角对应相等
C．两角及其夹边对应相等 D．三角对应相等
9．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两直角边对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．两锐角对应相等
D．一个锐角和斜边对应相等
10．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．AAS
二．填空题（共8小题）
11．如图，在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 ．
12．起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了 ．
13．能够 的两个图形叫做全等图形．
14．在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2＝ 度．
15．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝35°，则∠BAD＝ °．
16．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为 ．
17．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 秒时，△DEB与△BCA全等．
18．如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB＝ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为 ；若添加条件AC＝EC，则可以用 公理（或定理）判定全等．
三．解答题（共8小题）
19．如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
20．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M 是对应角．
（1）写出相等的线段与相等的角；
（2）若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度．
21．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
22．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AD＝EC，△ABD≌△EBC吗？为什么？
23．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．
24．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE＝DF吗？
25．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
26．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为 ．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
2020年沪科新版八年级上册数学《第14章 全等三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．平行四边形
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：正方形，三角形，长方形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性的性质．
2．如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可．
【解答】解：根据三角形的稳定性可得他至少要再钉上1根木条，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形具有稳定性，题目比较简单．
3．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．
【解答】解：
由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC，
∴∠BAC＝∠DEC，
∠1+∠2＝180°．
故选：B．
【点评】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△ABC≌△EDC．
4．两个全等图形中可以不同的是（ ）
A．位置 B．长度 C．角度 D．面积
【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．
【解答】解：两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．
故选：A．
【点评】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题的关键．
5．如图，△ABC≌△EDF，∠FED＝70°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．70° C．90° D．20°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠A＝∠FED，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，∠FED＝70°，
∴∠A＝∠FED＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
6．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是120°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝∠C，
∴∠B、∠C不能等于120°，
∴在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是∠A．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质，三角形的内角和等于180°，根据∠B＝∠C判断出这两个角都不能是120°是解题的关键．
7．如图，在①AB＝AC②AD＝AE③∠B＝∠C④BD＝CE四个条件中，能证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③②④
【分析】做题时可根据各选项提供的条件结合全等三角形的判定方法逐一验证，只有选项C提供的条件符合SSS，能证明△ABD与△ACE全等，是可选答案．
【解答】解：根据图形和四个三角形全等的判定定理可知：
（1）当有条件①②④的时候，可根据“边边边”定理证明出△ABD与△ACE全等．
（2）当满足条件①③④的时候，可根据“边角边”定理证明出△ABD与△ACE全等．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．不能说明两个三角形全等的条件是（ ）
A．三边对应相等 B．两边及其夹角对应相等
C．两角及其夹边对应相等 D．三角对应相等
【分析】运用全等三角形的判定方法结合已知条件逐项分析，即可解答．
【解答】解：A、三边对应相等，符合SSS，能推出两个三角形全等；
B、两边及其夹角对应相等，符合SAS，能推出两个三角形全等；
C、两角及其夹边对应相等，符合ASA，能推出两个三角形全等；
D、三角对应相等满足AAA，不能推出全等三角形，是错误的．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两直角边对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．两锐角对应相等
D．一个锐角和斜边对应相等
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、正确．根据SAS即可判断．
B、正确．根据HL即可判断．
C、错误．两锐角对应相等不能判断两个三角形全等．
D．正确．根据AAS即可判断．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．
10．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．AAS
【分析】由于∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB．题中还隐含了公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，DB＝DB，
∴△BAD≌△BCD（HL）．
故选：A．
【点评】本题需注意：当两个三角形有公共边时，公共边是常用的条件之一．
二．填空题（共8小题）
11．如图，在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 三角形的稳定性 ．
【分析】用木条EF固定长方形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上EF后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12．起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答．
【解答】解：起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型．
13．能够 完全重合 的两个图形叫做全等图形．
【分析】根据全等图形是能够完全重合的两个图形进行解答．
【解答】解：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
故答案为完全重合．
【点评】本题考查全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，比较简单．
14．在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2＝ 90 度．
【分析】根据图形可判断出△ACM≌△BAN，从而可得出∠1和∠2互余，继而可得出答案．
【解答】解：
在△ACM和△BAN中，，
∴△ACM≌△BAN，
∴∠2＝∠CAM，即可得∠1+∠2＝90°．
故答案为：90．
【点评】此题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是判断出△ACM≌△BAN，可得出∠1和∠2互余，难度一般．
15．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝35°，则∠BAD＝ 35 °．
【分析】根据全等三角形性质得出∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝35°，
∴∠BAD＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了全等三角形性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为 65° ．
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠C＝∠A，∠ABD＝∠CBD，再求出∠CBD，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C＝∠A＝80°，∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABC＝70°，
∴∠CBD＝∠ABC＝×70°＝35°，
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣80°﹣35°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
17．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 0，4，12，16 秒时，△DEB与△BCA全等．
【分析】设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；由斜边ED＝CB，分类讨论BE＝AC或BE＝AB或AE＝0时的情况，求出t的值即可．
【解答】解：设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；此时AE＝3t
分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，
BE＝24﹣3t＝12，
∴t＝4；
（2）当点E在点B的右侧时，
①BE＝AC时，3t＝24+12，
∴t＝12；
②BE＝AB时，
3t＝24+24，
∴t＝16．
（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；
综上所述，故答案为：0，4，12，16．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键．
18．如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB＝ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为 BC＝DC ；若添加条件AC＝EC，则可以用 HL 公理（或定理）判定全等．
【分析】根据已知条件知∠B＝∠D＝90°．若以“SAS”为依据判定△ABC≌△EDC，结合已知条件缺少对应边BC＝DC；若添加条件AC＝EC，则可以利用直角三角形全等的判定定理证明△ABC≌△EDC．
【解答】解：∵AB⊥BD，AB∥ED，
∴ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°；
①又∵AB＝ED，
∴在△ABC和△EDC中，
当BC＝DC时，
△ABC≌△EDC（SAS）；
②在Rt△ABC和△Rt△EDC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；
故答案分别是：BC＝DC、HL．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
三．解答题（共8小题）
19．如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
【分析】本题要灵活运用全等三角形的性质．两个三角形为全等三角形，则对应边相等，对应角相等．
【解答】解：∵△ABF≌△DCE
∴∠BAF＝∠CDE，∠AFB＝∠DEC，∠ABF＝∠DCE，AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE；
∴AF∥ED，AC＝BD，BF∥CE．
【点评】主要考查全等三角形的性质即，全等三角形对应边相等，对应角相等．做题时要从最简单、最明显的开始找，由浅入深，由易到难，循序渐进．
20．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M 是对应角．
（1）写出相等的线段与相等的角；
（2）若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度．
【分析】（1）根据△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角；
（2）根据（1）中的对等关系即可得MN和HG的长度．
【解答】解：（1）∵△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，
∴EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM，
∴FH＝GM，∠EGM＝∠NHF；
（2）∵EF＝NM，EF＝2.1cm，
∴MN＝2.1cm；
∵FG＝MH，FH+HG＝FG，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，
∴HG＝FG﹣FH＝HM﹣FH＝3.3﹣1.1＝2.2cm．
【点评】本题考查了全等三角形全等的性质及比较线段的长短，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键．
21．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
【分析】求出BM＝EN，根据SSS证△ABM≌△DEN，推出∠B＝∠E，根据SAS证△ABC≌△DEF即可．
【解答】
已知：△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，AM＝DN，
求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，
∴BM＝EN，
在△ABM和△DEN中，
∵，
∴△ABM≌△DEN（SSS），
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中线，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
22．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AD＝EC，△ABD≌△EBC吗？为什么？
【分析】根据∠1＝∠2，可得∠ABD＝∠EBC，然后∠C＝∠D，AD＝EC，利用AAS可证明△ABD≌△EBC．
【解答】解：△ABD≌△EBC．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．
【分析】因为∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB＝∠DBC，即∠OCB＝∠OBC，所以有OB＝OC．
【解答】证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）
∴∠ACB＝∠DBC．
∴∠OCB＝∠OBC．
∴OB＝OC（等角对等边）．
【点评】本题考查了直角三角形的判定和性质；由三角形全等得角相等，从而得到线段相等是证明题中常用的方法，注意掌握应用．
24．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE＝DF吗？
【分析】相等，先利用HL来判定Rt△ABC≌Rt△BAD，得出AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，再利用AAS判定△ACE≌△BDF，从而推出CE＝DF．
【解答】解：CE＝DF．理由：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA．
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴CE＝DF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
25．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
【分析】（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，即可得出结论．
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【解答】证明：（1）∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°．
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM＝AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD+BD，
∴AD＝PD．
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD＝AP；∠BAD＝∠CAP．
∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°．
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
26．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为 1 ．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE＝DF；
（2）利用等腰三角形的性质和判定得出结论，从而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE＝DF．
（3）利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS证明△DHE≌△FGD可得．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE＝DF
∵DE＝kDF
∴k＝1；
（2）∵CB＝CA
∴∠CBA＝∠CAB
∵∠MAC＝∠MBE
∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC
即∠ABM＝∠BAM
∴AM＝BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB＝∠MFA＝90
又∵∠MBE＝∠MAF
∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE＝AF
∵D是AB的中点，即BD＝AD
又∵∠DBE＝∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE＝DF；
（3）DE＝DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H，
∵点 D是 边 AB的 中点
∴DG∥BM，DG＝BM
同理可得：DH∥AM，DH＝AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH
∴∠HBE＝∠HEB
∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC
又∵DG＝BM，HE＝BM
∴DG＝HE
同理可得：DH＝FG，∠MGF＝2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM＝∠DHM
∵∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC
又∵∠MBC＝∠MAC
∴∠MGF＝∠MHE
∴∠DGM+∠MGF＝∠DHM+∠MHE
∴∠DGF＝∠DHE
在△DHE与△FGD中
，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE＝DF．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．