2020年沪科新版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年沪科新版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 582.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-07 09:08:45 | ||
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文档简介
2020年沪科新版九年级上册数学《第21章 二次函数与反比例函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B． C． D．
2．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+3与反比例函数y＝的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
4．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
5．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（ ）
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
6．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣4 B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点．
9．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
二．填空题（共8小题）
11．如果函数y＝（m﹣1）是反比例函数，那么m的值是 ．
12．一次函数y＝﹣x+1与反比例函数，x与y的对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
y＝﹣x+1 4 3 2 0 ﹣1 ﹣2
1 2 ﹣2 ﹣1 ﹣
不等式﹣x+1＞﹣的解为 ．
13．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是 ．
14．反比例函数y＝（m+2）的图象分布在第二、四象限内，则m的值为 ．
15．当m 时，y＝（m﹣2）是二次函数．
16．抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是 ．
17．抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是 ．
18．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为 ．
三．解答题（共8小题）
19．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y 0 ﹣ ﹣1 ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．
20．有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣ ﹣ 3 m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： ．
21．如图，∠AOB＝90°，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．
（1）求a和k的值；
（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y＝于另一点C，求△OBC的面积．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．
（1）若OA＝4，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
23．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
24．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标 ；
（2）对称轴为 ；
（3）当x＝ 时，y有最大值是 ；
（4）当 时，y随着x得增大而增大．
（5）当 时，y＞0．
25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
26．阅读下面材料：
上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1＝x2﹣2x﹣1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是 ．
参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x﹣4＝在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
2020年沪科新版九年级上册数学《第21章 二次函数与反比例函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B． C． D．
【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断．
【解答】解：A、是一次函数，故选项错误；
B、不符合y＝的形式，故选项错误；
C、正确；
D、不符合y＝的形式，是正比例函数，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
2．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+3与反比例函数y＝的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：当k＞0时，有y＝kx+3过一、二、三象限，反比例函数y＝的过一、三象限，A正确；
由函数y＝kx+3过点（0，3），可排除B、C；
当k＜0时，y＝kx+3过一、二、四象限，反比例函数y＝的过﹣、三象限，排除D．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
3．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|可知，S△AOC＝S△BOD＝|k|，再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD＝S△AOC＝|k|，S△BOC＝S△BOD＝|k|，进而求出四边形ADBC的面积．
【解答】解：∵A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），
则OC＝OD＝x，
∴S△AOD＝S△AOC＝，S△BOC＝S△BOD＝，
∴四边形ABCD面积＝S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD＝×4＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|．
4．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
【分析】先根据反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴a+3＜0，解得a＜﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝中，当k＜0时函数图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
5．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（ ）
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
【分析】由题意得：S△ABM＝2S△AOM，又S△AOM＝|k|，则k的值即可求出．
【解答】解：设A（x，y），
∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，
∴B（﹣x，﹣y），
∴S△BOM＝|xy|，S△AOM＝|xy|，
∴S△BOM＝S△AOM，
∴S△ABM＝S△AOM+S△BOM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1，则k＝±2．
又由于反比例函数位于一三象限，k＞0，故k＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
6．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣4 B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝
【分析】根据二次函数定义的条件判定则可．
【解答】解：A、y＝3x﹣4，是一次函数，错误；
B、y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，错误；
C、y＝（x+1）2﹣5，是二次函数，正确，
D、y＝，不是二次函数，错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．
【解答】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；
B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；
C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等．
8．对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点．
【分析】根据抛物线的性质由a＝2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
9．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【分析】把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值．
【解答】解：把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，
所以m2﹣m＝1，
所以m2﹣m+2019＝1+2019＝2020．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之间由负到正，故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在6.18～6.19之间．
【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选：C．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
二．填空题（共8小题）
11．如果函数y＝（m﹣1）是反比例函数，那么m的值是 ﹣1 ．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝（k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1、m﹣1≠0即可．
【解答】解：根据题意m2﹣2＝﹣1，
m＝±1，
又m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
12．一次函数y＝﹣x+1与反比例函数，x与y的对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
y＝﹣x+1 4 3 2 0 ﹣1 ﹣2
1 2 ﹣2 ﹣1 ﹣
不等式﹣x+1＞﹣的解为 x＜﹣1或0＜x＜2 ．
【分析】先判断出交点坐标，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时一次函数的值都大于反比例函数的值即可．
【解答】解：易得两个交点为（﹣1，2），（2，﹣1），经过观察可得在交点（﹣1，2）的左边或在交点（2，﹣1）的左边，y轴的右侧，相同横坐标时一次函数的值都大于反比例函数的值，所以 不等式﹣x+1＞﹣的解为x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】给出相应的函数值，求自变量的取值范围应该从交点入手思考．
13．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
14．反比例函数y＝（m+2）的图象分布在第二、四象限内，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣10＝﹣1，根据函数图象分布在第二、四象限内，可得m+2＜0，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得，m2﹣10＝﹣1且m+2＜0，
解得m1＝3，m2＝﹣3且m＜﹣2，
所以m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质，对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
15．当m ﹣2 时，y＝（m﹣2）是二次函数．
【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式解答即可．
【解答】解：根据二次函数定义，得：
m2﹣2＝2，
解得m＝±2，
又∵m﹣2≠0，
∴当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）是二次函数．
【点评】本题考查二次函数的定义．
16．抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是 （﹣4，﹣20） ．
【分析】因为直线x＝﹣4上所有点的横坐标都是﹣4，故交点的横坐标也是﹣4，再把横坐标代入抛物线解析式可求纵坐标．
【解答】解：∵当x＝﹣4时，y＝（﹣4）2+8×（﹣4）﹣4＝﹣20，
∴抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是（﹣4，﹣20）．
【点评】交点都适合这两个函数解析式，让这两个函数解析式组成方程组求解即可．
17．抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是 x＝﹣2 ．
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是x＝h即可确定．
【解答】解：∵y＝3（x+2）2﹣7，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易．
18．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为 y＝x2﹣2x ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式组求出m的范围，再在此范围内写出一个m的值即可．
【解答】解：根据题意得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得m＜1，
若m取0，抛物线解析式为y＝x2﹣2x．
故答案为y＝x2﹣2x．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三．解答题（共8小题）
19．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠0 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y 0 ﹣ ﹣1 ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： 当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小 ．
【分析】（1）根据被开方数非负以及分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（2）将x＝2代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠0．
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
（2）当x＝2时，m＝＝1．
（3）图象如图所示．
（4）观察函数图象发现：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
故答案为：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
20．有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣ ﹣ 3 m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： 该函数没有最大值，也没有最小值 ．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x＝4时的函数值为m，把x＝4代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠1，
故答案为x≠1；
（2）令x＝4，
∴y＝+4＝；
∴m＝；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
该函数没有最大值，也没有最小值；
故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
21．如图，∠AOB＝90°，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．
（1）求a和k的值；
（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y＝于另一点C，求△OBC的面积．
【分析】（1）把A（﹣1，a）代入反比例函数y＝﹣得到A（﹣1，2），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥⊥x轴于F，根据相似三角形的性质得到B（4，2），于是得到k＝4×2＝8；
（2）求的直线AO的解析式为y＝﹣2x，设直线MN的解析式为y＝﹣2x+b，得到直线MN的解析式为y＝﹣2x+10，解方程组得到C（1，8），于是得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），
∴a＝﹣＝2，
∴A（﹣1，2），
过A作AE⊥x轴于E，BF⊥⊥x轴于F，
∴AE＝2，OE＝1，
∵AB∥x轴，
∴BF＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，
∴∠EAO＝∠BOF，
∴△AEO∽△OFB，
∴，
∴OF＝4，
∴B（4，2），
∴k＝4×2＝8；
（2）∵直线OA过A（﹣1，2），
∴直线AO的解析式为y＝﹣2x，
∵MN∥OA，
∴设直线MN的解析式为y＝﹣2x+b，
∴2＝﹣2×4+b，
∴b＝10，
∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+10，
∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，
∴M（5，0），N（0，10），
解得，或，
∴C（1，8），
∴△OBC的面积＝S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM＝5×10﹣×10×1﹣×5×2＝15．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．
（1）若OA＝4，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案；
（2）首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出CO的长．
【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝4，
∴AE＝BE＝2．
在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，
∴CE＝，
∵OA＝4，
∴C点的坐标为：（，2），
∵点C在的图象上，
∴k＝5，
（2）设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC＝，
∴AD＝，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）．
∵点C，D都在的图象上，
∴m＝2（m﹣），
∴m＝6，
∴C点的坐标为：（，2），
作CF⊥x轴，垂足为F，
∴OF＝，CF＝2，
在Rt△OFC中，
OC2＝OF2+CF2，
∴OC＝．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出C点坐标是解题关键．
23．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；
（2）列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 …
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出y＜0时，x的取值．
24．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标 （﹣3，2） ；
（2）对称轴为 x＝﹣3 ；
（3）当x＝ ﹣3 时，y有最大值是 2 ；
（4）当 x＜﹣3 时，y随着x得增大而增大．
（5）当 ﹣5＜x＜﹣1 时，y＞0．
【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；
（4）根据二次函数的性质即可求解；
（5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点（﹣5，0），（﹣1，0），
∴顶点横坐标为＝﹣3，
由图可知顶点纵坐标为2，
∴顶点坐标为（﹣3，2）；
（2）对称轴为x＝﹣3；
（3）当x＝﹣3时，y有最大值是2；
（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大；
（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．
故答案为（1）（﹣3，2）；（2）x＝﹣3；（3）﹣3，2；（4）x＜﹣3；（5）﹣5＜x＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）根据函数与方程的关系，当y＝0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）根据函数的性质可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围；
（3）方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，即函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝k有两个交点，据此即可直接求出k的取值范围．
【解答】解：（1）当y＝0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由图可知，
方程的两个根为x1＝1，x2＝3．
（2）根据函数图象，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时，x＞2．
（3）如图：
方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，即函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝k有两个交点，
此时，k＜2．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性．
26．阅读下面材料：
上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1＝x2﹣2x﹣1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是 a＜﹣2 ．
参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x﹣4＝在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
【分析】请结合小捷的思路回答：直接根据函数的顶点坐标可得出a的取值范围；设y1＝x2﹣4x+3，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2＝a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可得出结论．
【解答】解：请结合小捷的思路回答：
由函数图象可知，a＜﹣2时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立．
故答案为：a＜﹣2．
解决问题：将原方程转化为x2﹣4x+3＝a，
设y1＝x2﹣4x+3，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2＝a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可知，a的取值范围是：﹣1＜a＜3．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B． C． D．
2．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+3与反比例函数y＝的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
4．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
5．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（ ）
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
6．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣4 B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点．
9．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
二．填空题（共8小题）
11．如果函数y＝（m﹣1）是反比例函数，那么m的值是 ．
12．一次函数y＝﹣x+1与反比例函数，x与y的对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
y＝﹣x+1 4 3 2 0 ﹣1 ﹣2
1 2 ﹣2 ﹣1 ﹣
不等式﹣x+1＞﹣的解为 ．
13．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是 ．
14．反比例函数y＝（m+2）的图象分布在第二、四象限内，则m的值为 ．
15．当m 时，y＝（m﹣2）是二次函数．
16．抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是 ．
17．抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是 ．
18．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为 ．
三．解答题（共8小题）
19．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y 0 ﹣ ﹣1 ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．
20．有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣ ﹣ 3 m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： ．
21．如图，∠AOB＝90°，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．
（1）求a和k的值；
（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y＝于另一点C，求△OBC的面积．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．
（1）若OA＝4，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
23．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
24．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标 ；
（2）对称轴为 ；
（3）当x＝ 时，y有最大值是 ；
（4）当 时，y随着x得增大而增大．
（5）当 时，y＞0．
25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
26．阅读下面材料：
上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1＝x2﹣2x﹣1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是 ．
参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x﹣4＝在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
2020年沪科新版九年级上册数学《第21章 二次函数与反比例函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B． C． D．
【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断．
【解答】解：A、是一次函数，故选项错误；
B、不符合y＝的形式，故选项错误；
C、正确；
D、不符合y＝的形式，是正比例函数，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
2．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+3与反比例函数y＝的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：当k＞0时，有y＝kx+3过一、二、三象限，反比例函数y＝的过一、三象限，A正确；
由函数y＝kx+3过点（0，3），可排除B、C；
当k＜0时，y＝kx+3过一、二、四象限，反比例函数y＝的过﹣、三象限，排除D．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
3．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|可知，S△AOC＝S△BOD＝|k|，再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD＝S△AOC＝|k|，S△BOC＝S△BOD＝|k|，进而求出四边形ADBC的面积．
【解答】解：∵A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），
则OC＝OD＝x，
∴S△AOD＝S△AOC＝，S△BOC＝S△BOD＝，
∴四边形ABCD面积＝S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD＝×4＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|．
4．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
【分析】先根据反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴a+3＜0，解得a＜﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝中，当k＜0时函数图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
5．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（ ）
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
【分析】由题意得：S△ABM＝2S△AOM，又S△AOM＝|k|，则k的值即可求出．
【解答】解：设A（x，y），
∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，
∴B（﹣x，﹣y），
∴S△BOM＝|xy|，S△AOM＝|xy|，
∴S△BOM＝S△AOM，
∴S△ABM＝S△AOM+S△BOM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1，则k＝±2．
又由于反比例函数位于一三象限，k＞0，故k＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
6．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣4 B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝
【分析】根据二次函数定义的条件判定则可．
【解答】解：A、y＝3x﹣4，是一次函数，错误；
B、y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，错误；
C、y＝（x+1）2﹣5，是二次函数，正确，
D、y＝，不是二次函数，错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．
【解答】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；
B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；
C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等．
8．对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点．
【分析】根据抛物线的性质由a＝2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
9．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【分析】把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值．
【解答】解：把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，
所以m2﹣m＝1，
所以m2﹣m+2019＝1+2019＝2020．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之间由负到正，故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在6.18～6.19之间．
【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选：C．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
二．填空题（共8小题）
11．如果函数y＝（m﹣1）是反比例函数，那么m的值是 ﹣1 ．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝（k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1、m﹣1≠0即可．
【解答】解：根据题意m2﹣2＝﹣1，
m＝±1，
又m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
12．一次函数y＝﹣x+1与反比例函数，x与y的对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
y＝﹣x+1 4 3 2 0 ﹣1 ﹣2
1 2 ﹣2 ﹣1 ﹣
不等式﹣x+1＞﹣的解为 x＜﹣1或0＜x＜2 ．
【分析】先判断出交点坐标，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时一次函数的值都大于反比例函数的值即可．
【解答】解：易得两个交点为（﹣1，2），（2，﹣1），经过观察可得在交点（﹣1，2）的左边或在交点（2，﹣1）的左边，y轴的右侧，相同横坐标时一次函数的值都大于反比例函数的值，所以 不等式﹣x+1＞﹣的解为x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】给出相应的函数值，求自变量的取值范围应该从交点入手思考．
13．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
14．反比例函数y＝（m+2）的图象分布在第二、四象限内，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣10＝﹣1，根据函数图象分布在第二、四象限内，可得m+2＜0，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得，m2﹣10＝﹣1且m+2＜0，
解得m1＝3，m2＝﹣3且m＜﹣2，
所以m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质，对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
15．当m ﹣2 时，y＝（m﹣2）是二次函数．
【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式解答即可．
【解答】解：根据二次函数定义，得：
m2﹣2＝2，
解得m＝±2，
又∵m﹣2≠0，
∴当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）是二次函数．
【点评】本题考查二次函数的定义．
16．抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是 （﹣4，﹣20） ．
【分析】因为直线x＝﹣4上所有点的横坐标都是﹣4，故交点的横坐标也是﹣4，再把横坐标代入抛物线解析式可求纵坐标．
【解答】解：∵当x＝﹣4时，y＝（﹣4）2+8×（﹣4）﹣4＝﹣20，
∴抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是（﹣4，﹣20）．
【点评】交点都适合这两个函数解析式，让这两个函数解析式组成方程组求解即可．
17．抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是 x＝﹣2 ．
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是x＝h即可确定．
【解答】解：∵y＝3（x+2）2﹣7，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易．
18．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为 y＝x2﹣2x ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式组求出m的范围，再在此范围内写出一个m的值即可．
【解答】解：根据题意得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得m＜1，
若m取0，抛物线解析式为y＝x2﹣2x．
故答案为y＝x2﹣2x．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三．解答题（共8小题）
19．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠0 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y 0 ﹣ ﹣1 ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： 当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小 ．
【分析】（1）根据被开方数非负以及分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（2）将x＝2代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠0．
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
（2）当x＝2时，m＝＝1．
（3）图象如图所示．
（4）观察函数图象发现：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
故答案为：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
20．有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣ ﹣ 3 m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： 该函数没有最大值，也没有最小值 ．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x＝4时的函数值为m，把x＝4代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠1，
故答案为x≠1；
（2）令x＝4，
∴y＝+4＝；
∴m＝；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
该函数没有最大值，也没有最小值；
故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
21．如图，∠AOB＝90°，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．
（1）求a和k的值；
（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y＝于另一点C，求△OBC的面积．
【分析】（1）把A（﹣1，a）代入反比例函数y＝﹣得到A（﹣1，2），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥⊥x轴于F，根据相似三角形的性质得到B（4，2），于是得到k＝4×2＝8；
（2）求的直线AO的解析式为y＝﹣2x，设直线MN的解析式为y＝﹣2x+b，得到直线MN的解析式为y＝﹣2x+10，解方程组得到C（1，8），于是得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），
∴a＝﹣＝2，
∴A（﹣1，2），
过A作AE⊥x轴于E，BF⊥⊥x轴于F，
∴AE＝2，OE＝1，
∵AB∥x轴，
∴BF＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，
∴∠EAO＝∠BOF，
∴△AEO∽△OFB，
∴，
∴OF＝4，
∴B（4，2），
∴k＝4×2＝8；
（2）∵直线OA过A（﹣1，2），
∴直线AO的解析式为y＝﹣2x，
∵MN∥OA，
∴设直线MN的解析式为y＝﹣2x+b，
∴2＝﹣2×4+b，
∴b＝10，
∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+10，
∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，
∴M（5，0），N（0，10），
解得，或，
∴C（1，8），
∴△OBC的面积＝S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM＝5×10﹣×10×1﹣×5×2＝15．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．
（1）若OA＝4，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案；
（2）首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出CO的长．
【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝4，
∴AE＝BE＝2．
在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，
∴CE＝，
∵OA＝4，
∴C点的坐标为：（，2），
∵点C在的图象上，
∴k＝5，
（2）设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC＝，
∴AD＝，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）．
∵点C，D都在的图象上，
∴m＝2（m﹣），
∴m＝6，
∴C点的坐标为：（，2），
作CF⊥x轴，垂足为F，
∴OF＝，CF＝2，
在Rt△OFC中，
OC2＝OF2+CF2，
∴OC＝．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出C点坐标是解题关键．
23．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；
（2）列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 …
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出y＜0时，x的取值．
24．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标 （﹣3，2） ；
（2）对称轴为 x＝﹣3 ；
（3）当x＝ ﹣3 时，y有最大值是 2 ；
（4）当 x＜﹣3 时，y随着x得增大而增大．
（5）当 ﹣5＜x＜﹣1 时，y＞0．
【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；
（4）根据二次函数的性质即可求解；
（5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点（﹣5，0），（﹣1，0），
∴顶点横坐标为＝﹣3，
由图可知顶点纵坐标为2，
∴顶点坐标为（﹣3，2）；
（2）对称轴为x＝﹣3；
（3）当x＝﹣3时，y有最大值是2；
（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大；
（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．
故答案为（1）（﹣3，2）；（2）x＝﹣3；（3）﹣3，2；（4）x＜﹣3；（5）﹣5＜x＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）根据函数与方程的关系，当y＝0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）根据函数的性质可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围；
（3）方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，即函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝k有两个交点，据此即可直接求出k的取值范围．
【解答】解：（1）当y＝0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由图可知，
方程的两个根为x1＝1，x2＝3．
（2）根据函数图象，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时，x＞2．
（3）如图：
方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，即函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝k有两个交点，
此时，k＜2．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性．
26．阅读下面材料：
上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1＝x2﹣2x﹣1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是 a＜﹣2 ．
参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x﹣4＝在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
【分析】请结合小捷的思路回答：直接根据函数的顶点坐标可得出a的取值范围；设y1＝x2﹣4x+3，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2＝a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可得出结论．
【解答】解：请结合小捷的思路回答：
由函数图象可知，a＜﹣2时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立．
故答案为：a＜﹣2．
解决问题：将原方程转化为x2﹣4x+3＝a，
设y1＝x2﹣4x+3，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2＝a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可知，a的取值范围是：﹣1＜a＜3．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．