人教版九年级上册：22.2-二次函数与一元二次方程 教案

22.2二次函数与一元二次方程
一、内容和内容解析
1．内容
二次函数与一元二次方程的联系．
2．内容解析
模型思想、几何直观都是《义务教育数学课程标准（2012年版）》提出的10个核心概念之一．二次函数和一元二次方程都是重要的数学模型，也是进一步学习其他函数的基础．利用函数图象研究方程的根，是培养学生几何直观的重要途径．
二次函数和一元二次方程之间的内在联系十分突出．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，其几何意义是二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的分布与抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系相关联．
综上所述，本节课的教学重点是：理解一元二次方程根的几何意义；掌握解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系．
本节课通过创设情境，经过问题情境一般化构造二次函数模型；问题情境特殊化创建一元二次方程；问题解决再归纳的过程，使学生得出二次函数与一元二次方程的联系，从而实现重点的突出.
二、目标和目标解析
1．目标
（1）理解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与x轴的公共点的横坐标）.
（2）掌握抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.
（3）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴公共点的横坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根，学生知道其中的一个能说出另一个．
达成目标（2）的标志是：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴公共点的个数和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）实数根的情况，学生能根据其中的一个说出另一个．
达成目标（3）的标志是：学生能根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，利用“二分法”求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的近似解．
三、教学问题诊断分析
在八年级下册，学生通过一次函数与方程、不等式的学习已经初步建立方程模型与函数模型的联系．在九年级上册，学生已经分别学习了一元二次方程、二次函数，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系．而且二次函数与一元二次方程之间的联系看似简单，但想要用简洁的语言归纳出来并非易事．
基于以上分析，归纳总结二次函数与一元二次方程之间的联系是本节课的难点．
初三学生的推理和归纳能力已经有了明显的发展，因此为了学生能够由特殊到一般地进行归纳二次函数与一元二次方程的关系，设计出表格并组织示范性语言，为学生归纳结论做铺垫，从而实现难点的突破.
四、教学策略分析
采用启发式和探究式进行教学
在探究二次函数与一元二次方程的关系中，从实际问题引入，激发学生的学习兴趣，教师与学生互动，示范探究的流程，学生根据流程自主探究并展示成果，教师整理学生探究的结果，启发学生找出二次函数与一元二次方程的联系.
用简洁的语言表达出二次函数与一元二次方程的联系比较困难，为了方便学生得出结论，根据直观性原则，设计图表，用“问题串”引导学生，并利字体的颜色区别来辅助学生归纳与表达.
在估计一元二次方程的近似根的过程中，采取用几何画板软件显示函数图象，标识相应点的坐标，便于学生接受估值的方法．
五、教学过程
1.创设情境 发现联系
在里约赛场上，冯珊珊以274杆、总杆数低于标准杆10杆的成绩摘得铜牌，而这也是中国军团首次夺得奥运会高尔夫奖牌.如图1，如果以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行的时间t（单位：s）之间具有函数关系

考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？
为什么？
（4）球从飞出到落地要多少时间？
师生活动：对于这样几个问题，学生会解决，但是思考的方向需要老师引导，因此教师与学生互动完成第（1）题并引导得出结论，而后学生讨论完成问题（2）——（4）.最后老师将解决问题的过程整理到图表中，引导学生自己得出结论.
设计意图：创设情境，渗透了爱国主义教育，从实际问题引入，让学生感受数学来源于生活.通过本活动，让学生感知二次函数与一元二次方程有密切的联系，为后面深入讨论二次函数与一元二次方程做好了铺垫.
2.思考问题 归纳结论
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1） （2） （3）

二次函数 函数图象 图象与x轴交点个数 抛物线与x轴交点横坐标 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少 y=0时对应的一元二次方程实数根 一元二次方程实数根的情况
y=x2+x-2
y=x2-6x+9
y=x2-x+1
归纳
一般地，从二次函数的图象可得如下结论.
如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是_______，因此是方程的一个根.
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程的根的三种情况：_____
_______________________________________________________________________________
师生活动：第（1）个函数教师按照问题的顺序进行提问，学生回答，教师将答案填入表格中，并引导学生得出二次函数与相应的一元二次方程的一种联系.第（2）个活动与第（3）个活动由学生分小组合作交流完成，并展示成果.最后由教师将学生的成果整理，并引导学生得出二次函数与一元二次方程的联系.

设计意图：利用表格为学生搭桥，引导学生寻找二次函数与一元二次方程的联系.

3.运用图象 估计求根
例 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）.

师生活动：教师给学生示范，利用“二分法”确定一元二次方程的实数根，然后让学生根据此方法小组配合计算，同时告诉学生计算结束的判定标准，最后由学生展示结果.

设计意图：学生能够能结合二次函数图象，使用“二分法”求一元二次方程实数根的近似值，为后续学习解一元高次方程作铺垫.


4.同步练习 强化认知
1.如图2，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
（1）画出上述函数的图象；
（2）观察图象，指出铅球推出的距离.

2.填空题.
（1）抛物线的图象与x轴的公共点横坐标为（-1，0），（3，0），则关于x的一元二次方程的实数根是____________________.
（2）二次函数的图象与x轴有2个公共点，那么方程的实数根的情况是_______________.
（3）二次函数的图象与x轴没有公共点，那么方程的实数根的情况是_______________.
（4）方程有两个相等实数根，那么二次函数与x轴的公共点有_____________个.
3.利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）


师生活动：学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台展示成果.
设计意图：通过练习加深对所学知识的理解.

5.小结反思 巩固知识
学生根据学案回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：
（1）通过本节课的学习，你认为二次函数与一元二次方程之间有怎样的联系？
（2）用何方法求二次函数图象所对应的一元二次方程实数根的近似值？

设计意图：通过小结，再次让学生认识到二次函数与一元二次方程的联系，强化了学生的学习成果.

6.布置作业
习题第1、2、4、5、6题



图1

图2