专题十 磁场（原卷版）
/
考点
要求
考点解读及预测
磁场 磁感应强度 磁感线 磁通量
Ⅰ
1.考查方式
高考对本章内容考查命题频率极高，常以选择题和计算题两种形式出题，选择题一般考查磁场的基础知识和基础规律，一般难度不大；计算题主要是考查安培力、带电粒子在磁场中的运动与力学、电学、能量知识的综合应用，难度较大，较多是高考的压轴题．
2．命题趋势
(1)磁场的基础知识及规律的考查
(2)安培力、洛伦兹力的考查
(3)带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题，
通电直导线和通电线圈周围磁场的方向
Ⅰ
安培力
Ⅱ
洛伦兹力
Ⅱ
带电粒子在匀强磁场中的运动
Ⅱ
/
磁场的性质及带电粒子在磁场中的运动
（1）．安培力大小
(1)当I⊥B时，F＝BIL.
(2)当I∥B时，F＝0.
注意：①当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)．
/
②对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零．
（2）．安培力方向
用左手定则判断，注意安培力既垂直于B，也垂直于I，即垂直于B与I决定的平面．
(3)带电粒子在磁场中的受力情况
①磁场只对运动的电荷有力的作用，对静止的电荷无力的作用。磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
②洛伦兹力的大小和方向：其大小为F＝qvBsinθ，注意：θ为v与B的夹角。F的方向由左手定则判定，四指的指向应为正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
(4)洛伦兹力做功的特点
由于洛伦兹力始终和速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功。
(3)带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型
①匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动。
②匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度大小做匀速圆周运动。
(5)带电粒子在磁场中的运动，难点和关键点是画粒子的运动轨迹，需要的物理知识是左手定则、向心力公式qvB＝m、轨迹半径的表达式R＝、周期的表达式T＝或T＝；需要的数学知识是直角三角形的三角函数关系、勾股定理，一般三角形的正弦定理，图中所涉及的不同三角形间的边角关系等。
(6)粒子在直线边界磁场中的运动，一要利用好其中的对称性：从一直线边界射入匀强磁场中的粒子，从同一直线边界射出时，射入和射出具有对称性；二要充分利用粒子在直线边界上的入射点和出射点速度方向和向心力的方向是垂直的。
3．复合场中是否需要考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力。
(2)题目中明确说明是否要考虑重力。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分析出是否要考虑重力。
/
一、磁场的叠加和安培定则的综合问题
(1)根据安培定则确定通电导线周围磁感线的方向。
(2)磁场中每一点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向。
(3)磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场的磁感应强度等于各通电导体单独存在时在该点磁感应强度的矢量和。
二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1、圆心、半径、时间的确定
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
/
P、M点速度垂线交点
/
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
/
常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝T
②t＝
/
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动的几种常见情形
直线边界
粒子进出磁场具有对称性
/
平行边界
粒子运动存在临界条件
/
圆形边界
粒子沿径向射入的再沿径向射出
/
三、带电粒子在磁场中运动的多解问题
1. 带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如图所示
/
带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b。2. 磁场方向不确定
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示
/
带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3. 临界状态不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°后从入射面边界反向飞出，如图所示
/
于是形成了多解。
四、带电粒子在组合场中运动的解题思路
(1)明性质：要清楚场的性质、方向、强弱、范围等。
(2)定运动：带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况。
(3)画轨迹：正确画出粒子的运动轨迹。
(4)用规律：根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律进行处理。
(5)找关系：要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向的关系，上一个区域的末速度往往是下一个区域的初速度。
五、“旋转圆”与“放缩圆”问题
1、“旋转圆”：
/
确定的入射点O和速度大小v，不确定速度方向。在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。即将半径不变的圆周轨迹，以粒子的发射点为圆心旋转，各动态圆相交于O点。
“放缩圆”：
/
确定入射点O和速度方向，不确定速度大。在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。即半径不同的圆周轨迹，都以粒子的发射速度方向为切线，各动态圆相交于O点。
/
题型一、磁场的性质与安培力
【典例1】．(2019·江苏高考)(多选)如图所示，在光滑的水平桌面上，a和b是两条固定的平行长直导线，通过的电流强度相等。矩形线框位于两条导线的正中间，通有顺时针方向的电流，在a、b产生的磁场作用下静止。则a、b的电流方向可能是( )
/
A．均向左 B．均向右
C．a的向左，b的向右 D．a的向右，b的向左
【答案】 CD
【解析】如图1所示，若a、b中电流方向均向左，矩形线框靠近导线的两边所受安培力方向相同，使线框向导线b移动。
/
同理可知，若a、b中电流均向右，线框向导线a移动，故A、B不符合题意。
若a导线的电流方向向左，b导线的电流方向向右，a、b中电流I′在线框所在处产生的磁场方向如图2所示，线框靠近导线的两边所在处的磁感应强度相同，所受的安培力大小相等、方向相反，线框静止。
/
同理可知，若a导线的电流方向向右，b导线的电流方向向左，线框也静止，C、D符合题意。
题型二、判定安培力作用下导体的运动
【典例2】．(2019·福州高考模拟)如图所示，一根长为L的金属细杆通有大小为I的电流时，水平静止在倾角为θ的光滑绝缘固定斜面上。斜面处在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。若电流和磁场的方向均不变，电流大小变为0.5I，磁感应强度大小变为4B，重力加速度为g。则此时金属细杆( )
/
A．电流流向垂直纸面向外 B．受到的安培力大小为2BILsinθ
C．对斜面压力大小变为原来的2倍 D．将沿斜面向上加速运动，加速度大小为gsinθ
【答案】 D
【解析】 金属细杆水平静止时，金属细杆受到重力、斜面的支持力和安培力而平衡，故安培力水平向右，由左手定则得电流流向垂直纸面向里，A错误；根据安培力公式可得，后来金属细杆受到的安培力大小为F安＝4B·IL＝2BIL，B错误；金属细杆水平静止于斜面上时，根据平衡条件可得：FNcosθ＝mg，FNsinθ＝BIL，磁感应强度大小和电流大小改变时，根据受力分析和牛顿第二定律可得：FN′＝mgcosθ＋2BILsinθ＝＝FN(1＋sin2θ)<2FN，a＝＝gsinθ，加速度方向沿斜面向上，金属细杆将沿斜面向上运动，C错误，D正确。
题型三、带电粒子在匀强磁场中运动的处理方法
【典例3】．(2019·江西高三九校3月联考)(多选)如图所示是一个半径为R的竖直圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。有一个粒子源在圆上的A点不停地发射出速率相同的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，电荷量均为q，运动的半径为r，在磁场中的轨迹所对应的圆心角为α。下列说法正确的是( )
/
A．若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r＝2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，则有tan＝
C．若r＝R，粒子沿着磁场的半径方向射入，则粒子在磁场中的运动时间为
D．若r＝R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，则圆心角α为150°
【答案】 BD
【解析】 若r＝2R，粒子在磁场中运动时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的弦，作出轨迹如图1所示，因为r＝2R，圆心角α＝60°，则粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝·＝，故A错误；若r＝2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，作出轨迹
如图2所示，根据几何关系，有tan＝＝＝，故B正确；若r＝R，粒子沿着磁场的半径方向射入，粒子运动轨迹如图3所示，圆心角为90°，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝·＝，故C错误；若r＝R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，轨迹如图4所示，图中轨迹圆心与磁场圆心以及入射点和出射点连线构成菱形，由几何知识知圆心角α为150°，故D正确。
/
题型四 带电粒子在组合场、复合场中的运动
【典例4】．(2019·湖南怀化高考一模)如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界矩形匀强磁场区域(图中未画出)；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场。一粒子源固定在x轴上坐标为(－L,0)的A点，粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v0的电子，电子通过y轴上的C点时速度方向与y轴正方向成α＝45°角，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成 β＝15°角的射线OM。已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用。求：
/
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)电子在电场和磁场中运动的总时间t；
(3)矩形磁场区域的最小面积Smin。
【答案】 (1) (2)＋ (3)2
【解析】 (1)电子从A到C的过程中，由动能定理得：
eEL＝mv－mv，
又有vCcosα＝v0，
联立解得：E＝。
(2)电子在电场中做类平抛运动，沿电场方向有：
L＝t1，
其中vC＝，
由数学知识知电子在磁场中的速度偏向角等于圆心角：θ＝π－α－β＝，
电子在磁场中的运动时间：t2＝T，
其中T＝，
电子在电场和磁场中运动的总时间t＝t1＋t2，
联立解得：t＝＋。
(3)电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有evCB＝m
最小矩形区域如图所示，
/
由数学知识得：CD＝2r·sin，CQ＝r－rcos，
矩形区域的最小面积：Smin＝CD·CQ，
联立解得：Smin＝2。
【典例5】．(2019·山东省滨州市二模)如图所示，处于竖直面内的坐标系x轴水平、y轴竖直，第二象限内有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直坐标平面向里。带电微粒从x轴上M点以某一速度射入电磁场中，速度与x轴负半轴夹角α＝53°，微粒在第二象限做匀速圆周运动，并垂直y轴进入第一象限。已知微粒的质量为m，电荷量为－q，OM间距离为L，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
/
(1)匀强电场的电场强度E；
(2)若微粒再次回到x轴时动能为M点动能的2倍，匀强磁场的磁感应强度B为多少？
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)微粒在第二象限做匀速圆周运动，
则qE＝mg解得：E＝。
(2)微粒垂直y轴进入第一象限，则圆周运动圆心在y轴上，由几何关系得：rsinα＝L
洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝m
微粒在第一象限中运动时机械能守恒，有：
mgr(1＋cosα)＝Ek－mv2
又因为Ek＝2×mv2
联立以上各式解得：B＝ 。
/
1．(2019·山东省聊城市二模)如图所示，三根相互平行的固定长直导线L1、L2和L3垂直纸面放置，直导线与纸面的交点及坐标原点O分别位于边长为a的正方形的四个顶点。L1与L3中的电流均为2I、方向均垂直纸面向里，L2中的电流为I、方向垂直纸面向外。已知在电流为I的长直导线的磁场中，距导线r处的磁感应强度B＝，其中k为常数。某时刻有一电子正好经过原点O且速度方向垂直纸面向外，速度大小为v，电子电量为e，则该电子所受磁场力( )
/
A．方向与y轴正方向成45°角，大小为
B．方向与y轴负方向成45°角，大小为
C．方向与y轴正方向成45°角，大小为
D．方向与y轴负方向成45°角，大小为
2.(2019·常州市月考)如图所示的圆形区域里匀强磁场方向垂直于纸面向里，有一束速率各不相同的质子自A点沿半径方向射入磁场，则质子射入磁场的运动速率越大( )
/
A．其轨迹对应的圆心角越大
B．其在磁场区域运动的路程越大
C．其射出磁场区域时速度的偏向角越大
D．其在磁场中的运动时间越长
3.(2019·辽宁大连二模)如图所示，AC是四分之一圆弧，O为圆心，D为圆弧中点，A、D、C处各有一垂直纸面的通电直导线，电流大小相等，方向垂直纸面向里，整个空间还存在一个磁感应强度大小为B的匀强磁场，O处的磁感应强度恰好为零。如果将D处电流反向，其他条件都不变，则O处的磁感应强度大小为( )
/
A．2(－1)B B．2(＋1)B
C．2B D．0
4.如图所示为一个有界的足够大的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，一个不计重力的带正电的粒子，以某一速率v垂直磁场方向从O点进入磁场区域，粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角为θ，下列有关说法正确的是( )
/
A．若θ一定，v越大，粒子在磁场中运动时间越长
B．粒子在磁场中运动时间与v有关，与θ大小无关
C．粒子在磁场中运动时间与θ有关，与v无关
D．若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动时间越长
5.(2018·山东潍坊实验中学检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
/
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
6. (2019·河南省洛阳市三模)(多选)如图所示，虚线OL与y轴的夹角为60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一带正电荷的粒子从y轴上的M点沿平行于x轴的方向射入磁场，粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)。已知OP之间的距离与粒子在磁场中运动的轨道半径相等，不计粒子的重力。则下列说法正确的是( )
/
A．粒子离开磁场时的速度方向可能垂直虚线OL
B．粒子经过x轴时的速度方向可能垂直x轴
C．粒子离开磁场时的速度方向可能和虚线OL成30°夹角
D．粒子经过x轴时的速度方向可能与x轴正方向成30°夹角
7.(2019·山东济南高三上学期期末)如图所示，两竖直平行边界内，匀强电场方向竖直(平行纸面)向下，匀强磁场方向垂直纸面向里。一带负电小球从P点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动。若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则在小球进入的一小段时间内( )
/
A．小球的动能减小 B．小球的电势能减小
C．小球的重力势能减小 D．小球的机械能减小
8.(2019·河南郑州一模)如图所示，边界OM与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界ON上有一粒子源S。某一时刻，从粒子源S沿平行于纸面，向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相等，经过一段时间后有大量粒子从边界OM射出磁场。已知∠MON＝30°，从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为( )
/
A. B. C. D.
9.(2019·江西省南昌市二模)如图所示，圆形区域内存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P点为磁场边界上的一点。相同的带正电荷粒子，以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向，这些粒子射出磁场区域的位置均处于磁场边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是磁场边界圆周长的。若只将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为磁场边界圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则等于( )
/
A. B. C. D.
10.(2019·贵州毕节二模)如图所示，空间存在方向垂直于纸面向里的分界磁场，其中在MN左侧区域的磁感应强度大小为B，在MN右侧区域的磁感应强度大小为3B。一质量为m、电荷量为q、重力不计的带电粒子以平行纸面的速度v从MN上的O点垂直MN射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次与入射方向相同时，下列说法正确的是( )
/
A．粒子运动的时间是 B．粒子运动的时间是
C．粒子与O点间的距离为 D．粒子与O点间的距离为
11.(2019·浙江宁波高三上学期期末十校联考)如图甲所示，在y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示；与x轴平行的虚线MN下方有沿＋y方向的匀强电场，电场强度E＝×103 N/C。在y轴上放置一足够大的挡板。t＝0时刻，一个带正电粒子从P点以v＝2×104 m/s的速度沿＋x方向射入磁场。已知电场边界MN到x轴的距离为 m，P点到坐标原点O的距离为1.1 m，粒子的比荷＝106 C/kg，不计粒子的重力。求粒子：
/
(1)在磁场中运动时距x轴的最大距离；
(2)连续两次通过电场边界MN所需的时间；
(3)最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离。
12.(2019·岳阳模拟)如图所示，真空中的矩形abcd区域内存在竖直向下的匀强电场，半径为R的圆形区域内同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形边界分别相切于ad、bc边的中点e、f。一带电粒子以初速度v0沿着ef方向射入该区域后能做直线运动；当撤去磁场并保留电场时，粒子以相同的初速度沿着ef方向射入恰能从c点飞离该区域。已知ad＝bc＝R，忽略粒子的重力。求：
/
(1)带电粒子的电荷量q与质量m的比值；
(2)若撤去电场保留磁场，粒子离开矩形区域时的位置。
/
专题十 磁场（解析版）
考点
要求
考点解读及预测
磁场 磁感应强度 磁感线 磁通量
Ⅰ
1.考查方式
高考对本章内容考查命题频率极高，常以选择题和计算题两种形式出题，选择题一般考查磁场的基础知识和基础规律，一般难度不大；计算题主要是考查安培力、带电粒子在磁场中的运动与力学、电学、能量知识的综合应用，难度较大，较多是高考的压轴题．
2．命题趋势
(1)磁场的基础知识及规律的考查
(2)安培力、洛伦兹力的考查
(3)带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题，
通电直导线和通电线圈周围磁场的方向
Ⅰ
安培力
Ⅱ
洛伦兹力
Ⅱ
带电粒子在匀强磁场中的运动
Ⅱ
磁场的性质及带电粒子在磁场中的运动
（1）．安培力大小
(1)当I⊥B时，F＝BIL.
(2)当I∥B时，F＝0.
注意：①当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)．
②对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零．
（2）．安培力方向
用左手定则判断，注意安培力既垂直于B，也垂直于I，即垂直于B与I决定的平面．
(3)带电粒子在磁场中的受力情况
①磁场只对运动的电荷有力的作用，对静止的电荷无力的作用。磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
②洛伦兹力的大小和方向：其大小为F＝qvBsinθ，注意：θ为v与B的夹角。F的方向由左手定则判定，四指的指向应为正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
(4)洛伦兹力做功的特点
由于洛伦兹力始终和速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功。
(3)带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型
①匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动。
②匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度大小做匀速圆周运动。
(5)带电粒子在磁场中的运动，难点和关键点是画粒子的运动轨迹，需要的物理知识是左手定则、向心力公式qvB＝m、轨迹半径的表达式R＝、周期的表达式T＝或T＝；需要的数学知识是直角三角形的三角函数关系、勾股定理，一般三角形的正弦定理，图中所涉及的不同三角形间的边角关系等。
(6)粒子在直线边界磁场中的运动，一要利用好其中的对称性：从一直线边界射入匀强磁场中的粒子，从同一直线边界射出时，射入和射出具有对称性；二要充分利用粒子在直线边界上的入射点和出射点速度方向和向心力的方向是垂直的。
3．复合场中是否需要考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力。
(2)题目中明确说明是否要考虑重力。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分析出是否要考虑重力。
一、磁场的叠加和安培定则的综合问题
(1)根据安培定则确定通电导线周围磁感线的方向。
(2)磁场中每一点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向。
(3)磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场的磁感应强度等于各通电导体单独存在时在该点磁感应强度的矢量和。
二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1、圆心、半径、时间的确定
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝T
②t＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动的几种常见情形
直线边界
粒子进出磁场具有对称性
平行边界
粒子运动存在临界条件
圆形边界
粒子沿径向射入的再沿径向射出
三、带电粒子在磁场中运动的多解问题
1. 带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如图所示
带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b。2. 磁场方向不确定
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示
带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3. 临界状态不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°后从入射面边界反向飞出，如图所示
于是形成了多解。
四、带电粒子在组合场中运动的解题思路
(1)明性质：要清楚场的性质、方向、强弱、范围等。
(2)定运动：带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况。
(3)画轨迹：正确画出粒子的运动轨迹。
(4)用规律：根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律进行处理。
(5)找关系：要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向的关系，上一个区域的末速度往往是下一个区域的初速度。
五、“旋转圆”与“放缩圆”问题
1、“旋转圆”：
确定的入射点O和速度大小v，不确定速度方向。在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。即将半径不变的圆周轨迹，以粒子的发射点为圆心旋转，各动态圆相交于O点。
“放缩圆”：
确定入射点O和速度方向，不确定速度大。在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。即半径不同的圆周轨迹，都以粒子的发射速度方向为切线，各动态圆相交于O点。
题型一、磁场的性质与安培力
【典例1】．(2019·江苏高考)(多选)如图所示，在光滑的水平桌面上，a和b是两条固定的平行长直导线，通过的电流强度相等。矩形线框位于两条导线的正中间，通有顺时针方向的电流，在a、b产生的磁场作用下静止。则a、b的电流方向可能是( )
A．均向左 B．均向右
C．a的向左，b的向右 D．a的向右，b的向左
【答案】 CD
【解析】如图1所示，若a、b中电流方向均向左，矩形线框靠近导线的两边所受安培力方向相同，使线框向导线b移动。
同理可知，若a、b中电流均向右，线框向导线a移动，故A、B不符合题意。
若a导线的电流方向向左，b导线的电流方向向右，a、b中电流I′在线框所在处产生的磁场方向如图2所示，线框靠近导线的两边所在处的磁感应强度相同，所受的安培力大小相等、方向相反，线框静止。
同理可知，若a导线的电流方向向右，b导线的电流方向向左，线框也静止，C、D符合题意。
题型二、判定安培力作用下导体的运动
【典例2】．(2019·福州高考模拟)如图所示，一根长为L的金属细杆通有大小为I的电流时，水平静止在倾角为θ的光滑绝缘固定斜面上。斜面处在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。若电流和磁场的方向均不变，电流大小变为0.5I，磁感应强度大小变为4B，重力加速度为g。则此时金属细杆( )
A．电流流向垂直纸面向外
B．受到的安培力大小为2BILsinθ
C．对斜面压力大小变为原来的2倍
D．将沿斜面向上加速运动，加速度大小为gsinθ
【答案】 D
【解析】 金属细杆水平静止时，金属细杆受到重力、斜面的支持力和安培力而平衡，故安培力水平向右，由左手定则得电流流向垂直纸面向里，A错误；根据安培力公式可得，后来金属细杆受到的安培力大小为F安＝4B·IL＝2BIL，B错误；金属细杆水平静止于斜面上时，根据平衡条件可得：FNcosθ＝mg，FNsinθ＝BIL，磁感应强度大小和电流大小改变时，根据受力分析和牛顿第二定律可得：FN′＝mgcosθ＋2BILsinθ＝＝FN(1＋sin2θ)<2FN，a＝＝gsinθ，加速度方向沿斜面向上，金属细杆将沿斜面向上运动，C错误，D正确。
题型三、带电粒子在匀强磁场中运动的处理方法
【典例3】．(2019·江西高三九校3月联考)(多选)如图所示是一个半径为R的竖直圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。有一个粒子源在圆上的A点不停地发射出速率相同的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，电荷量均为q，运动的半径为r，在磁场中的轨迹所对应的圆心角为α。下列说法正确的是( )
A．若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r＝2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，则有tan＝
C．若r＝R，粒子沿着磁场的半径方向射入，则粒子在磁场中的运动时间为
D．若r＝R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，则圆心角α为150°
【答案】 BD
【解析】 若r＝2R，粒子在磁场中运动时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的弦，作出轨迹如图1所示，因为r＝2R，圆心角α＝60°，则粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝·＝，故A错误；若r＝2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，作出轨迹
如图2所示，根据几何关系，有tan＝＝＝，故B正确；若r＝R，粒子沿着磁场的半径方向射入，粒子运动轨迹如图3所示，圆心角为90°，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝·＝，故C错误；若r＝R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，轨迹如图4所示，图中轨迹圆心与磁场圆心以及入射点和出射点连线构成菱形，由几何知识知圆心角α为150°，故D正确。
题型四 带电粒子在组合场、复合场中的运动
【典例4】．(2019·湖南怀化高考一模)如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界矩形匀强磁场区域(图中未画出)；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场。一粒子源固定在x轴上坐标为(－L,0)的A点，粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v0的电子，电子通过y轴上的C点时速度方向与y轴正方向成α＝45°角，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成 β＝15°角的射线OM。已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用。求：
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)电子在电场和磁场中运动的总时间t；
(3)矩形磁场区域的最小面积Smin。
【答案】 (1) (2)＋ (3)2
【解析】 (1)电子从A到C的过程中，由动能定理得：
eEL＝mv－mv，
又有vCcosα＝v0，
联立解得：E＝。
(2)电子在电场中做类平抛运动，沿电场方向有：
L＝t1，
其中vC＝，
由数学知识知电子在磁场中的速度偏向角等于圆心角：θ＝π－α－β＝，
电子在磁场中的运动时间：t2＝T，
其中T＝，
电子在电场和磁场中运动的总时间t＝t1＋t2，
联立解得：t＝＋。
(3)电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有evCB＝m
最小矩形区域如图所示，
由数学知识得：CD＝2r·sin，CQ＝r－rcos，
矩形区域的最小面积：Smin＝CD·CQ，
联立解得：Smin＝2。
【典例5】．(2019·山东省滨州市二模)如图所示，处于竖直面内的坐标系x轴水平、y轴竖直，第二象限内有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直坐标平面向里。带电微粒从x轴上M点以某一速度射入电磁场中，速度与x轴负半轴夹角α＝53°，微粒在第二象限做匀速圆周运动，并垂直y轴进入第一象限。已知微粒的质量为m，电荷量为－q，OM间距离为L，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
(1)匀强电场的电场强度E；
(2)若微粒再次回到x轴时动能为M点动能的2倍，匀强磁场的磁感应强度B为多少？
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)微粒在第二象限做匀速圆周运动，
则qE＝mg解得：E＝。
(2)微粒垂直y轴进入第一象限，则圆周运动圆心在y轴上，由几何关系得：rsinα＝L
洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝m
微粒在第一象限中运动时机械能守恒，有：
mgr(1＋cosα)＝Ek－mv2
又因为Ek＝2×mv2
联立以上各式解得：B＝ 。
1．(2019·山东省聊城市二模)如图所示，三根相互平行的固定长直导线L1、L2和L3垂直纸面放置，直导线与纸面的交点及坐标原点O分别位于边长为a的正方形的四个顶点。L1与L3中的电流均为2I、方向均垂直纸面向里，L2中的电流为I、方向垂直纸面向外。已知在电流为I的长直导线的磁场中，距导线r处的磁感应强度B＝，其中k为常数。某时刻有一电子正好经过原点O且速度方向垂直纸面向外，速度大小为v，电子电量为e，则该电子所受磁场力( )
A．方向与y轴正方向成45°角，大小为
B．方向与y轴负方向成45°角，大小为
C．方向与y轴正方向成45°角，大小为
D．方向与y轴负方向成45°角，大小为
【答案】 D
【解析】 通电直导线L1、L2、L3分别在原点O处产生磁场的磁感应强度B1＝k、B2＝k、B3＝k，方向如图所示。则三电流在O点处产生合磁场的磁感应强度B＝B1－B2＝，方向与y轴正方向成45°角且指向第一象限。电子经过原点O速度方向垂直纸面向外，速度大小为v，据左手定则知，该电子所受洛伦兹力方向与y轴负方向成45°角，洛伦兹力的大小f＝evB＝，D正确，A、B、C错误。
2.(2019·常州市月考)如图所示的圆形区域里匀强磁场方向垂直于纸面向里，有一束速率各不相同的质子自A点沿半径方向射入磁场，则质子射入磁场的运动速率越大( )
A．其轨迹对应的圆心角越大 B．其在磁场区域运动的路程越大
C．其射出磁场区域时速度的偏向角越大 D．其在磁场中的运动时间越长
【答案】B
【解析】设磁场区域半径为R，质子轨迹圆心角为α，轨迹如图所示。
质子在磁场中运动的时间为t＝，轨迹半径r＝Rcot，而r＝，质子速率v越大，则r越大，故α越小，t越小，故A、C、D错误；质子运动的轨迹为s＝rα＝α，r增大的比α减小的快，故速率越大，其在磁场区域运动的路程越大，故B正确。
3.(2019·辽宁大连二模)如图所示，AC是四分之一圆弧，O为圆心，D为圆弧中点，A、D、C处各有一垂直纸面的通电直导线，电流大小相等，方向垂直纸面向里，整个空间还存在一个磁感应强度大小为B的匀强磁场，O处的磁感应强度恰好为零。如果将D处电流反向，其他条件都不变，则O处的磁感应强度大小为( )
A．2(－1)B B．2(＋1)B
C．2B D．0
【答案】 A
【解析】 O处的磁感应强度是A、D、C处电流分别在O处产生的磁感应强度与空间存在的匀强磁场的磁感应强度的矢量和，O处的磁感应强度恰好为零，则A、D、C处电流在O处产生磁感应强度的矢量和一定与匀强磁场的磁感应强度等大反向，由矢量合成可得，A、C、D处电流在O处产生的磁感应强度大小均为BO＝，所以如果将D处电流反向，其他条件都不变，则O处的磁感应强度大小B′＝B＋BO－BO＝2BO＝2(－1)B，A正确。
4.如图所示为一个有界的足够大的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，一个不计重力的带正电的粒子，以某一速率v垂直磁场方向从O点进入磁场区域，粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角为θ，下列有关说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，粒子在磁场中运动时间越长
B．粒子在磁场中运动时间与v有关，与θ大小无关
C．粒子在磁场中运动时间与θ有关，与v无关
D．若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动时间越长
【答案】C
【解析】粒子在磁场中的运动轨迹如图，
由几何知识知，粒子离开磁场时转过的圆心角一定为2π－2θ，在A、B、C选项中，若θ一定，则有：t＝·＝·，可见粒子在磁场中运动的时间与v无关，与θ有关，故A、B错误，C正确；由上式可知若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动的时间越短，D错误。
5.(2018·山东潍坊实验中学检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【答案】BC
【解析】
由t＝T知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，由半径公式r＝知，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故A错误，B正确。由周期公式T＝知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D错误。
6. (2019·河南省洛阳市三模)(多选)如图所示，虚线OL与y轴的夹角为60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一带正电荷的粒子从y轴上的M点沿平行于x轴的方向射入磁场，粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)。已知OP之间的距离与粒子在磁场中运动的轨道半径相等，不计粒子的重力。则下列说法正确的是( )
A．粒子离开磁场时的速度方向可能垂直虚线OL
B．粒子经过x轴时的速度方向可能垂直x轴
C．粒子离开磁场时的速度方向可能和虚线OL成30°夹角
D．粒子经过x轴时的速度方向可能与x轴正方向成30°夹角
【答案】 BD
【解析】 如果粒子离开磁场时的速度方向垂直虚线OL，则轨迹圆心为O，可知OP＞r，A错误；如果粒子经过x轴时的速度方向垂直x轴，则粒子经过OL时速度方向竖直向下，粒子运动轨迹如图1所示，
由几何关系可得OP＝r，B正确；如果粒子离开磁场时的速度方向和虚线OL成30°夹角，则粒子运动轨迹如图2所示，
由几何知识可知，此时OP距离一定小于r，C错误；如果粒子经过x轴时的速度方向与x轴正方向成30°夹角，轨迹如图3所示，
由几何知识知△AOC与△OAP全等，故OP＝AC＝r，D正确。
7.(2019·山东济南高三上学期期末)如图所示，两竖直平行边界内，匀强电场方向竖直(平行纸面)向下，匀强磁场方向垂直纸面向里。一带负电小球从P点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动。若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则在小球进入的一小段时间内( )
A．小球的动能减小 B．小球的电势能减小
C．小球的重力势能减小 D．小球的机械能减小
【答案】 ACD
【解析】 小球在电磁场中做直线运动时，小球共受到三个力作用：重力G、电场力F、洛伦兹力f，这三个力都在竖直方向上，小球在水平直线上运动，判断可知小球受到的合力一定是零，则小球一定做匀速直线运动。小球带负电，受到的电场力向上，洛伦兹力向下，重力向下，当小球的入射速度增大时，洛伦兹力增大，而电场力和重力不变，小球将向下偏转，电场力与重力的合力向上，则它们的合力对小球做负功，洛伦兹力不做功，小球动能减小，A正确；除重力外，只有电场力对小球做功，且做负功，则小球的机械能减小，电势能增大，B错误，D正确；重力对小球做正功，重力势能减小，C正确。
8.(2019·河南郑州一模)如图所示，边界OM与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界ON上有一粒子源S。某一时刻，从粒子源S沿平行于纸面，向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相等，经过一段时间后有大量粒子从边界OM射出磁场。已知∠MON＝30°，从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动，入射点是S，出射点在OM直线上，出射点与S点的连线为轨迹的一条弦。当从边界OM射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，轨迹的弦最短，根据几何知识，作ES⊥OM，则ES为最短的弦，即粒子从S到E的时间最短。
由题意可知，粒子运动的最长时间等于T，此时轨迹的弦为DS，设OS＝d，则DS＝OStan30°＝d，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为：r＝＝d，由几何知识有ES＝OSsin30°＝d，sin＝＝＝，则θ＝120°，粒子在磁场中运动的最短时间为：tmin＝T＝T，A正确。
9.(2019·江西省南昌市二模)如图所示，圆形区域内存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P点为磁场边界上的一点。相同的带正电荷粒子，以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向，这些粒子射出磁场区域的位置均处于磁场边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是磁场边界圆周长的。若只将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为磁场边界圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】当磁感应强度为B2时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，如图所示，
故∠POM＝120°。所以粒子做圆周运动的半径r2＝Rsin60°＝，同理可知r1＝Rsin30°＝，解得＝，B正确，A、C、D错误。
10.(2019·贵州毕节二模)如图所示，空间存在方向垂直于纸面向里的分界磁场，其中在MN左侧区域的磁感应强度大小为B，在MN右侧区域的磁感应强度大小为3B。一质量为m、电荷量为q、重力不计的带电粒子以平行纸面的速度v从MN上的O点垂直MN射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次与入射方向相同时，下列说法正确的是( )
A．粒子运动的时间是 B．粒子运动的时间是
C．粒子与O点间的距离为 D．粒子与O点间的距离为
【答案】 AC
【解析】 粒子在MN右侧运动半个周期后回到MN左侧，再运动半个周期后的速度方向与入射方向相同，在MN右侧运动的时间t1＝T1＝×＝，在MN左侧运动的时间t2＝T2＝×＝，因此粒子的速度方向再次与入射方向相同时的运动时间为t＝t1＋t2＝，故A正确，B错误；在MN右侧粒子运动的距离为L1＝2R1＝，在MN左侧粒子运动的距离为L2＝2R2＝，粒子与O点间的距离L＝L2－L1＝，故C正确，D错误。
11.(2019·浙江宁波高三上学期期末十校联考)如图甲所示，在y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示；与x轴平行的虚线MN下方有沿＋y方向的匀强电场，电场强度E＝×103 N/C。在y轴上放置一足够大的挡板。t＝0时刻，一个带正电粒子从P点以v＝2×104 m/s的速度沿＋x方向射入磁场。已知电场边界MN到x轴的距离为 m，P点到坐标原点O的距离为1.1 m，粒子的比荷＝106 C/kg，不计粒子的重力。求粒子：
(1)在磁场中运动时距x轴的最大距离；
(2)连续两次通过电场边界MN所需的时间；
(3)最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离。
【答案】 (1)0.4 m (2)×10－5 s或4π×10－5 s(3)0.37 m
【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
qvB＝m，
解得半径R＝0.2 m，
粒子做匀速圆周运动的周期T＝＝2π×10－5 s，由图乙可知粒子运动圆周后磁感应强度发生变化，在0～×10－5 s内，粒子做匀速圆周运动的时长为t1＝×10－5 s。
由磁场变化规律可知，粒子在0～×10－5 s时间内做匀速圆周运动至A点，接着沿－y方向做匀速直线运动直至电场边界上的C点，如图1所示，设电场边界MN到x轴的距离为y0，用时t2＝＝×10－5 s＝。
进入电场后做匀减速运动至D点，由牛顿第二定律得粒子的加速度：
a＝＝×109 m/s2，
粒子从C点减速至D再反向加速至C所需的时间
t3＝＝ s＝×10－5 s＝。
接下来，粒子沿＋y轴方向匀速运动至A所需时间仍为t2，磁感应强度刚好变为0.1 T，粒子将在洛伦兹力的作用下从A点开始做匀速圆周运动，再经×10－5 s时间，粒子将运动到F点，此后将重复前面的运动过程。
因此粒子在磁场中运动时，到x轴的最大距离ym＝2R＝0.4 m。
(2)由(1)中结论可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2π×10－5 s
粒子连续两次通过电场边界MN有两种可能情况，以图1所示过程为例，
第一种可能是，由C点先沿－y方向到D再返回经过C，所需时间为t＝t3＝×10－5 s。
第二种可能是，由C点先沿＋y方向运动至A点，做匀速圆周运动一圈半后，从G点沿－y方向做匀速直线运动至MN，所需时间为t′＝t2＋＋t2＝2T＝4π×10－5 s。
(3)由(1)可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向－x方向平移2R(即图1中所示从P点移到F点)，＝1.1 m＝5.5R，故粒子打在挡板前的前运动轨迹如图2所示，其中I是粒子开始做圆周运动的起点，J是粒子打在挡板上的位置，K是最后一段圆周运动的圆心，Q是I点与K点连线与y轴的交点。
由题意知，＝－5R＝0.1 m，＝R－＝0.1 m＝，
则＝＝R，
J点到O的距离＝R＋R＝ m≈0.37 m。
12.(2019·岳阳模拟)如图所示，真空中的矩形abcd区域内存在竖直向下的匀强电场，半径为R的圆形区域内同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形边界分别相切于ad、bc边的中点e、f。一带电粒子以初速度v0沿着ef方向射入该区域后能做直线运动；当撤去磁场并保留电场时，粒子以相同的初速度沿着ef方向射入恰能从c点飞离该区域。已知ad＝bc＝R，忽略粒子的重力。求：
(1)带电粒子的电荷量q与质量m的比值；
(2)若撤去电场保留磁场，粒子离开矩形区域时的位置。
【答案】 (1) (2)ab边上距b点处
【解析】 (1)设匀强电场场强为E，当电场和磁场同时存在时，粒子沿ef方向做直线运动，有qv0B＝qE
当撤去磁场，保留电场时，带电粒子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，由题知，粒子恰能从c点飞出，则水平方向有2R＝v0t
竖直方向有bc＝at2
因为qE＝ma
解得＝。
(2)若撤去电场保留磁场，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m
得r＝＝R
轨迹如图所示，
由图中几何关系得r＝Rtanθ
得θ＝60°，故粒子离开矩形区域时在ab边上的位置g与b的距离为x＝R－bc·
解得x＝。
