2020年沪科新版九年级上册数学第23章解直角三角形单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年沪科新版九年级上册数学第23章解直角三角形单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 468.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-07 09:10:04 | ||
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文档简介
2020年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
6．用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，AC＝10，则S△ABC等于（ ）
A．3 B．300 C． D．150
8．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
9．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
10．如图，下列角中为俯角的是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
二．填空题（共8小题）
11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 ．
12．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题的序号都填上）．
13．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于 ．
14．计算：cot44°?cot45°?cot46°＝ ．
15．sin260°+cos260°﹣tan45°＝ ．
16．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，并利用此规律比较当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα cosβ．
17．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 cm2．
18．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为 m．
三．解答题（共8小题）
19．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
23．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
24．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．
（1）填空：AD AC（填“＞”，“＜”，“＝”）．
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）．
25．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）
26．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．
2020年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，
∴tanA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．
2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；
再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析．
【解答】解：∵sin30°＝cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选：C．
【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝sinA，
∵sinA＝，
∴cosB＝．
故选：B．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设BC＝2x，AB＝3x，由勾股定理求出AC＝x，代入tanB＝求出即可．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝2x，AB＝3x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∴tanB＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
5．已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：∵sinα＝cos60°＝，
∴α＝30°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
6．用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：用计算器解cos44°＝0.72．
故选：B．
【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，AC＝10，则S△ABC等于（ ）
A．3 B．300 C． D．150
【分析】tanA＝＝3，已知AC，即可求得BC的长从而求出面积．
【解答】解：∵tanA＝＝3，
∴BC＝AC?tanA＝10×3＝30，
∴S△ABC＝AC?BC＝×10×30＝150，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，关键是三角函数的应用，已知直角三角形的一个锐角，及其中一条直角边，就可以求出另外的直角边．
8．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
【分析】通过解直角△ADE得到DE的长度，然后由矩形ABCE的性质求得CE的长度，易得CD＝CE+DE．
【解答】解：在直角△ADE中，∠DAE＝α，AE＝5米，tan，
∴tanα＝＝＝，
∴DE＝1.5米．
又CE＝AB＝1.7米，
∴CD＝CE+DE＝3.2米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
9．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
【分析】利用坡比的比值关系，求出AE与BF的长度即可得出下底的长．
【解答】解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C．
【点评】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长．
10．如图，下列角中为俯角的是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【分析】利用仰角与俯角的定义，直接判断得出答案．
【解答】解：根据俯角的定义，首先确定水平线，水平线以下与视线的夹角，即是俯角．
故选：C．
【点评】此题主要考查了俯角的定义，题目比较简单．
二．填空题（共8小题）
11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 ．
【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可．
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
12．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是 ①④ （注：把所有正确命题的序号都填上）．
【分析】一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小；
判定三角形求全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS；
一元二次方程的根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数，两根之积等于常数项除以二次项系数；
半小时每个分裂成2个，则2小时由1个分裂为24个．
【解答】解：①因为sin45°＝cos45°＝，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；
②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；
③根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝．
∴x1+x2+x1x2＝，是正数．
故此选项错误；
④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．
故正确的有①④．
【点评】此题涉及的知识的综合性较强．
综合考查了锐角三角函数的知识、全等三角形的判定方法、一元二次方程根与系数的关系等知识．
13．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于 ．
【分析】根据cosA＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
【解答】解：∵cosA＝知，设b＝3x，则c＝5x，根据a2+b2＝c2得a＝4x．
∴tanA＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
14．计算：cot44°?cot45°?cot46°＝ 1 ．
【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．
【解答】解：cot44°?cot45°?cot46°＝cot44°?cot46°?cot45°＝1?cot45°＝1．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．
15．sin260°+cos260°﹣tan45°＝ 0 ．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式＝（）2+（）2﹣1
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
16．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，并利用此规律比较当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα ＞ cosβ．
【分析】熟练应用计算器求值，总结三角函数的规律．
【解答】解：用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，可发现在0°到90°之间，角越大，余弦值越小；故当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα＞cosβ．
故答案为＞．
【点评】借助计算器计算的结果，发现并总结应用规律解题．
17．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 2 cm2．
【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
18．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为 （50﹣） m．
【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM＝BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN＝AB．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．
则AB＝MN，AM＝BN．
在直角△ACM，∵∠ACM＝45°，AM＝50m，
∴CM＝AM＝50m．
∵在直角△BCN中，∠BCN＝∠ACB+∠ACD＝60°，BN＝50m，
∴CN＝＝＝（m），
∴MN＝CM﹣CN＝50﹣（m）．
则AB＝MN＝（50﹣）m．
故答案是：（50﹣）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
三．解答题（共8小题）
19．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE＝∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【解答】解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE+∠BFC＝90°，
而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC＝90°，
易得∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC，
根据折叠的性质，有CF＝CD，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理易得：BF＝6，
则tan∠BCF＝；
故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝；
答：tan∠AFE＝．
【点评】本题考查折叠的性质，注意在折叠变化中，线段的位置一定变化与长度是否变化，及变化前后的关系．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°
＝
＝
＝．
【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．
23．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
【分析】（1）如图，作∠BAC＝90°，且边AC＝3，才能满足条件；
（2）作DE＝2，连接DF，则△DEF是以EF为边且面积为3的三角形，连接BD，CD，则∠CBD＝45°．
【解答】解：（1）如图，
由勾股定理得：AB＝＝2，
AC＝＝3，BC＝＝，
∴AB2+AC2＝（2）2+（3）2＝26，
BC2＝（）2＝26，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
tan∠ACB＝＝＝；
（2）如图，∵S△DEF＝×2×3＝3，
∵BC＝，CD＝＝，BD＝＝，
∴BC2+CD2＝52，BD2＝52，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠CBD＝45°，
∴CD＝．
【点评】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
24．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．
（1）填空：AD ＝ AC（填“＞”，“＜”，“＝”）．
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）．
【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB，过D作DF⊥AB于F，根据△ADF是等腰直角三角形，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由图形可得：ADA＝C；
（2）设绳子AC的长为x米；
在△ABC中，AB＝AC?sin60°，
过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠ADF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF＝x?sin45°，
∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x?sin60°﹣x?sin45°＝1.6，
解得：x＝10，
∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），
答：旗杆AB的高度为8.7m．
故答案为：＝．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握三角函数，根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中．
25．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 2.3 米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）
【分析】据题意得出tanB＝，即可得出tanA，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF＝3x的长．
【解答】解：据题意得tanB＝，
∵MN∥AD，
∴∠A＝∠B，
∴tanA＝，
∵DE⊥AD，
∴在Rt△ADE中，tanA＝，
∵AD＝9，
∴DE＝3，
又∵DC＝0.5，
∴CE＝2.5，
∵CF⊥AB，
∴∠FCE+∠2＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠A+∠CEF＝90°，
∴∠A＝∠FCE，
∴tan∠FCE＝
在Rt△CEF中，CE2＝EF2+CF2
设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，
代入得（）2＝x2+（3x）2
解得x＝（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x＝±，舍负”），
∴CF＝3x＝≈2.3，
∴该停车库限高2.3米．
故答案为2.3．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．
26．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．
【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根据BC﹣AB＝20m，可求得塔BD的高度．
【解答】解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20m．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠BDA＝45°，
∴AB＝BD．
在Rt△BDC中，
∵tan∠BCD＝，
∴＝，
则BC＝BD，
又∵BC﹣AB＝AC，
∴BD﹣BD＝20，
解得：BD＝＝10+10（m）．
答：古塔BD的高度为（）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角建立直角三角形，利用解直角三角形的知识分别用BD表示出AB、BC的长度．
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
6．用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，AC＝10，则S△ABC等于（ ）
A．3 B．300 C． D．150
8．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
9．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
10．如图，下列角中为俯角的是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
二．填空题（共8小题）
11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 ．
12．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题的序号都填上）．
13．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于 ．
14．计算：cot44°?cot45°?cot46°＝ ．
15．sin260°+cos260°﹣tan45°＝ ．
16．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，并利用此规律比较当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα cosβ．
17．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 cm2．
18．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为 m．
三．解答题（共8小题）
19．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
23．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
24．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．
（1）填空：AD AC（填“＞”，“＜”，“＝”）．
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）．
25．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）
26．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．
2020年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，
∴tanA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．
2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；
再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析．
【解答】解：∵sin30°＝cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选：C．
【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝sinA，
∵sinA＝，
∴cosB＝．
故选：B．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设BC＝2x，AB＝3x，由勾股定理求出AC＝x，代入tanB＝求出即可．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝2x，AB＝3x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∴tanB＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
5．已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：∵sinα＝cos60°＝，
∴α＝30°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
6．用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：用计算器解cos44°＝0.72．
故选：B．
【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，AC＝10，则S△ABC等于（ ）
A．3 B．300 C． D．150
【分析】tanA＝＝3，已知AC，即可求得BC的长从而求出面积．
【解答】解：∵tanA＝＝3，
∴BC＝AC?tanA＝10×3＝30，
∴S△ABC＝AC?BC＝×10×30＝150，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，关键是三角函数的应用，已知直角三角形的一个锐角，及其中一条直角边，就可以求出另外的直角边．
8．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
【分析】通过解直角△ADE得到DE的长度，然后由矩形ABCE的性质求得CE的长度，易得CD＝CE+DE．
【解答】解：在直角△ADE中，∠DAE＝α，AE＝5米，tan，
∴tanα＝＝＝，
∴DE＝1.5米．
又CE＝AB＝1.7米，
∴CD＝CE+DE＝3.2米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
9．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
【分析】利用坡比的比值关系，求出AE与BF的长度即可得出下底的长．
【解答】解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C．
【点评】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长．
10．如图，下列角中为俯角的是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【分析】利用仰角与俯角的定义，直接判断得出答案．
【解答】解：根据俯角的定义，首先确定水平线，水平线以下与视线的夹角，即是俯角．
故选：C．
【点评】此题主要考查了俯角的定义，题目比较简单．
二．填空题（共8小题）
11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 ．
【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可．
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
12．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是 ①④ （注：把所有正确命题的序号都填上）．
【分析】一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小；
判定三角形求全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS；
一元二次方程的根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数，两根之积等于常数项除以二次项系数；
半小时每个分裂成2个，则2小时由1个分裂为24个．
【解答】解：①因为sin45°＝cos45°＝，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；
②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；
③根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝．
∴x1+x2+x1x2＝，是正数．
故此选项错误；
④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．
故正确的有①④．
【点评】此题涉及的知识的综合性较强．
综合考查了锐角三角函数的知识、全等三角形的判定方法、一元二次方程根与系数的关系等知识．
13．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于 ．
【分析】根据cosA＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
【解答】解：∵cosA＝知，设b＝3x，则c＝5x，根据a2+b2＝c2得a＝4x．
∴tanA＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
14．计算：cot44°?cot45°?cot46°＝ 1 ．
【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．
【解答】解：cot44°?cot45°?cot46°＝cot44°?cot46°?cot45°＝1?cot45°＝1．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．
15．sin260°+cos260°﹣tan45°＝ 0 ．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式＝（）2+（）2﹣1
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
16．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，并利用此规律比较当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα ＞ cosβ．
【分析】熟练应用计算器求值，总结三角函数的规律．
【解答】解：用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，可发现在0°到90°之间，角越大，余弦值越小；故当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα＞cosβ．
故答案为＞．
【点评】借助计算器计算的结果，发现并总结应用规律解题．
17．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 2 cm2．
【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
18．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为 （50﹣） m．
【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM＝BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN＝AB．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．
则AB＝MN，AM＝BN．
在直角△ACM，∵∠ACM＝45°，AM＝50m，
∴CM＝AM＝50m．
∵在直角△BCN中，∠BCN＝∠ACB+∠ACD＝60°，BN＝50m，
∴CN＝＝＝（m），
∴MN＝CM﹣CN＝50﹣（m）．
则AB＝MN＝（50﹣）m．
故答案是：（50﹣）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
三．解答题（共8小题）
19．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE＝∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【解答】解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE+∠BFC＝90°，
而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC＝90°，
易得∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC，
根据折叠的性质，有CF＝CD，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理易得：BF＝6，
则tan∠BCF＝；
故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝；
答：tan∠AFE＝．
【点评】本题考查折叠的性质，注意在折叠变化中，线段的位置一定变化与长度是否变化，及变化前后的关系．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°
＝
＝
＝．
【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．
23．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
【分析】（1）如图，作∠BAC＝90°，且边AC＝3，才能满足条件；
（2）作DE＝2，连接DF，则△DEF是以EF为边且面积为3的三角形，连接BD，CD，则∠CBD＝45°．
【解答】解：（1）如图，
由勾股定理得：AB＝＝2，
AC＝＝3，BC＝＝，
∴AB2+AC2＝（2）2+（3）2＝26，
BC2＝（）2＝26，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
tan∠ACB＝＝＝；
（2）如图，∵S△DEF＝×2×3＝3，
∵BC＝，CD＝＝，BD＝＝，
∴BC2+CD2＝52，BD2＝52，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠CBD＝45°，
∴CD＝．
【点评】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
24．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．
（1）填空：AD ＝ AC（填“＞”，“＜”，“＝”）．
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）．
【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB，过D作DF⊥AB于F，根据△ADF是等腰直角三角形，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由图形可得：ADA＝C；
（2）设绳子AC的长为x米；
在△ABC中，AB＝AC?sin60°，
过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠ADF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF＝x?sin45°，
∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x?sin60°﹣x?sin45°＝1.6，
解得：x＝10，
∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），
答：旗杆AB的高度为8.7m．
故答案为：＝．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握三角函数，根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中．
25．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 2.3 米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）
【分析】据题意得出tanB＝，即可得出tanA，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF＝3x的长．
【解答】解：据题意得tanB＝，
∵MN∥AD，
∴∠A＝∠B，
∴tanA＝，
∵DE⊥AD，
∴在Rt△ADE中，tanA＝，
∵AD＝9，
∴DE＝3，
又∵DC＝0.5，
∴CE＝2.5，
∵CF⊥AB，
∴∠FCE+∠2＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠A+∠CEF＝90°，
∴∠A＝∠FCE，
∴tan∠FCE＝
在Rt△CEF中，CE2＝EF2+CF2
设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，
代入得（）2＝x2+（3x）2
解得x＝（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x＝±，舍负”），
∴CF＝3x＝≈2.3，
∴该停车库限高2.3米．
故答案为2.3．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．
26．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．
【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根据BC﹣AB＝20m，可求得塔BD的高度．
【解答】解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20m．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠BDA＝45°，
∴AB＝BD．
在Rt△BDC中，
∵tan∠BCD＝，
∴＝，
则BC＝BD，
又∵BC﹣AB＝AC，
∴BD﹣BD＝20，
解得：BD＝＝10+10（m）．
答：古塔BD的高度为（）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角建立直角三角形，利用解直角三角形的知识分别用BD表示出AB、BC的长度．