2020年沪科新版八年级上册数学第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年沪科新版八年级上册数学第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 512.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-07 09:07:19 | ||
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文档简介
2020年沪科新版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．25° D．50°
4．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
8．下面有4个汽车商标图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
9．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
二．填空题（共8小题）
11．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 度．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是 ．
13．等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是 ．
14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）．
15．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 点．
16．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为 厘米．
17．正六边形有 条对称轴．
18．小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
21．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；
（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？
22．用一条长为20cm的细铁丝能围成一边长为4cm的等腰三角形吗？若能，请求出各边长；若不能，请说明理由．
23．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y＝x+3，
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF＝EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP＝CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
24．如图，在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形．
25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小．
26．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形．
2020年沪科新版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE，PG＝PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出EG的长即为AD、BC间的距离．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
同理可得PG＝PE，
∵AD∥BC，
∴点F、P、G三点共线，
∴EG的长即为AD、BC间的距离，
∴平行线AD与BC间的距离为2+2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出AD、BC间的距离的线段是解题的关键．
2．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
【解答】解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．25° D．50°
【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【解答】解：
当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可求得其顶角为50°，
则底角为×（180°﹣50°）＝65°，
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°，
则底角为×（180°﹣130°）＝25°，
综上可知该三角形的底角为65°或25°，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为180°是解题的关键．
4．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据题意，求得A与B的坐标，然后利用勾股定理求得AB的长，再分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝＝5，
①当AB＝BC时，OA＝OC，
∴C1（3，0）；
②当AB＝AC时，C2（﹣8，0），C3（2，0），
③当AC＝BC时，C4（，0），
∴这样的点C最多有4个．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、一次函数的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
5．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△APB和△EPB中
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC．
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断．
【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形的对称性，正确找到各组数的规律是解决本题的关键．
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
8．下面有4个汽车商标图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：①②③都是轴对称图形，④不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
9．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．
故选：C．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA＝DA'＝DB，从而可得∠ADA'＝2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'＝2∠ADE，可得∠ADE＝∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1＝2，求出h1＝2﹣1＝1，同理h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣，据此可得答案．
【解答】解：连接AA1．
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣．
∴h2018＝2﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 35 度．
【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．
【解答】解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE＝EB＝EF，
又∵∠B＝90°，且AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB＝∠EAF．
又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CDA＝110°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝70°，
∴∠EAB＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线EF⊥AD，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是 15° ．
【分析】由AB的垂直平分线MN交AC于点D，可得AD＝BD，继而证得∠ABD＝∠A，然后由等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，求得∠ABC＝∠C＝65°，又由三角形内角和定理，得方程：∠A＝∠ABD＝50°，继而求得答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A，
∵等腰△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC+∠C＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．
故答案为：15°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
13．等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是 30° ．
【分析】因为三角形的内角和为120°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵120°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 ② （填序号）．
【分析】顶角为：36°，90°，108°，的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．
【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故答案为：②
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
15．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 D 点．
【分析】利用对称的性质得出M经过的路径，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，
则4个点中，可以瞄准的是：D．
故答案为：D．
【点评】此题主要考查了生活中轴对称现象，正确利用对称的性质是解题关键．
16．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为 8 厘米．
【分析】根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．
【解答】解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
故有MP＝MC，NP＝ND；
则CD＝CM+MN+ND＝PM+MN+PN＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
17．正六边形有 6 条对称轴．
【分析】根据轴对称图形的定义画出对称轴即可．
【解答】解：如图所示：
，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，关键是正确找到对称轴的位置．
18．小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 16：25：08 ．
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是16：25：08．
故答案为：16：25：08．
【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．
三．解答题（共8小题）
19．已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．
【分析】（1）先根据P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB得出PC＝PD，由HL定理得出△POC≌△POD，故可得出OC＝OD；
（2）根据P是∠AOB平分线上的一点得出∠COP＝∠DOP，根据SAS定理得出△COE≌△DOE，由此可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD；
（2）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP
∵由（1）知，OC＝OD，
∴在△COE与△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE，
∴CE＝DE，OE⊥CD，即OP是CD的垂直平分线．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质及∠B＝30°求出∠BAE＝30°，再由AE平分∠BAC可得出∠EAC＝∠BAE＝30°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数．
（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
即∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，
∴AC＝，
∴AB＝2．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
21．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；
（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？
【分析】（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC＝90°，AB＝AC，可求∠B＝∠ACB＝45°，又因为BD＝BA，可求∠BAD＝∠BDA＝67.5°，再由CE＝CA，可求∠CAE＝∠E＝22.5°，所以∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；
（2）先设∠CAE＝x，由已知CA＝CE可求∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，∠B＝90°﹣2x，又因为BD＝BA，所以∠BAD＝∠BDA＝x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠BAE＝90°+x，即∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45度；
（3）可设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，所以∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，即∠DAE＝∠BAC．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；
（2）不改变．
设∠CAE＝x，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝x，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，
在△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，
＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，
＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；
（3）∠DAE＝∠BAC．
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，
∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，
∴∠DAE＝∠BAC．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．本题由易到难，由特例到一般，是一道提高学生能力的训练题．
22．用一条长为20cm的细铁丝能围成一边长为4cm的等腰三角形吗？若能，请求出各边长；若不能，请说明理由．
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为4cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：用一根20cm的绳子能围成有一边长为4cm的等腰三角形．
根据已知条件，知等腰三角形的两腰的长度是：
（20﹣4）÷2＝8（cm）
∵4+8＝12＞8；
∴用一根20cm的绳子能围成有一边长为4cm的等腰三角形，
各边为4，8，8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题需要理解的是如何根据已知的边长与周长，求腰长，从而根据边角关系来判断该等腰三角形是否成立．
23．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y＝x+3，
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF＝EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP＝CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
【分析】（1）根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；
（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF＝EF；
（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM＝OM，根据线段的和差进行计算OM的值．
【解答】解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵直线l2与直线l1关于x轴对称，
∴C（0，﹣3）
∴直线l2的解析式为：y＝﹣x﹣3；
（2）如图．BE+CF＝EF．
∵直线l2与直线l1关于x轴对称，
∴AB＝AC，
∵l1与l2为象限平分线的平行线，
∴△OAC与△OAB为等腰直角三角形，
∴∠EBA＝∠FAC，
∵BE⊥l3，CF⊥l3
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴△BEA≌△AFC
∴BE＝AF，EA＝FC，
∴BE+CF＝AF+EA＝EF；
（3）①对，OM＝3
过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称
∵∠POB＝∠QHC＝90°，BP＝CQ，
又∵AB＝AC，
∴∠ABO＝∠ACB＝∠HCQ，
则△QCH≌△PBO（AAS），
∴QH＝PO＝OB＝CH
∴△QHM≌△POM
∴HM＝OM
∴OM＝BC﹣（OB+CM）＝BC﹣（CH+CM）＝BC﹣OM
∴OM＝BC＝3．
【点评】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
24．如图，在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形．
【分析】仔细观察会发现它们都是轴对称图形，所以在空白处再画一个轴对称图形即可．
【解答】解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1﹣7的数字，
所以画一个轴对称图形且数字为6即可．
所填图形为：．
【点评】本题是一道规律型的题，首先要从图中找出规律，然后再根据规律画图．但还是考查了轴对称图形的性质．
25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小．
【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围多余三角形的面积进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1 即为所求；
（2）△ABC的面积为：3×4﹣×2×3+×2×2﹣×1×4＝5；
（3）如图所示：点P即为所求的点．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
26．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形．
【分析】根据轴对称的性质进行作图即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．25° D．50°
4．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
8．下面有4个汽车商标图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
9．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
二．填空题（共8小题）
11．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 度．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是 ．
13．等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是 ．
14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）．
15．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 点．
16．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为 厘米．
17．正六边形有 条对称轴．
18．小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
21．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；
（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？
22．用一条长为20cm的细铁丝能围成一边长为4cm的等腰三角形吗？若能，请求出各边长；若不能，请说明理由．
23．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y＝x+3，
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF＝EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP＝CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
24．如图，在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形．
25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小．
26．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形．
2020年沪科新版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE，PG＝PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出EG的长即为AD、BC间的距离．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
同理可得PG＝PE，
∵AD∥BC，
∴点F、P、G三点共线，
∴EG的长即为AD、BC间的距离，
∴平行线AD与BC间的距离为2+2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出AD、BC间的距离的线段是解题的关键．
2．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
【解答】解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．25° D．50°
【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【解答】解：
当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可求得其顶角为50°，
则底角为×（180°﹣50°）＝65°，
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°，
则底角为×（180°﹣130°）＝25°，
综上可知该三角形的底角为65°或25°，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为180°是解题的关键．
4．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据题意，求得A与B的坐标，然后利用勾股定理求得AB的长，再分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝＝5，
①当AB＝BC时，OA＝OC，
∴C1（3，0）；
②当AB＝AC时，C2（﹣8，0），C3（2，0），
③当AC＝BC时，C4（，0），
∴这样的点C最多有4个．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、一次函数的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
5．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△APB和△EPB中
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC．
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断．
【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形的对称性，正确找到各组数的规律是解决本题的关键．
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
8．下面有4个汽车商标图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：①②③都是轴对称图形，④不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
9．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．
故选：C．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA＝DA'＝DB，从而可得∠ADA'＝2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'＝2∠ADE，可得∠ADE＝∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1＝2，求出h1＝2﹣1＝1，同理h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣，据此可得答案．
【解答】解：连接AA1．
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣．
∴h2018＝2﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 35 度．
【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．
【解答】解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE＝EB＝EF，
又∵∠B＝90°，且AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB＝∠EAF．
又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CDA＝110°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝70°，
∴∠EAB＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线EF⊥AD，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是 15° ．
【分析】由AB的垂直平分线MN交AC于点D，可得AD＝BD，继而证得∠ABD＝∠A，然后由等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，求得∠ABC＝∠C＝65°，又由三角形内角和定理，得方程：∠A＝∠ABD＝50°，继而求得答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A，
∵等腰△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC+∠C＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．
故答案为：15°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
13．等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是 30° ．
【分析】因为三角形的内角和为120°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵120°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 ② （填序号）．
【分析】顶角为：36°，90°，108°，的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．
【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故答案为：②
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
15．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 D 点．
【分析】利用对称的性质得出M经过的路径，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，
则4个点中，可以瞄准的是：D．
故答案为：D．
【点评】此题主要考查了生活中轴对称现象，正确利用对称的性质是解题关键．
16．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为 8 厘米．
【分析】根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．
【解答】解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
故有MP＝MC，NP＝ND；
则CD＝CM+MN+ND＝PM+MN+PN＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
17．正六边形有 6 条对称轴．
【分析】根据轴对称图形的定义画出对称轴即可．
【解答】解：如图所示：
，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，关键是正确找到对称轴的位置．
18．小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 16：25：08 ．
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是16：25：08．
故答案为：16：25：08．
【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．
三．解答题（共8小题）
19．已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．
【分析】（1）先根据P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB得出PC＝PD，由HL定理得出△POC≌△POD，故可得出OC＝OD；
（2）根据P是∠AOB平分线上的一点得出∠COP＝∠DOP，根据SAS定理得出△COE≌△DOE，由此可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD；
（2）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP
∵由（1）知，OC＝OD，
∴在△COE与△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE，
∴CE＝DE，OE⊥CD，即OP是CD的垂直平分线．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质及∠B＝30°求出∠BAE＝30°，再由AE平分∠BAC可得出∠EAC＝∠BAE＝30°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数．
（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
即∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，
∴AC＝，
∴AB＝2．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
21．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；
（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？
【分析】（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC＝90°，AB＝AC，可求∠B＝∠ACB＝45°，又因为BD＝BA，可求∠BAD＝∠BDA＝67.5°，再由CE＝CA，可求∠CAE＝∠E＝22.5°，所以∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；
（2）先设∠CAE＝x，由已知CA＝CE可求∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，∠B＝90°﹣2x，又因为BD＝BA，所以∠BAD＝∠BDA＝x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠BAE＝90°+x，即∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45度；
（3）可设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，所以∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，即∠DAE＝∠BAC．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；
（2）不改变．
设∠CAE＝x，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝x，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，
在△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，
＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，
＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；
（3）∠DAE＝∠BAC．
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，
∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，
∴∠DAE＝∠BAC．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．本题由易到难，由特例到一般，是一道提高学生能力的训练题．
22．用一条长为20cm的细铁丝能围成一边长为4cm的等腰三角形吗？若能，请求出各边长；若不能，请说明理由．
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为4cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：用一根20cm的绳子能围成有一边长为4cm的等腰三角形．
根据已知条件，知等腰三角形的两腰的长度是：
（20﹣4）÷2＝8（cm）
∵4+8＝12＞8；
∴用一根20cm的绳子能围成有一边长为4cm的等腰三角形，
各边为4，8，8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题需要理解的是如何根据已知的边长与周长，求腰长，从而根据边角关系来判断该等腰三角形是否成立．
23．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y＝x+3，
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF＝EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP＝CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
【分析】（1）根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；
（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF＝EF；
（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM＝OM，根据线段的和差进行计算OM的值．
【解答】解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵直线l2与直线l1关于x轴对称，
∴C（0，﹣3）
∴直线l2的解析式为：y＝﹣x﹣3；
（2）如图．BE+CF＝EF．
∵直线l2与直线l1关于x轴对称，
∴AB＝AC，
∵l1与l2为象限平分线的平行线，
∴△OAC与△OAB为等腰直角三角形，
∴∠EBA＝∠FAC，
∵BE⊥l3，CF⊥l3
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴△BEA≌△AFC
∴BE＝AF，EA＝FC，
∴BE+CF＝AF+EA＝EF；
（3）①对，OM＝3
过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称
∵∠POB＝∠QHC＝90°，BP＝CQ，
又∵AB＝AC，
∴∠ABO＝∠ACB＝∠HCQ，
则△QCH≌△PBO（AAS），
∴QH＝PO＝OB＝CH
∴△QHM≌△POM
∴HM＝OM
∴OM＝BC﹣（OB+CM）＝BC﹣（CH+CM）＝BC﹣OM
∴OM＝BC＝3．
【点评】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
24．如图，在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形．
【分析】仔细观察会发现它们都是轴对称图形，所以在空白处再画一个轴对称图形即可．
【解答】解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1﹣7的数字，
所以画一个轴对称图形且数字为6即可．
所填图形为：．
【点评】本题是一道规律型的题，首先要从图中找出规律，然后再根据规律画图．但还是考查了轴对称图形的性质．
25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小．
【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围多余三角形的面积进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1 即为所求；
（2）△ABC的面积为：3×4﹣×2×3+×2×2﹣×1×4＝5；
（3）如图所示：点P即为所求的点．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
26．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形．
【分析】根据轴对称的性质进行作图即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．