第十二课时 正弦函数、余弦函数的图象
教学目标：
会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象，用诱导公式画出余弦函数的图象，会用“五点法”画正、余弦函数的图象；培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.
教学重点：
用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线.
教学难点：
利用单位圆画正弦曲线.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
以前，我们已经学过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等，对于各种函数我们都讨论过它的图象及性质.那么，现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢?今天，我们就来探讨一下.
Ⅱ.讲授新课
三角函数线是三角函数的一种几何表示法，确切地说，就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法.
作函数的图象，最基本的方法是列表描点法.作三角函数的图象，为了精确，我们借助单位圆中的三角函数线来作.
下面，我们利用单位圆中的正弦线来画一下正弦函数的图象.
首先，在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以Ｏ1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙Ｏ1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、、、、…2π等角的正弦线(例如有向线段O1B对应于 角的正弦线)，相应地，再把x轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于 角的点)，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点 重合).再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来.
这时，我们看到的这段光滑曲线就是函数y＝sinx在x∈［0，2π］上的函数.
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈［2kπ，2(k＋1)π］， k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈［0，2π)上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sinx，x∈［0，2π)的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx在x∈R上的图象.
这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数y＝sinx在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线.
用这种方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?
在函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：
(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)
事实上，描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.
下面我们看余弦函数图象的一种画法.
由诱导公式可知：y＝cosx＝sin(＋x)＝sin(x＋)
看来，余弦函数y＝cosx，x∈R与函数y＝sin(x＋)，x∈R是同一个函数.
而y＝sin(x＋)，x∈R的图象可通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到.
现在看到的曲线也就是余弦函数y＝cosx在x∈R上的图象，即余弦曲线.
同样，可发现在函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点是以下五个：
(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)与画函数y＝sinx，x∈［0，2π］的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y＝cosx，x∈［0，2π］的简图.
下面，请同学们练习一下“五点(作图)法”
Ⅲ.课堂练习
用“五点法”分别作出y＝sinx与y＝cosx在x∈［0，2π］上的简图，并体会它们之间的关系.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要了解如何利用正弦曲线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，并会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.
Ⅴ.课后作业
预习：正弦函数、余弦函数分别具有哪些性质?
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第十六课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)
教学目标
理解振幅的定义，理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换；渗透数形结合思想，培养动与静的辩证关系，提高数学修养.
教学重点
1.理解振幅变换和周期变换的规律；
2.熟练地对y＝sinx进行振幅和周期变换.
教学难点
理解振幅变换和周期变换的规律
教学过程
Ⅰ.课题导入
在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝Asin(ωx＋)的函数解析式(其中A，ω，都是常数).下面我们讨论函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R的简图的画法.
Ⅱ.讲授新课
首先我们来看形如y＝Asinx，x∈R的简图如何来画?
［例1］画出函数y＝2sinx，x∈R，y＝sinx，x∈R的简图.
解：画简图，我们用“五点法”
∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图.
列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
2sinx 0 2 0 －2 0
sinx 0 0 － 0
描点画图：
然后利用周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右分别扩展，便可得到它们的简图.
请同学们观察它们之间的关系
(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变).
(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变).
一般地，函数y＝Asinx，x∈R(其中A＞0且A≠1)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
函数y＝Asinx，x∈R的值域是［－A，A］
ymax＝A，ymin＝－A
A称为振幅，这一变换称为振幅变换.
［例2］画出函数y＝sin2x，x∈R y＝sinx，x∈R的简图.
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期 T＝＝π
我们先画在［0，π］上的简图
令X＝2x，那么sinX＝sin2x
列表：
x 0 π
X＝2x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
描点画图：
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π
我们画［0，4π］上的简图，令x＝x
列表：
x 0 π 2π 3π 4π
X＝x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
描点画图：
利用它们各自的周期，把它们分别向左、右扩展得到它们的简图.
函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到.
函数y＝sinx，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
一般地，函数y＝sinωx，x∈R(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看作把y＝sinx，x∈R图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习，要理解并学会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换，即会画y＝Asinx，
y＝sinωx的图象，并理解它们与y＝sinx之间的关系.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)
1．判断正误
①y＝Asinωx的最大值是A，最小值是－A. ( )
②y＝Asinωx的周期是. ( )
③y＝－3sin4x的振幅是3，最大值为3，最小值是－3. ( )
2．用图象变换的方法在同一坐标系内由y＝sinx的图象画出函数y＝－sin(－2x)的图象.
3．下列变换中，正确的是 ( )
A.将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
B.将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
C.将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的相反数，即得到
y＝sinx的图象
D.将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的倍，且变为相反数，即得到y＝sinx的图象
4．试判断函数f(x)＝在下列区间上的奇偶性.
(1)x∈(－，) (2)x∈［－，］
5．求函数y＝logcos(x＋)的单调递增区间.
6．求函数y＝sin(－2x)的单调递增区间.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)答案
1．①(×) ②(×) ③(√)
2．解：∵y＝－sin(－2x)＝sin2x
评述：先化简后画图.
3．A
4．解：f(x)＝
＝＝＝
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)
∴在(－，)上f(x)为奇函数.
(2)由于x＝时，f(x)＝1，而f(－x)无意义.
∴在［－，］上函数不具有奇偶性.
5．分析：先考虑对数函数y＝logx是减函数，因此函数的增区间在u＝cos(x＋)的减区间之中，然后再考虑对数函数的定义域.
即函数的递增区间应是cos(x＋)的递减区间与cos(x＋)＞0的解集的交集.
解：依题意得
解得x∈［2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
评述：求例如sin(ωx＋)、cos(ωx＋)的单调区间时，要注意换元，即令u＝ωx＋，
由u所在区间得到x的范围.
6．求函数y＝sin(－2x)的单调递增区间.
错解：∵y＝sinx的单调递增区间是
［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)
∴2kπ－≤－2x≤2kπ＋ (k∈Z)
解得－kπ－≤x≤－kπ＋ (k∈Z)
∴函数y＝sin(－2x)的递增区间是［kπ－，kπ＋］(k∈Z)
评述：y＝sin(－2x)是y＝sint及t＝－2x的复合函数.由于t＝－2x是减函数，所以当y＝sint递增时，函数y＝sin(－2x)是减函数，上面求得的结果是函数的递减区间，可见，讨论复合函数的单调性必须分析每个函数的单调性，以免犯类似的错误.复合函数的单调性有如下规律：双增双减均为增，一增一减为减.
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第十七课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)
教学目标：
理解相位变换中的有关概念，会用相位变换画出函数的图象，会用“五点法”画出y＝sin(x＋)的简图；数形结合思想的渗透，辩证观点的培养，数学修养的培养.
教学重点：
1.相位变换中的有关概念；
2.会用相位变换画函数图象；
3.“五点法”画y＝sin(x＋)的简图.
教学难点：
理解并利用相位变换画图象.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
我们随着学习三角函数的深入，还会遇到形如y＝sin(x＋)的三角函数，这种函数的图象又该如何得到呢?今天，我们一起来探讨一下.
Ⅱ.讲授新课
［例］画出函数y＝sin(x＋)，x∈R y＝sin(x－)，x∈R的简图.
解：列表
x －
X＝x＋ 0 π 2π
sin(x＋) 0 1 0 －1 0
描点画图：
x
X＝x－ 0 π 2π
sin(x－) 0 1 0 －1 0
通过比较，发现：
函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.
函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到.
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到.
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习要理解并掌握相位变换画图象.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)
1．(1)y＝sin(x＋)是由y＝sinx向 平移 个单位得到的.
(2)y＝sin(x－)是由y＝sinx向 平移 个单位得到的.
(3)y＝sin(x－)是由y＝sin(x＋)向 平移 个单位得到的.
2．若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为 ( )
A.y＝sin(x＋) B.y＝sin(x＋)
C.y＝sin(x－) D.y＝sin(x＋)－
3．把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( )
A.向右平移 B.向左平移
C.向右平移 D.向左平移
4．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是 ( )
A.y＝sin(2x＋) B.y＝sin(2x－)
C.y＝sin(2x＋) D.y＝sin(2x－)
5．若对任意实数a，函数y＝5sin(πx－)(k∈N)在区间［a，a＋3］上的值 出现不少于4次且不多于8次，则k的值是 ( )
A.2 B.4 C.3或4 D.2或3
6．若函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则a＝－1.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)答案
1．(1)左 (2)右 (3)右 2．A 3．D 4．C
5．分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：
先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.
解：∵T＝＝，(a＋3)－a＝3
又因每一周期内出现值时有2次，出现4次取2个周期，出现值8次应有4个周期.
∴有4T≥3且2T≤3
即得≤T≤，∴≤≤
解得≤k≤，
∵k∈N，∴k＝2或3.
答案：D
6．a＝－1
分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.
解：∵x1＝0，x2＝－是定义域中关于x＝－对称的两点
∴f(0)＝f(－)
即0＋a＝sin(－)＋acos(－)
∴a＝－1
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第十三课时 三角函数的性质
教学目标：
理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的性质
教学难点：
正、余弦函数性质的理解与应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：
y＝sinx，x∈R
y＝cosx，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.
其中正弦函数y=sinx，x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
(3)周期性
由 (k∈Z)
知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(4)奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－，］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到
－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.
(1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R.
解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.
函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.
(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ
即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝.
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
［例2］求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋ (2)y＝
解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1
即x≠＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝
(2)由cosx≥0
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
［例3］求下列函数的单调递增区间：
①y＝cos(2x＋)；②y＝3sin(－)
解：①设u＝2x＋，则y＝cosu
当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大
又∵u＝2x＋随x∈R增大而增大
∴y＝cos(2x＋)当2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)
即kπ－≤x≤kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝cos(2x＋)的单调递增区间为：
［kπ－π，kπ－］(k∈Z)
②设u＝－，则y＝3sinu
当2kπ＋≤u≤2kπ＋时，y＝3sinu随x增大在减小，
又∵u＝－随x∈R增大在减小
∴y＝3sin(－)当2kπ＋≤－≤2kπ＋
即－4kπ－≤x≤－4kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝3sin(－)的单调递增区间为 ［4kπ－，4kπ－］(k∈Z)
Ⅲ.课堂练习
课本P33 1～7
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46 习题 2、3、4
课后练习：
1．给出下列命题：
①y＝sinx在第一象限是增函数；
②α是锐角，则y＝sin(α＋)的值域是［－1，1］；
③y＝sin｜x｜的周期是2π；
④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；
其中正确的命题的序号是_____.
分析:①y＝sinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例：
令x1＝，x2＝＋2π，此时x1＜x2
而sin＞sin(＋2π)
∴①错误；
②当α为锐角时，＜α＋＜＋
由图象可知＜sin(α＋)≤1
∴②错误；
③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数.
其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数.
∴③错误；
④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值为－1
∴④正确.
答案：④
评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.
2．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝lg(sinx－) (2)y＝2
分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.
解：(1)要使lg(sinx－)有意义，必须且只须sinx＞，
解之得：2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
又∵0＜sinx－≤1－
∴lg(sinx－)≤lg(1－)
∴定义域为(2kπ＋，2kπ＋)，(k∈Z)
值域为(－∞，lg(1－)］.
(2)要使2有意义，必须且只须2cos3x－1≥0，即cos3x≥，
解之得2kπ－≤3x≤2kπ＋
即 －≤x≤＋，k∈Z.
又0≤2cos3x－1≤1
故0≤2≤2
∴定义域为［－，＋］，k∈Z
值域为［0，2］
评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.
4.比较下列各组数的大小：
(1)sin195°与cos170°;
(2)cos，sin，－cos
(3)sin(sin)，sin().
分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.
解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°
cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°
∵0°＜15°＜80°＜90°
又∵y＝sinx在［0°，90°］上是递增函数，
∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°
∴sin195°＞cos170°.
(2)∵sin＝cos(－)?
－cos＝cos(π－)
又∵－＝1.47＜1.5＝
π－＝1.39＜1.4＜－＜
而y＝cosx在［0，π］上是减函数，
由π－＜－＜＜π
得cos＜cos(－)＜cos(π－)
即cos＜sin＜－cos.
(3)∵cos＝sin
∴0＜cos＜sin＜1
而y＝sinx在［0，1］内递增
∴sin(cos)＜sin(sin).
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第十四课时 正弦函数、余弦函数的图象和性质应用
教学目标：
掌握正、余弦函数的性质，灵活利用正、余弦函数的性质；渗透数形结合思想，培养联系变化的观点，提高数学素质.
教学重点：
1.熟练掌握正、余弦函数的性质；
2.灵活应用正、余弦函数的性质.
教学难点：
结合图象灵活运用正、余弦函数性质.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
回顾正、余弦函数的图象及其性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等等.
下面结合例子看其应用：
［例1］不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.
(1)sin(－)－sin(－)；
(2)cos(－)－cos(－).
解：(1)∵－＜－＜－＜.
且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数.
∴sin(－)＜sin(－)， 即sin(－)－sin(－)＞0
(2)cos(－)＝cos＝cos
cos(－)＝cos＝cos
∵0＜＜＜π，且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数
∴cos＜cos， 即cos－cos＜0
∴cos(－)－cos(－)＜0
［例2］函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程是 ( )
A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
方法一：运用性质1′，y＝sin(2x＋)的所有对称轴方程为xk＝－π(k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应.
故选A.
方法二：运用性质2′，y＝sin(2x＋)＝cos2x，它的对称轴方程为xk＝ (k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应，故选A.
［例3］求函数y＝的值域.
解：由已知：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1
()2≤13y2＋2y－8≤0
∴－2≤y≤ ∴ymax＝，ymin＝－2
Ⅲ. 课时小结
通过本节学习，要掌握一结论：形如y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω≠0)的T＝；另外，要注意正、余弦函数性质的应用.
Ⅳ. 课后作业
课本P46习题 6、7、12、13
正弦函数、余弦函数的图象和性质应用
1．若<α<，以下不等式成立的是 （ ）
A.cosαC.cosα2．若sinx＝，则实数m的取值范围是 （ ）
A.［0，+∞) B.［－1，1］ C.(－∞，－1］∪［1，+∞) D.［0，1］
3．下列函数中，图象关于原点对称的是 （ ）
A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜
C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜
4．如果｜x｜≤，那么函数y＝cos2x＋sinx的最小值为 （ ）
A. B. C.－ D.－1
5．函数值sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是 .
6．函数y＝的定义域是 .
7．cos，－cos，sin的大小关系是 .
8．函数y＝cos(sinx)的奇偶性是 .
9．已知＝cosα－sinα，则α的取值范围是 .
10．求函数y＝的值域.
11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.
12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?
(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数?
正弦函数、余弦函数的图象和性质应用答案
1．A 2．A 3．B 4．B 5．sin2>sin1>sin3>sin4 6．［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)
7．cos10．（－∞，］∪［3，+∞)
11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.
解：∵最大值为a＋|b|，最小值为a－|b|
∴ ∴a＝，b＝±1
12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?
(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数?
解：(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数：
2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)
∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋
即2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)为所求.
(2)∵y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋
得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)为所求.
或：令u＝－2x，则u是x的减函数
又∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上为增函数，
∴原函数y＝3sin(－2x)在区间［2kπ－，2kπ＋］上递减.
设2kπ－≤－2x≤2kπ＋
解得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)
∴原函数y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上单调递减.
评述：在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误.
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第十五课时 正切函数的图象和性质
教学目标：
会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，理解正切函数的性质，掌握性质的简单应用，会解决一些实际问题；用数形结合的思想理解和处理有关问题，发现数学规律，提高数学素质，培养实践第一观点.
教学重点：
正切函数的图象和性质
教学难点：
正切函数的性质的简单应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质?
Ⅱ.讲授新课
为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.
∵tan(π＋x)＝＝＝tanx(其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z)
根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且π是它的周期.
现在利用正切线画出函数
y＝tanx，x∈(－，)的图象
引导学生完成.
引导学生观察得出正切曲线的特征：
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.
现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.
(1)定义域：｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝
(2)值域：R
(3)周期性：正切函数是周期函数，且周期T＝π
(4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx
∴正切函数是奇函数
∴正切曲线关于原点O对称
(5)单调性：正切函数在开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数.
注意：①正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能说它在整个定义域内是增函数.②正切函数在每个单调区间内都是增函数
下面，来看性质的简单应用.
［例1］求函数y＝tan2x的定义域.
解：由2x≠kπ＋，(k∈Z) 得x≠＋，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝
［例2］观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜
结合周期性，可知在x∈R,且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
［例3］不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小.
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数,
∴tan135°＜tan138°
［例4］求函数y＝tan(x＋)的定义域，并讨论它的单调性.
解：由x＋≠kπ＋，(k∈Z)
得x≠kπ＋，(k∈Z)
∴y＝tan(x＋)的定义域为｛x｜x∈R且x≠kπ＋，k∈Z｝
又由y＝tanx在每个区间(kπ－，kπ＋)k∈Z上是增函数可知：
当kπ－＜x＋＜kπ＋
即kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)时，y＝tan(x＋)是增函数
∴y＝tan(x＋)在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数.
［例5］函数y＝tan2x是否具有周期性，若具有，则最小正周期是什么?
解：由y＝tanx是周期函数，且周期为π可知：只有必须当x至少增加到x＋π时，函数值才重复出现.
也就是说只有2x至少增加到2x＋π时，即x至少增加到x＋时，函数值才重复出现.
∴y＝tan2x具有周期性，且最小正周期为 .
由正、余弦函数最小正周期T＝得正切函数的最小正周期T＝
例如y＝5tan，x≠(2k＋1)π，(k∈Z)的周期T＝ eq \f(2π, ) ＝4π.
y＝tan3x，x≠＋ (k∈Z)的周期T＝.
Ⅲ.课堂练习
课本P35 1～4
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握正切函数的图象，理解它具有的主要性质，并会应用它解决一些较简单问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46习题 5
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第四章检测题
一、选择题(本大题共14小题，第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.与－463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( )
A.k·360°＋463° B.k·360°＋103°
C.k·360°＋257° D.k·360°－257°
答案：C
2.已知是第三象限的角，且cos＜0，那么为( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
答案：B
3.若sinx＋cosx＝1，那么sinnx＋cosnx的值是( )
A.1 B.0
C.－1 D.不能确定
答案：A
4.在函数y＝｜tanx｜，y＝｜sin(x＋)｜，y＝｜sin2x｜，y＝sin(2x－)四个函数中，既是以为周期的偶函数，又是区间(0，)上的增函数个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
5.下列四个命题正确的是( )
A.sin2＜sin3＜sin4 B.sin4＜sin2＜sin3
C.sin3＜sin4＜sin2 D.sin4＜sin3＜sin2
答案：D
6.logsin＋log的值为( )
A.1 B.4
C.－4 D.－1
答案：C
7.满足等式sin4xcos5x＝－cos4xsin5x的x的一个值是( )
A.10° B.20°
C.50° D.70°
答案：B
8.若b＞a＞0，满足tan＝，且sin＝的角的集合是( )
A.｛｜0＜＜＝
B.｛｜＋2k≤≤＋2k，k∈Z｝
C.｛｜2k≤≤＋2k，k∈Z｝
D.｛｜＋2k＜＜＋2k，k∈Z｝
答案：D
9.要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )
A.向右平行移动个单位
B.向右平行移动个单位
C.向左平行移动个单位
D.向左平行移动个单位
答案：A
10.已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时，取最大值y＝2，当x＝时，取得最小值y＝－2，那么函数的解析式为( )
A.y＝sin(x＋) B.y＝2sin(2x＋)
C.y＝2sin(－) D.y＝2sin(2x＋)
答案：B
11.若sin＝m，为第二象限角，则tan2的值为( )
A.－ B.
C.± D.以上全不对
答案：A
12.设f(x)＝asin(x＋)＋bcos(x＋)＋4，其中a、b、、均为非零实数，若f(1988)＝3，则f(2002)的值为( )
A.1 B.5
C.3 D.不确定
答案：C
13.函数f(x)＝｜sinx｜＋｜cosx｜的取值范围是( )
A.［0，］ B.［0，2］
C.［1，2］ D.［1，］
答案：D
14.若是三角形的一个内角，且函数y＝cos·x2－4sin·x＋6对于任意实数x均取正值，那么cos所在区间是( )
A.(，1) B.(0，)
C.(－2，) D.(－1，)
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.)
15.若、为锐角，且cos(＋)＝，cos(2＋)＝，则cos等于__________.
答案：
16.函数y＝sin＋cos，x∈(－2，2)为增函数的区间是__________.
答案：［－，］
17.设f(x)是以5为周期的函数，且当x∈［－，］时，f(x)＝x，则f(6.5)＝__________.
答案：1.5
18.已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)为偶函数，则值为__________.
答案：k－ (k∈Z)
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
19.(本小题满分12分)
已知tan(180°＋)－tan(450°－)＝2(0＜＜90°)，求的值.
答案：－1
20.(本小题满分12分)
已知cos(＋)cos＋sin(＋)sin＝－且450°＜＜540°，求cos2和sin(＋2).
答案：cos2＝，sin(＋2)＝.
21.(本小题满分12分)
如图，在半径为R，中心角为2(0＜2＜的扇形OAB内作矩形CDEF，使C、D两点在半径OA上，F点在半径OB上，E在弧AB上，求矩形CDEF面积的最大值.
解：设E(Rcos，Rsin)，则
S矩＝，
当＝时，Smax＝tan
22.(本小题满分12分)
已知tan＝ (0＜a＜1)，
化简.
答案：－2
23.(本小题满分12分)
已知:cos＝cosx·sin，cos＝sinx·sin
求证：sin2＋sin2＋sin2＝2
证明：(略)
24.(本小题满分14分)
在锐角△ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S＝，求证：
(1)S＜1；(2)S＜
证明：(1)∵S＝
＝
又A＋B＞90°，∴90°＞A＞90°－B＞0
∴tanA＞tan(90°－B)＝cotB＞0
∴tanA·tanB＞1，∴S＜1
(2)
＝
＝
∴S＜成立.
任意角的三角函数单元练习题（一）
一、选择题
1．下列叙述正确的是
A.180°的角是第二象限的角 B.第二象限的角必大于第一象限的角
C.终边相同的角必相等 D.终边相同的角的同一个三角函数的值相等
2．以下四个命题，其中，正确的命题是
①小于90°的角是锐角 ②第一象限的角一定不是负角 ③锐角是第一象限的角 ④第二象限的角必大于第一象限的角
A.①② B.③ C.②③ D.③④
3．sin1320°的值是
A. B.－ C. D.－
4．的值是
A.2 B. C.－ D.
5．若扇形圆心角为60°，半径为a，则内切圆与扇形面积之比为
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.3∶4
6．若θ∈（，），则等于
A.cosθ－sinθ B.sinθ＋cosθ
C.sinθ－cosθ D.－cosθ－sinθ
7．若sin＝，cos＝－，则θ角的终边在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．已知sin（3π＋α）＝lg，则tan（π＋α）的值是
A.－ B. C.± D.
9．将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是
A.（cosα，sinα） B.（cosα，－sinα）
C.（sinα，－cosα） D.（sinα，cosα)
10．若tanθ＝，则cos2θ＋sinθcosθ的值是
A.－ B.－ C. D.
二、填空题
11．tan(－π)的值是 .
12．若角α的终边在直线y＝－x上，则＝ .
13．使tanx－有意义的x的集合为 .
14．已知α是第二象限的角，且cos＝－，则是第 象限的角.
15．已知θ角终边上一点M（x，－2），且cosθ＝，则sinθ＝____________；tanθ＝____________.
16.已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos 3θ的值为____________.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11 12 13
14 15 16
三、解答题
17．设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.
18．化简：2－sin221°－cos 221°＋sin417°＋sin217°·cos 217°＋cos 217°
19．证明(1) ＝
(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
20．已知α是第三象限的角，且
f(α)＝ eq \f(sin（π－α）cos（2π－α）tan（－α＋π）tan（―α―π）,sin（－π－α）)
(1)化简f（α）； (2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1860°，求f（α）的值.
21．已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)＋sin2(α－）的值.
任意角的三角函数单元练习题（一）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D C A D C C D
二、填空题
11．－ 12．0 13．{x|x∈R且x≠，k∈Z} 14．三 15．－ ± 16.
三、解答题
17．设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.
解：∵m＞n＞0，∴cosθ＝＞0
∴θ是第一象限角或第四象限角.
当θ是第一象限角时：
sinθ＝＝
tanθ＝
当θ是第四象限角时：
sinθ＝－
tanθ＝
18．化简：2－sin221°－cos 221°＋sin417°＋sin217°·cos 217°＋cos 217°
解：原式＝2－（sin221°＋cos 221°）＋sin217°（sin217°＋cos 217°）＋cos 217°
＝2－1＋sin217°＋cos 217°＝1＋1＝2
19．证明(1) ＝
(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
(1) 证明：左＝
＝＝＝
(∵cos θ≠0，∴分子、分母可同除以cosθ)
＝＝右，证毕.
还可用其他证法.
(2)证明：左＝－sin2θ＝
＝＝＝tan2θsin2θ＝右，证毕.
20．已知α是第三象限的角，且
f(α)＝ eq \f(sin（π－α）cos（2π－α）tan（－α＋π）tan（―α―π）,sin（－π－α）)
(1)化简f（α）；(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1860°，求f（α）的值.
解：（1）f（α）＝
＝＝－cosα
（2）由已知得sinα＝－，cosα＝－， ∴f(α)＝
（3）f(－1860°）＝－
21．已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)＋sin2(α－）的值.
解：cos(π＋α)＝cos［π－（－α)］＝－cos(－α)＝－.
又sin2(α－)＝1－cos2(－α)＝
∴原式＝.
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三角函数的图象和性质单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．函数y＝tanx是
A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数
C.周期为π的偶函数 D.周期为π的奇函数
2．已知f(x)＝sin(x＋),g(x)＝cos(x－），则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位，得到g(x)的图象
D.向右平移个单位，得到g(x)的图象
3．若x∈(0，2π)，函数y＝＋的定义域是
A.( ,π］ B.( ,π) C.(0,π) D.( ,2π)
4．函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为
A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
5．函数y＝logcos1cosx的值域是
A.［－1，1］ B.(－∞，＋∞) C. D.［0，＋∞)
6．如果｜x｜≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是
A. B. C.－ D.－1
7．函数f(x)＝sin，g(x)＝cos，则
A.f(x)与g(x)皆为奇函数 B.f(x)与g(x)皆为偶函数
C.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
8．下列函数中，图象关于原点对称的是
A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜
C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜
9．要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只要将y＝sin2x的图象
A.向左平移 B.向右平移
C.向左平移 D.向右平移
10．下图是函数y＝2sin(ωx＋)(||＜）的图象，那么
A.ω＝，＝ B.ω＝，＝－
C.ω＝2，＝ D.ω＝2，＝－
11．在［0，2π］上满足sinx≥的x的取值范围是
A.［0，］ B.［，］ C.［，］ D.［，π］
12．函数y＝5＋sin22x的最小正周期为
A.2π B.π C. D.
二、填空题（4×6＝24分）
13．若函数y＝Acos(ωx－3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A＝ .
14．由y＝sinωx变为y＝Asin(ωx＋)，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位；若“先伸缩，后平移”，则应平移 个单位即得y＝sin(ωx＋)；再把纵坐标扩大到原来的A倍，就是y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0).
15．不等式sinx＞cosx的解集为 .
16．函数y＝sin(－2x＋)的递增区间是 .
17．已知f(x)＝ax＋bsin3x＋1(a，b为常数)，且f (5)＝7，则f (－5)＝ .
18．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调递增的区间是 .
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题
19．求y＝的定义域.
20．已知：＝3，
求： eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）) 的值.
21．若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).
22．若，试求y＝f(x)的解析式.
23．设A、B、C是三角形的三内角，且lgsinA＝0，又sinB、sinC是关于x的方程
4x2－2(＋1)x＋k＝0的两个根，求实数k的值.
三角函数的图象和性质单元复习题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A B D B D B D C B C
二、填空题
13 π 5 14 || || 15 x∈(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)
16 kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z） 17 －5 18 (kπ－，kπ)k∈Z
三、解答题
19．求y＝的定义域.
解：由题意得(kZ)
2kπ－＜x＜2kπ或2k20．
21．若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).
解：由已知得：
f(x)＝2sin(x－)＋3
22．若，试求y＝f(x)的解析式.
解：由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝
∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝
23．设A、B、C是三角形的三内角，且lgsinA＝0，又sinB、sinC是关于x的方程
4x2－2(＋1)x＋k＝0的两个根，求实数k的值.
解：已知得sinA＝1，又0＜A＜π
∴A＝，∴B＋C＝
则sinB＝sin(－C)＝cosC
∴
∴1＋2sinC·cosC＝
∴2sinCcosC＝ ∴k＝4sinCcosC＝
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