2020年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
一.选择题(共10小题)
1.已知=,那么下列式子中一定成立的是( )
A.4m=3n B.3m=4n C.m=4n D.mn=12
2.在比例尺是1:40000的地图上,若某条道路长约为5cm,则它的实际长度约为( )
A.0.2km B.2km C.20km D.200km
3.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式中成立的是( )
A.AB2=AC?CB B.CB2=AC?AB C.AC2=BC?AB D.AC2=2BC?AB
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则AC的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.下列图形一定相似的是( )
A.两个矩形
B.两个等腰梯形
C.有一个内角相等的两个菱形
D.对应边成比例的两个四边形
6.如图,△OAB∽△OCD,OA:OC=3:2,∠A=α,∠C=β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.如图,下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )
A.∠ADC=∠ACB B. C.∠ACD=∠B D.AC2=AD?AB
8.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,∠B=∠DAC,AC=8,BC=16,那么CD( )
A.4 B.6 C.8 D.10
9.一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米;此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( )
A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
10.如图,已知△ABC,任取一点O,连AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法正确的个数是( )
①△ABC与△DEF是位似图形; ②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长比为1:2;④△ABC与△DEF的面积比为4:1.
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题(共8小题)
11.如果x:y:z=1:3:5,那么= .
12.若x是3和6的比例中项,则x= .
13.已知P是线段AB的黄金分割点,AB=6cm,AP>BP,那么AP= cm.
14.如图△ABC中,DE∥BC,AD:BD=1:2,则DE:BC= .
15.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,则此三角形的周长扩大为原来的 倍.
16.如果两个相似三角形的面积的比是4:9,那么它们对应的角平分线的比是 .
17.在△ABC中,AB=9,AC=6.点M在边AB上,且AM=3,点N在AC边上.当AN= 时,△AMN与原三角形相似.
18.如图,AB∥CD,AD、BC相交于点E,过E作EF∥CD交BD于点F,如果AB:CD=2:3,EF=6,那么CD的长等于 .
三.解答题(共8小题)
19.已知,求和的值.
20.某考察队从营地P处出发,沿北偏东60°前进了5千米到达A地,再沿东南方向前进到达C地,C地恰好在P地的正东方向.回答下列问题:
(1)用1cm代表1千米,画出考察队行进路线图;
(2)量出∠PAC和∠ACP的度数(精确到1°);
(3)测算出考察队从A到C走了多少千米?此时他们离开营地多远?(精确到0.1千米).
21.一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图,是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿多高的鞋子才能好看?(精确到1cm)
参考数据:黄金分割比为,=2.236.
22.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点,直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点,若=,DE=2,求EF的长.
23.定义:若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自相似图形.
探究:
(1)如图甲,已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗?若能,请在图甲中画出分割线,并说明理由.
(2)一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连接三角形各边中点,则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割,称为1阶分割(如图1);把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割,称为2阶分割(如图2)…依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数),设此时小三角形的面积为SN.
①若△DEF的面积为10000,当n为何值时,2<Sn<3?(请用计算器进行探索,要求至少写出三次的尝试估算过程)
②当n>1时,请写出一个反映Sn﹣1,Sn,Sn+1之间关系的等式.(不必证明)
24.求证:相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比.
要求:①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线,不写作法,保留作图痕迹;
②在完成作图的基础上,写出已知、求证,并加以证明.
25.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E,F分别在边AC,BC上).
(1)若△CEF与△ABC相似,①当AC=BC=2时,AD的长为 .②AC=3,BC=4时,AD的长为 .
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.
26.如图,在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F,延长BC到点E,使得四边形ACED是一个平行四边形,平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H.
(1)证明:DG2=FG?BG;
(2)若AB=5,BC=6,则线段GH的长度.
2020年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.已知=,那么下列式子中一定成立的是( )
A.4m=3n B.3m=4n C.m=4n D.mn=12
【分析】根据比例的性质:分子分母交叉相乘,可得答案.
【解答】解:由=,得4m=3n.
A、4m=3n,故A正确;
B、4m=3n,故B错误;
C、m=,故C错误;
D、4m=3n,故D错误;
故选:A.
【点评】本题考查了比例的性质,利用比例的性质:分子分母交叉相乘是解题关键.
2.在比例尺是1:40000的地图上,若某条道路长约为5cm,则它的实际长度约为( )
A.0.2km B.2km C.20km D.200km
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,依题意列比例式直接求解即可.
【解答】解:设这条道路的实际长度为x,则:=,
解得x=200000cm=2km.
∴这条道路的实际长度为2km.
故选:B.
【点评】本题考查比例线段问题,解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程,注意单位的转换.
3.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式中成立的是( )
A.AB2=AC?CB B.CB2=AC?AB C.AC2=BC?AB D.AC2=2BC?AB
【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值()叫做黄金比.
【解答】解:根据线段黄金分割的定义得:AC2=BC?AB.
故选:C.
【点评】本题主要考查了黄金分割的概念,找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键,难度适中.
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则AC的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】根据平行线分线段成比例求出EC,即可解答.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴,即,
解得:EC=2,
∴AC=AE+EC=4+2=6;
故选:C.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理,解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理.
5.下列图形一定相似的是( )
A.两个矩形
B.两个等腰梯形
C.有一个内角相等的两个菱形
D.对应边成比例的两个四边形
【分析】根据相似图形的定义,四条边对应成比例,四个角对应相等,对各选项分析判断后利用排除法解答.
【解答】解:A、两个矩形,对应角相等,都是直角,但四条边不一定对应成比例,故本选项错误;
B、两个等腰梯形,四个角不一定对应相等,边也不一定对应成比例,所以不一定相似,故本选项错误;
C、两个菱形,有一个角相等,则其它角也对应相等,而四条边都相等,所以对应成比例,所以相似,故本选项正确;
D、对应边成比例,对应角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误.
故选:C.
【点评】本题主要考查相似图形的定义,熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形的性质是解题的关键.
6.如图,△OAB∽△OCD,OA:OC=3:2,∠A=α,∠C=β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据相似三角形的性质判断即可.
【解答】解:∵△OAB∽△OCD,OA:OC=3:2,∠A=α,∠C=β,
∴,A错误;
∴,C错误;
∴,D正确;
不能得出,B错误;
故选:D.
【点评】本题考查了相似三角形的性质,熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键.
7.如图,下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )
A.∠ADC=∠ACB B. C.∠ACD=∠B D.AC2=AD?AB
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得.
【解答】解:A、由∠ADC=∠ACB,∠A=∠A可得△ACD∽△ABC,此选项不符合题意;
B、由不能判定△ACD∽△ABC,此选项符合题意;
C、由∠ACD=∠B,∠A=∠A可得△ACD∽△ABC,此选项不符合题意;
D、由AC2=AD?AB,即=,且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC,此选项不符合题意;
故选:B.
【点评】本题主要考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理.
8.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,∠B=∠DAC,AC=8,BC=16,那么CD( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【分析】证明△ABC∽△DAC,得出=,即可得出CD的长.
【解答】解:∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△DAC,
∴=,
∴AC2=CD×BC,即82=CD×16,
解得:CD=4;
故选:A.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质;熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
9.一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米;此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( )
A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
【分析】根据题意,标杆、光线、影长组成的三角形与水杉、水杉影长、光线所组成的三角形相似,故可利用相似三角形的性质解答.
【解答】解:根据,
列方程可得到结论,设水杉的高是x米.则
即=,
解得:x=7.5
则这棵水杉树高为7.5米.
故选:A.
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通解方程求出树的高度,体现了方程的思想.
10.如图,已知△ABC,任取一点O,连AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法正确的个数是( )
①△ABC与△DEF是位似图形; ②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长比为1:2;④△ABC与△DEF的面积比为4:1.
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据位似图形的性质,得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形,再根据周长比等于位似比,以及根据面积比等于相似比的平方,即可得出答案.
【解答】解:根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形,
②△ABC与△DEF是相似图形,
∵将△ABC的三边缩小的原来的,
∴△ABC与△DEF的周长比为2:1,
故③选项错误,
根据面积比等于相似比的平方,
∴④△ABC与△DEF的面积比为4:1.
故选:C.
【点评】此题主要考查了位似图形的性质,正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键.
二.填空题(共8小题)
11.如果x:y:z=1:3:5,那么= ﹣ .
【分析】根据x:y:z=1:3:5,可以设x=k,y=3k,z=5k,把这三个式子代入所要求的式子,进行化简就可以求出式子的值.
【解答】解:∵x:y:z=1:3:5,
设x=k,y=3k,z=5k,
则==﹣.
【点评】掌握本题的设法,把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题,是解题的关键.
12.若x是3和6的比例中项,则x= ±3 .
【分析】根据比例中项的概念,得x2=3×6,即可求出x的值.
【解答】解:∵x是3和6的比例中项,
∴x2=3×6=18,
解得x=±3.
故答案为;±3.
【点评】本题考查了比例线段,用到的知识点是比例中项的概念:当比例式中的两个内项相同时,即叫比例中项,求比例中项根据比例的基本性质进行计算.
13.已知P是线段AB的黄金分割点,AB=6cm,AP>BP,那么AP= 3(﹣1) cm.
【分析】根据黄金分割的概念得到AP=AB,把AB=6cm代入计算即可.
【解答】解:∵P是线段AB的黄金分割点,AP>BP,
∴AP=AB,
而AB=6cm,
∴AP=6×=3(﹣1)cm.
故答案为3(﹣1).
【点评】本题考查了黄金分割的概念:如果一个点把一条线段分成两条线段,并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,那么就说这个点把这条线段黄金分割,这个点叫这条线段的黄金分割点;较长线段是整个线段的倍.
14.如图△ABC中,DE∥BC,AD:BD=1:2,则DE:BC= 1:3 .
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解答.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴AD:AB=DE:BC,
∵AD:BD=1:2,
∴AD:AB=1:3,
∴DE:BC=1:3.
【点评】考查平行线分线段成比例定理,对应线段一定要找准确,本题注意将AD:BD=1:2转化为AD:AB=1:3.
15.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,则此三角形的周长扩大为原来的 5 倍.
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解.
【解答】解:∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,
∴扩大后的三角形与原三角形相似,
∵相似三角形的周长的比等于相似比,
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍,
故答案为:5.
【点评】本题考查了相似三角形的性质:相似三角形的周长的比等于相似比.
16.如果两个相似三角形的面积的比是4:9,那么它们对应的角平分线的比是 2:3 .
【分析】先根据相似三角形面积的比求出其相似比,再根据其对应的角平分线的比等于相似比即可解答.
【解答】解:∵两个相似三角形的面积比是4:9,
∴这两个相似三角形的相似比是2:3,
∵其对应角平分线的比等于相似比,
∴它们对应的角平分线比是2:3.
故答案为2:3.
【点评】本题考查的是相似三角形的性质,即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比;面积的比等于相似比的平方.
17.在△ABC中,AB=9,AC=6.点M在边AB上,且AM=3,点N在AC边上.当AN= 2或4.5 时,△AMN与原三角形相似.
【分析】分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
【解答】解:由题意可知,AB=9,AC=6,AM=3,
①若△AMN∽△ABC,
则=,
即=,
解得:AN=2;
②若△AMN∽△ACB,
则=,
即=,
解得:AN=4.5;
故AN=2或4.5.
故答案为:2或4.5.
【点评】此题考查了相似三角形的性质.此题难度适中,注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键.
18.如图,AB∥CD,AD、BC相交于点E,过E作EF∥CD交BD于点F,如果AB:CD=2:3,EF=6,那么CD的长等于 15 .
【分析】由△ABE∽△DCE,推出==,可得=,再证明△BEF∽△BCD,可得==,由此即可解决问题.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴△ABE∽△DCE,
∴==,
∴=,
∵EF∥CD,
∴△BEF∽△BCD,
∴==,
∵EF=6,
∴CD=15,
故答案为15.
【点评】本题考查平行线的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
三.解答题(共8小题)
19.已知,求和的值.
【分析】根据比例的性质用b表示出a,用d表示出c,然后分别代入比例式进行计算即可得解.
【解答】解:∵==2,
∴a=2b,c=2d,
∴==,
==.
【点评】本题考查了比例的性质,是基础题,分别用b表示出a,用d表示出c是解题的关键.
20.某考察队从营地P处出发,沿北偏东60°前进了5千米到达A地,再沿东南方向前进到达C地,C地恰好在P地的正东方向.回答下列问题:
(1)用1cm代表1千米,画出考察队行进路线图;
(2)量出∠PAC和∠ACP的度数(精确到1°);
(3)测算出考察队从A到C走了多少千米?此时他们离开营地多远?(精确到0.1千米).
【分析】(1)先画出方向标,再确定方位角、比例尺作图;
(2)动手操作利用量角器测量即可;
(3)先利用刻度尺测量出图上距离,再根据比例尺换算成实际距离.
【解答】解:(1)路线图(6分)(P、A、C点各2分)
注意:起点是必须在所给的图形中画,否则即使画图正确扣;(2分)
(2)量得∠PAC≈105°,∠ACP≈45°;(9分)(只有1个正确得2分)
(3)量路线图得AC≈3.5厘米,PC≈6.8厘米.
∴AC≈3.5千米;PC≈6.8千米(13分)
【点评】主要考查了方位角的作图能力.要会根据比例尺准确的作图,并根据图例测算出实际距离.
21.一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图,是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿多高的鞋子才能好看?(精确到1cm)
参考数据:黄金分割比为,=2.236.
【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值()叫做黄金比.
【解答】解:设应穿xcm高的鞋子,
根据题意,得.
解得x=10cm.
【点评】理解黄金分割的概念,找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.
22.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点,直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点,若=,DE=2,求EF的长.
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到=,然后把有关数据代入计算即可.
【解答】解:∵l1∥l2∥l3,直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点,直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点,
∴=,
∵=,DE=2,
∴=,
解得:DF=3.5,
∴EF=DF﹣DE=3.5﹣2=1.5.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
23.定义:若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自相似图形.
探究:
(1)如图甲,已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗?若能,请在图甲中画出分割线,并说明理由.
(2)一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连接三角形各边中点,则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割,称为1阶分割(如图1);把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割,称为2阶分割(如图2)…依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数),设此时小三角形的面积为SN.
①若△DEF的面积为10000,当n为何值时,2<Sn<3?(请用计算器进行探索,要求至少写出三次的尝试估算过程)
②当n>1时,请写出一个反映Sn﹣1,Sn,Sn+1之间关系的等式.(不必证明)
【分析】(1)过直角顶点作斜边的垂线即可得出两个与原直角三角形相似的三角形.由于这两个三角形都与原三角形共用一个锐角,又都有一个直角,因此有两个对应角相等,因此都与原三角形相似.
(2)由图可知,每分割一次得到的图形的小三角形的个数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍,因此当第n个图时,如果设原三角形的面积为S,那么小三角形的面积应该是Sn=,
①按所求的公式进行计算,看n是多少时Sn的值在2和3之间.
②Sn==,Sn﹣1==,Sn+1==
由此可看出Sn2=Sn﹣1?Sn+1
【解答】解:(1)如图:割线CD就是所求的线段.
理由:∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°,
∴△BCD∽△ACB.
(2)①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为,
∴Sn=.
当n=5时,S5=≈9.77,
当n=6时,S6=≈2.44,
当n=7时,S7=≈0.61,
∴当n=6时,2<S6<3.
②Sn2=Sn﹣1×Sn+1.
【点评】本题考查的是相似形的识别,关键要联系实际,根据相似图形的定义得出.要根据前面几个简单图形得出一般化规律,然后用得出的规律来求解.
24.求证:相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比.
要求:①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线,不写作法,保留作图痕迹;
②在完成作图的基础上,写出已知、求证,并加以证明.
【分析】①根据题意画出图形即可;
②根据画出的图形,写出已知,求证,然后根据相似三角形对应角相等可得∠B=∠B1,∠BAC=∠B1A1C1,再根据角平分线的定义求出∠BAD=∠B1A1D1,然后利用两组角对应相等两三角形相似,根据相似三角形对应边成比例列式证明即可.
【解答】解:①如图所示,AG,DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线;
②已知:如图,△ABC∽△DEF,===k,AG,DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线.
求证:=k;
证明:∵AG,DH分别是△ABC与△DEF的角平分线,
∴∠BAG=∠BAC,∠EDH=∠EDF,
∵△ABC∽△DEF,
∴∠BAC=∠EDF,∠B=∠E,
∴∠BAG=∠EDH,
∴△ABGC∽△DEH,
∴==k.
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定,主要利用了相似三角形对应角相等的性质,相似三角形对应边成比例的性质,以及两组角对应相等两三角形相似的判定方法,要注意文字叙述性命题的证明格式.
25.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E,F分别在边AC,BC上).
(1)若△CEF与△ABC相似,①当AC=BC=2时,AD的长为 .②AC=3,BC=4时,AD的长为 1.8或2.5 .
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.
【分析】(1)①当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形;
②若△CEF与△ABC相似,分两种情况:①若CE:CF=3:4,如图1所示,此时EF∥AB,CD为AB边上的高;②若CF:CE=3:4,如图2所示.由相似三角形角之间的关系,可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD,从而得到CD=AD=BD,即D点为AB的中点;
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似.可以推出∠CFE=∠A,∠C=∠C,从而可以证明两个三角形相似.
【解答】解:(1)若△CEF与△ABC相似.
当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形,如图1所示.
此时D为AB边中点,AD=AC=;
故答案为:;
②若△CEF与△ABC相似,分两种情况:
①若CE:CF=3:4,如图1所示.
∵CE:CF=AC:BC,
∴EF∥AB.
由折叠性质可知,CD⊥EF,
∴CD⊥AB,即此时CD为AB边上的高.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB==5,
∴cosA==,
∴AD=AC?cosA=3×=1.8;
②若CF:CE=3:4,如图2所示.
∵△CEF∽△CBA,
∴∠CEF=∠B.
由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°,
又∵∠A+∠B=90°,
∴∠A=∠ECD,
∴AD=CD.
同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD,
∴D点为AB的中点,
∴AD=AB=×5=2.5.
综上所述,AD的长为1.8或2.5.
故答案为:1.8或2.5.
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△CBA相似.理由如下:
如答图2所示,连接CD,与EF交于点Q.
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD=DB=AB,
∴∠DCB=∠B.
由折叠性质可知,∠CQF=∠DQF=90°,
∴∠DCB+∠CFE=90°,
∵∠B+∠A=90°,
∴∠CFE=∠A,
又∵∠ACB=∠ACB,
∴△CEF∽△CBA.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.
26.如图,在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F,延长BC到点E,使得四边形ACED是一个平行四边形,平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H.
(1)证明:DG2=FG?BG;
(2)若AB=5,BC=6,则线段GH的长度.
【分析】(1)由已知可证得△ADG∽△EBG,△AGF∽△EGD,根据相似三角形的对应边成比例即可得到DG2=FG?BG;
(2)由已知可得到DH,AH的长,又因为△ADG∽△EBG,从而求得AG的长,则根据GH=AH﹣AG就得到了线段GH的长度.
【解答】解:(1)证明:∵ABCD是矩形,且AD∥BC,
∴△ADG∽△EBG.
∴=.
又∵△AGF∽△DGE,
∴=.
∴=.
∴DG2=FG?BG.
(2)∵ACED为平行四边形,AE,CD相交点H,
∴DH=DC=AB=.
∴在直角三角形ADH中,AH2=AD2+DH2
∴AH=.
又∵△ADG∽△BGE,
∴==.
∴AG=GE=×AE=×13=.
∴GH=AH﹣AG=﹣=.
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定,平行四边形的性质及矩形的性质等知识点的掌握情况.