苏科版七年级数学下册7.5多边形的外角和学案（第3课时　含答案）

7.5多边形内角和与外角和（3）
学习目标：.探索多边形的外角和公式，并会用公式解决问题.
学习过程：
一、认识多边形的外角、多边形的外角和
1．阅读课本第29页第一段. 如图1，DF是边CD的延长线，∠ 叫做五边形ABCDE的一个外角；多边形的一边与另一边的 所组成的角，叫做多边形的外角.
在多边形的每个顶点处分别取这个多边形的 个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和.
2. 阅读课本第29页“做一做”.
(1) 如图2，∠α、∠β、∠γ是△ABC的三个外角，这三个
角的和就是三角形的外角和. 下面探求∠α+∠β+∠γ=?
因为∠1+∠ = 180°①，（平角定义）
∠2+∠ = 180°②，（平角定义） ∠3+∠ = 180°③，（平角定义）
①+②+③，得，∠1+∠ +∠2+∠ +∠3+∠ =3×180°.
又因为∠1+∠2+∠3=180°，（三角形的内角和等于180°）
所以∠α+∠β+∠γ= . 结论1：三角形的外角和等于360°．
(2) 如图3，∠α、∠β、∠γ、∠δ是四边形ABCD
的4个外角，这4个角的和就是四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少呢？
因为∠1+∠ = 180°①， ∠2+∠ = 180°②，
∠3+∠ = 180°③， ∠3+∠ = 180°④，
①+②+③+④，得，∠1+∠ +∠2+∠ +∠3+∠ +∠4+∠ =4×180°
又因为∠1+∠2+∠3+∠4= °，（四边形的内角和等于 °）
所以∠α+∠β+∠γ+∠δ= . 结论2：四边形的外角和等于 °．
(3) 设n边形的n个内角分别是∠1、∠2、∠3、…∠n，与这些内角分别相邻的一个外角分别是∠α1、∠α2、∠α3、…∠αn.
因为∠1+∠α1=180°，∠2+∠α2=180°，∠3+∠α3=180°，…∠n+∠αn=180°,
将这n个式子相加，得∠1+∠α1+∠2+∠α2+∠3+∠α3+…+∠n+∠αn=n180°.
又因为∠1+∠2+∠3+…+∠n=(n?2)180°,
所以∠α1+∠α2+∠α3+…+∠αn=n180°?(n?2)180°, 即∠α1+∠α2+∠α3+…+∠αn=360°.
结论：n边形的外角和等于360°. 即任意多边形的外角和等于360°.
二、解决问题：
1. 课本第30页练一练第1题.
设这个多边形的边数为n. 则60 n=360，n=6. 这个多边形是六边形.
它的内角和为：（6?2）×360°= °.
2. 一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的边数是_____.
3. 课本第30页练一练第2题.
解：设这个多边形的边数为n. 根据题意，得 （n?2）×360°=
解这个方程，得n= . 所以这个多边形是 边形.
4. 已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，求这个多边形的边数.
解：设 . 根据题意，得
5. 课本第31页习题第8题. 做在书上. 反过来问：如书上图，如果小明每次转过的角度都为60°，那么这个多边形是 边形；如果小明每次转过的角度都为30°，那么这个多边形是 边形.
三、分类讨论“剪去五边形一个角”
阅读课本第30页“议一议”. 将五边形剪去一个角，分3种情况：
(1)如图4，剩下的多边形ABCDGE为 边形，它的内角和为 ，外角和为 ；
(2)如图5，剩下的多边形ABCDF为 边形，它的内角和为 ，外角和为 ；
(3)如图6，剩下的多边形ABCD为 边形，它的内角和为 ，外角和为 .
四、探究三角形外角和的其他方法
如图7，过点A作AD∥BC. 你能根据图7，说明三角形的外角和等于360°吗？
课外练习
一、选择题（每题4分，共20分）
1．五边形的内角和是（ ）
A．720° B．540° C．360° D．180°
2．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 　　 B．五边形 C．六边形　 　　D．七边形
3．(2009年武汉)如图1，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，
∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是（ ）
A．70° B．110° C．140° D．150°
4．（2010年广西柳州）一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．9　　　B．8　　　C．7　　　D．6
5．（2010年四川省自贡）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
二、填空题（每题4分，共20分）
6．（2010湖南株洲）已知一个边形的内角和是1080° ，则= ．
7．（2010福建莆田）一个n边形的内角和是720°，则n＝___________.
8．一个多边形共有5条对角线，则这个多边形是_____边形，其内角和为_________°．
9．多边形的边数每增加1，其内角和就增加__________°．
10．一个正多边形的每内角都等于等边三角形的一个角的2倍，这个多边形的边数是_____．
三、解答题（共60分）
11．（8分）求10边形的内角和的度数．
12．（8分）几边形的内角和是1800°？
13．（8分）已知两个多边形的内角和是1800°，且这两个多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数．
14．（8分）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2006°，则这个内角是多少度？此多边形的边数是多少？
15．（8分）如图2，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值．
16．（10分）某机器零件的横截面如图3所示，按要求线段AB和线段DC的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠A＝23°，∠D＝31°，∠AED＝143°，请你帮他判断该零件是否合格，并说明理由．
17．（10分）如图4所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与F重合，试判断∠1＋∠2与2∠A的大小关系，并说明理由．
答案
1．B
2．D
3．D
4．D
5．D
6．8
7．6
8．5，540
9．180
10．6
11．解：10边形的内角和的度数为(10－2)·180°＝1440°．
12．解：设多边形的边数为n，则有(n－2)·180°＝1800°，解得n＝12，故12边形的内角和是1800°．
13．解：设这两个多边形的边数分别为2n、5n，由题意得(2n－2)×180＋ (5n－2)× 180＝1800，
解得n＝2，则2n＝4，5n＝10 ．
答：这两个多边形分别是四边形与十边形．
14．解：设这个多边形的边数为n，除去的这个内角为x°（0＜x＜180），
由题意得(n－2)·180°－x°＝2006°
化简，得x＝180n－2366
∵0＜x＜180
∴0＜180n－2366＜180，解得13.1＜n＜14.1
∵n是整数
∴n＝14，从而x＝180n－2366＝180×14－2366＝2520－2366＝154°．
答：除去的这个内角是154°，这是14边形．
15．解：如图2，连接CD，则∠E＋∠F＝∠ODC＋∠OCD，
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠A＋∠B＋∠BCD＋∠CDA＝360°．
16.解：该零件不合格，理由如下：
如图，延长AB、DC相交于点F，延长DE交AB于点G．
∵∠AED＝∠A＋∠AGE，∠AGE＝∠D＋∠F，
∴∠AED＝∠A＋∠F＋∠D
∵∠A＝23°，∠D＝31°，∠AED＝143°
∴∠F＝∠AED－∠A－∠D＝143°－23°－31°＝89°≠90°
∴该零件不合格．
17. 解：方法一：∠1＋∠2＝2∠A，理由如下：
连接AF，则∠1＝∠EAF＋∠EFA，∠2＝∠DAF＋∠DFA，
∴∠1＋∠2＝∠EAF＋∠EFA＋∠DAF＋∠DFA＝∠EAD＋∠EFD
由折叠可知∠EAD＝∠EFD
∴∠1＋∠2＝2∠EAD．
方法二：∠1＋∠2＝2∠A，理由如下：
∵在在四边形EDBC中，∠1＋∠2＋∠B＋∠C＋∠FED＋∠FDE＝360°，
∵∠FED＋∠FDE＋∠F＝180°
∴∠1＋∠2＋∠B＋∠C＝180°＋∠F
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∠A＝∠F
∴∠1＋∠2＋180°－∠A＝180°＋∠A
∴∠1＋∠2＝2∠