专题十一 带电粒子在复合场中的运动（原卷版）
考点
要求
考点解读及预测
质谱仪和回旋加速器的工作原理
Ⅰ
1.考查方式
(1)带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题，在组合场、复合场中的运动问题
(2)磁场与现代科学知识的综合应用
带电粒子在复合场中的运动
Ⅱ
一、“磁偏转”和“电偏转”的区别
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以v⊥E进入匀强电场
带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
受力
FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力
运动轨迹
抛物线
圆弧
物理规律
类平抛知识、牛顿第二定律
牛顿第二定律、向心力公式
运动规律
类平抛运动vx＝v0，
vy＝t，x＝v0t，
y＝t2
匀速圆周运动
r＝，T＝
运动时间
t＝
t＝T＝
做功情况
电场力既改变速度方向，也改变速度的大小，对电荷要做功
洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度的大小，对电荷永不做功
物理图象
二、带电粒子在复合场、组合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
3．带电粒子在复合场、组合场中的常见运动
1）、当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态
2）、当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
3）、当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线
4）、带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成
一、带电粒子在复合场中运动的应用实例
装置
原理图
规律
质
谱
仪
粒子由静止被加速电场加速mv2＝qU，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝，则比荷＝
回旋加
速器
交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速。由qvB＝得Ekm＝
速度选
择器
若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体
发电机
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝Bdv0
霍尔
效应
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
二、 带电粒子在组合场中的运动
“3步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力和运动分析，主要涉及两种典型运动．
第3步：用规律
磁偏转→→定圆心→画轨迹
1.
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图甲、乙所示)
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图丙、丁所示)在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．
三、带电粒子在叠加场中的运动
1．三种场的比较
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关
W＝qU
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
2．带电粒子在复合场中运动的三种情况
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
题型一、带电粒子在复合场中运动的应用实例
【典例1】．如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面
内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比．
【答案】 (1) (2)1∶4
【解析】 (1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
q1U＝m1v①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
q1v1 B＝m1②
由几何关系知
2R1＝l③
由①②③式得
B＝④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有
q2U＝m2v⑤
q2v2B＝m2⑥
由题给条件有
2R2＝⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
∶＝1∶4⑧
题型二、带电粒子在组合场中的直线运动和圆周运动
【典例2】．(2019·全国卷Ⅰ)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)设带电粒子的质量为m、电荷量为q，经电压U加速后的速度大小为v。
由动能定理有qU＝mv2①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB＝m②
粒子的运动轨迹如图，由几何关系知
d＝r③
联立①②③式得＝④
(2)由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动至x轴所经过的路程为s＝＋rtan30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为
t＝⑥
联立②④⑤⑥式得t＝。⑦
题型三、带电粒子在组合场中类平抛与圆周运动
【典例3】．平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存
在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示．一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍．粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等．不计粒子重力，问：
(1)粒子到达O点时速度的大小和方向；
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比．
【答案】 (1)v0，与x轴正方向成45°角斜向上 (2)
【解析】 (1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，有
2L＝v0t①
L＝at2②
设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy
vy＝at ③
设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为α，有
tan α＝④
联立①②③④式得
α＝45°⑤
即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45°角斜向上．
设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有
v＝⑥
联立①②③⑥式得
v＝v0.⑦
(2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得
F＝ma ⑧
又F＝qE ⑨
设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有
qvB＝m ⑩
由几何关系可知
R＝L?
联立①②⑦⑧⑨⑩?式得
＝.
题型四 .电场力、磁场力、重力并存
(1)若三力平衡，带电体做匀速直线运动．
(2)若重力与电场力平衡，带电体做匀速圆周运动．
(3)若合力不为零，带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律或动能定理求解．
【典例4】．(2019·浙江名校联考) 质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是( )
A．该微粒一定带负电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强为Bvcos θ
【答案】AC
【解析】.若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE和垂直OA斜向右下方的洛伦兹力qvB，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的电场力qE和垂直OA斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，故选项A正确，B错误；由平衡条件得：qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，得磁场的磁感应强度B＝，电场的场强E＝Bvsin θ，故选项C正确，D错误．
题型五 带电粒子在交变场中的周期性运动
【典例5】．(2019·哈尔滨三中模拟)如图甲所示，质量为m带电量为－q的带电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v0垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场磁感应强度大小不变、方向周期性变化如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B0.粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过mn的时刻均为整数倍，则：
(1)粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？
(2)若初始位置与第四次经过mn时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一次经过mn)．
【答案】 (1)或 (2) －2v0
【解析】 (1)带电粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qv0B0＝m
解得r＝(或T0＝，r＝)．
(2)第一种情况，若粒子进入第Ⅲ区域，当第三次经过mn进入Ⅰ区域，Ⅰ区域磁场向外时：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝
qv2B0＝m
解得粒子在Ⅲ区域速度大小v2＝
第二种情况，若粒子进入第Ⅲ区域，当第三次经过mn进入Ⅰ区域，Ⅰ区域磁场向里时：
粒子在Ⅲ区域运动半径R＝
粒子在Ⅲ区域速度大小v2＝－2v0.
题型六、组合场在科技中的应用
【典例6】．医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度．电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的．使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示．由于血液中的正、负离子随血液一起在磁场中运动，电极ab之间会有微小电势差．在达到平衡时，血管内部的电场可看做是匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零．在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T．则血流速度的近似值和电极a、b的正负为 ( )
A．1.3 m/s，a正、b负 B．2.7 m/s，a正、b负
C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正
【答案】A
【解析】由于正、负离子在匀强磁场中垂直于磁场方向运动，利用左手定则可以判断电极a带正电，电极b带负电．血液流动速度可根据离子所受的电场力和洛伦兹力的合力为0，即qvB＝qE得v＝＝≈1.3 m/s，A正确．
1.质量为m的带电小球在正交的匀强电场、匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道平面在竖直平面内，电场方向竖直向下，磁场方向垂直圆周所在平面向里，如图1所示，由此可知( )
A.小球带正电，沿顺时针方向运动 B.小球带负电，沿顺时针方向运动
C.小球带正电，沿逆时针方向运动 D.小球带负电，沿逆时针方向运动
2.(2019·江西南昌三校联考)中国科学家发现了量子反常霍尔效应，杨振宁称这一发现是诺贝尔奖级的成果．如图所示，厚度为h、宽度为d的金属导体，当磁场方向与电流方向垂直时，在导体上下表面会产生电势差，这种现象称为霍尔效应．下列说法正确的是( )
A．上表面的电势高于下表面的电势 B．仅增大h时，上下表面的电势差增大
C．仅增大d时，上下表面的电势差减小 D．仅增大电流I时，上下表面的电势差减小
3.(2019·山西名校联考)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具．图中的铅盒A中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S1进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外半径为R的圆形匀强磁场．现在MN上的F点(图中未画出)接收到该粒子，且GF＝R.则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计) ( )
A. B. C. D.
4．如图所示，沿直线通过速度选择器的正离子从狭缝S射入磁感应强度为B2的匀强磁场中，偏转后出现的轨迹半径之比为R1∶R2＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．离子的速度之比为1∶2 B．离子的电荷量之比为1∶2
C．离子的质量之比为1∶2 D．以上说法都不对
5．如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加速后，从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域，重力不计，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的C点。已知OA＝OC＝d。则磁感应强度B和电场强度E可表示为( )
A．B＝，E＝ B．B＝，E＝
C．B＝，E＝ D．B＝，E＝
6.(2019·厦门一模)如图所示，空间的某个复合场区域内存在着竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．质子由静止开始经一加速电场加速后，垂直于复合场的边界进入并沿直线穿过场区，质子(不计重力)穿过复合场区所用时间为t，从复合场区穿出时的动能为Ek，则( )
A．若撤去磁场B，质子穿过场区时间大于t B．若撒去电场E，质子穿过场区时间等于t
C．若撒去磁场B，质子穿出场区时动能大于Ek D．若撤去电场E，质子穿出场区时动能大于Ek
7.如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里，一带电油滴P恰好处于静止状态，则下列说法正确的是 ( )
若仅撤去磁场，P可能做匀加速直线运动
B．若仅撤去电场，P可能做匀加速直线运动
C．若给P一初速度，P不可能做匀速直线运动
D．若给P一初速度，P可能做匀速圆周运动
8.如图所示，实线表示竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜向上的虚线L斜向上做直线运动，L与水平方向成β角，且α＞β，则下列说法中正确的是 ( )
A．液滴一定做匀速直线运动 B．液滴一定带负电
C．电场线方向一定斜向上 D．液滴有可能做匀变速直线运动
9. (2019·铜陵质检)如图所示，粗糙的足够长的竖直木杆上套有一个带电的小球，整个装置处在由水平匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场组成的足够大的复合场中，小球由静止开始下滑，在整个运动过程中小球的v－t图象如下图所示，其中正确的是( )
10.如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子，自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场。以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d，不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；
（3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
11.如图所示，质量为m，带电量为＋q的液滴，以速度v沿与水平成45°角斜向上进入正交的足够大的匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，液滴在场区做直线运动．重力加速度为g，求：
(1)电场强度E和磁感应强度B各多大？
(2)当液滴运动到某一点A时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而产生的磁场的影响，此时液滴加速度多少？
(3)在满足(2)的前提下，粒子从A点到达与A点位于同一水平线上的B点(图中未画出)所用的时间．
12．(2019·开封模拟)如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5 m，磁场垂直纸面向里．在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m.在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到零后又返回磁场，最终又从磁场离开．已知粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计．
(1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小；
(2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程．
专题十一 带电粒子在复合场中的运动（解析版）
考点
要求
考点解读及预测
质谱仪和回旋加速器的工作原理
Ⅰ
1.考查方式
(1)带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题，在组合场、复合场中的运动问题
(2)磁场与现代科学知识的综合应用
带电粒子在复合场中的运动
Ⅱ
一、“磁偏转”和“电偏转”的区别
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以v⊥E进入匀强电场
带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
受力
FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力
运动轨迹
抛物线
圆弧
物理规律
类平抛知识、牛顿第二定律
牛顿第二定律、向心力公式
运动规律
类平抛运动vx＝v0，
vy＝t，x＝v0t，
y＝t2
匀速圆周运动
r＝，T＝
运动时间
t＝
t＝T＝
做功情况
电场力既改变速度方向，也改变速度的大小，对电荷要做功
洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度的大小，对电荷永不做功
物理图象
二、带电粒子在复合场、组合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
3．带电粒子在复合场、组合场中的常见运动
1）、当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态
2）、当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
3）、当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线
4）、带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成
一、带电粒子在复合场中运动的应用实例
装置
原理图
规律
质
谱
仪
粒子由静止被加速电场加速mv2＝qU，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝，则比荷＝
回旋加
速器
交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速。由qvB＝得Ekm＝
速度选
择器
若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体
发电机
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝Bdv0
霍尔
效应
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
二、 带电粒子在组合场中的运动
“3步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力和运动分析，主要涉及两种典型运动．
第3步：用规律
磁偏转→→定圆心→画轨迹
1.
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图甲、乙所示)
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图丙、丁所示)在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．
三、带电粒子在叠加场中的运动
1．三种场的比较
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关
W＝qU
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
2．带电粒子在复合场中运动的三种情况
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
题型一、带电粒子在复合场中运动的应用实例
【典例1】．如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面
内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比．
【答案】 (1) (2)1∶4
【解析】 (1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
q1U＝m1v①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
q1v1 B＝m1②
由几何关系知
2R1＝l③
由①②③式得
B＝④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有
q2U＝m2v⑤
q2v2B＝m2⑥
由题给条件有
2R2＝⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
∶＝1∶4⑧
题型二、带电粒子在组合场中的直线运动和圆周运动
【典例2】．(2019·全国卷Ⅰ)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)设带电粒子的质量为m、电荷量为q，经电压U加速后的速度大小为v。
由动能定理有qU＝mv2①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB＝m②
粒子的运动轨迹如图，由几何关系知
d＝r③
联立①②③式得＝④
(2)由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动至x轴所经过的路程为s＝＋rtan30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为
t＝⑥
联立②④⑤⑥式得t＝。⑦
题型三、带电粒子在组合场中类平抛与圆周运动
【典例3】．平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存
在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示．一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍．粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等．不计粒子重力，问：
(1)粒子到达O点时速度的大小和方向；
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比．
【答案】 (1)v0，与x轴正方向成45°角斜向上 (2)
【解析】 (1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，有
2L＝v0t①
L＝at2②
设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy
vy＝at ③
设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为α，有
tan α＝④
联立①②③④式得
α＝45°⑤
即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45°角斜向上．
设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有
v＝⑥
联立①②③⑥式得
v＝v0.⑦
(2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得
F＝ma ⑧
又F＝qE ⑨
设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有
qvB＝m ⑩
由几何关系可知
R＝L?
联立①②⑦⑧⑨⑩?式得
＝.
题型四 .电场力、磁场力、重力并存
(1)若三力平衡，带电体做匀速直线运动．
(2)若重力与电场力平衡，带电体做匀速圆周运动．
(3)若合力不为零，带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律或动能定理求解．
【典例4】．(2019·浙江名校联考) 质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是( )
A．该微粒一定带负电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强为Bvcos θ
【答案】AC
【解析】.若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE和垂直OA斜向右下方的洛伦兹力qvB，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的电场力qE和垂直OA斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，故选项A正确，B错误；由平衡条件得：qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，得磁场的磁感应强度B＝，电场的场强E＝Bvsin θ，故选项C正确，D错误．
题型五 带电粒子在交变场中的周期性运动
【典例5】．(2019·哈尔滨三中模拟)如图甲所示，质量为m带电量为－q的带电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v0垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场磁感应强度大小不变、方向周期性变化如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B0.粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过mn的时刻均为整数倍，则：
(1)粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？
(2)若初始位置与第四次经过mn时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一次经过mn)．
【答案】 (1)或 (2) －2v0
【解析】 (1)带电粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qv0B0＝m
解得r＝(或T0＝，r＝)．
(2)第一种情况，若粒子进入第Ⅲ区域，当第三次经过mn进入Ⅰ区域，Ⅰ区域磁场向外时：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝
qv2B0＝m
解得粒子在Ⅲ区域速度大小v2＝
第二种情况，若粒子进入第Ⅲ区域，当第三次经过mn进入Ⅰ区域，Ⅰ区域磁场向里时：
粒子在Ⅲ区域运动半径R＝
粒子在Ⅲ区域速度大小v2＝－2v0.
题型六、组合场在科技中的应用
【典例6】．医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度．电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的．使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示．由于血液中的正、负离子随血液一起在磁场中运动，电极ab之间会有微小电势差．在达到平衡时，血管内部的电场可看做是匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零．在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T．则血流速度的近似值和电极a、b的正负为 ( )
A．1.3 m/s，a正、b负 B．2.7 m/s，a正、b负
C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正
【答案】A
【解析】由于正、负离子在匀强磁场中垂直于磁场方向运动，利用左手定则可以判断电极a带正电，电极b带负电．血液流动速度可根据离子所受的电场力和洛伦兹力的合力为0，即qvB＝qE得v＝＝≈1.3 m/s，A正确．
1.质量为m的带电小球在正交的匀强电场、匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道平面在竖直平面内，电场方向竖直向下，磁场方向垂直圆周所在平面向里，如图1所示，由此可知( )
A.小球带正电，沿顺时针方向运动 B.小球带负电，沿顺时针方向运动
C.小球带正电，沿逆时针方向运动 D.小球带负电，沿逆时针方向运动
【答案】B
【解析】根据题意，可知小球受到的电场力方向向上，大小等于重力，又电场方向竖直向下，可知小球带负电；已知磁场方向垂直圆周所在平面向里，带负电的小球受到的洛伦兹力指向圆心，小球一定沿顺时针方向运动，选项B正确。
2.(2019·江西南昌三校联考)中国科学家发现了量子反常霍尔效应，杨振宁称这一发现是诺贝尔奖级的成果．如图所示，厚度为h、宽度为d的金属导体，当磁场方向与电流方向垂直时，在导体上下表面会产生电势差，这种现象称为霍尔效应．下列说法正确的是( )
A．上表面的电势高于下表面的电势 B．仅增大h时，上下表面的电势差增大
C．仅增大d时，上下表面的电势差减小 D．仅增大电流I时，上下表面的电势差减小
【答案】C
【解析】因电流方向向右，则金属导体中的自由电子是向左运动的，根据左手定则可知上表面带负电，则上表面的电势低于下表面的电势，A选项错误．当电子达到平衡时，电场力等于洛伦兹力，即q＝qvB，又I＝nqvhd(n为导体单位体积内的自由电子数)，得U＝，则仅增大h时，上下表面的电势差不变；仅增大d时，上下表面的电势差减小；仅增大I时，上下表面的电势差增大，故C正确，B、D错误．
3.(2019·山西名校联考)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具．图中的铅盒A中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S1进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外半径为R的圆形匀强磁场．现在MN上的F点(图中未画出)接收到该粒子，且GF＝R.则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计) ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设粒子被加速后获得的速度为v，由动能定理有：qU＝mv2，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝，又Bqv＝m，可求＝，故C正确．
4．如图所示，沿直线通过速度选择器的正离子从狭缝S射入磁感应强度为B2的匀强磁场中，偏转后出现的轨迹半径之比为R1∶R2＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．离子的速度之比为1∶2 B．离子的电荷量之比为1∶2
C．离子的质量之比为1∶2 D．以上说法都不对
【答案】D
【解析】因为两粒子能沿直线通过速度选择器，则qvB1＝qE，即v＝，所以两离子的速度相同，选项A错误；根据R＝，则∶＝＝，选项B、C错误，D正确。
5．如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加速后，从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域，重力不计，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的C点。已知OA＝OC＝d。则磁感应强度B和电场强度E可表示为( )
A．B＝，E＝ B．B＝，E＝
C．B＝，E＝ D．B＝，E＝
【答案】B
【解析】设带电粒子经电压为U的电场加速后速度为v，则qU＝mv2；带电粒子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，qBv＝，依题意可知r＝d，联立可解得B＝，带电粒子在电场中偏转，做类平抛运动，设经时间t从P点到达C点，由d＝vt，d＝t2，联立可解得E＝，B正确。
6.(2019·厦门一模)如图所示，空间的某个复合场区域内存在着竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．质子由静止开始经一加速电场加速后，垂直于复合场的边界进入并沿直线穿过场区，质子(不计重力)穿过复合场区所用时间为t，从复合场区穿出时的动能为Ek，则( )
A．若撤去磁场B，质子穿过场区时间大于t B．若撒去电场E，质子穿过场区时间等于t
C．若撒去磁场B，质子穿出场区时动能大于Ek D．若撤去电场E，质子穿出场区时动能大于Ek
【答案】C
【解析】质子在电场中是直线加速，进入复合场，电场力与洛伦兹力等大反向，质子做匀速直线运动．若撤去磁场，只剩下电场，质子做类平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，速度不变，故质子穿过场区时间不变，等于t，A错误；若撒去电场，只剩下磁场，质子做匀速圆周运动，速率不变，水平分运动的速度减小，故质子穿过场区时间增加，大于t，B错误；若撤去磁场，只剩下电场，质子做类平抛运动，电场力做正功，故末动能大于Ek，C正确，若撤去电场，只剩下磁场，质子做匀速圆周运动，速率不变，末动能不变，仍为Ek，D错误．
7.如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里，一带电油滴P恰好处于静止状态，则下列说法正确的是 ( )
若仅撤去磁场，P可能做匀加速直线运动
B．若仅撤去电场，P可能做匀加速直线运动
C．若给P一初速度，P不可能做匀速直线运动
D．若给P一初速度，P可能做匀速圆周运动
【答案】D
【解析】P处于静止状态，mg＝qE，带负电荷，若仅撤去磁场，P仍静止，A错误；仅撤去电场，P向下加速，同时受到洛伦兹力，将做复杂的曲线运动，B错误；给P一初速度，若沿磁场方向，则粒子只受重力和电场力，且二者相等，则P做匀速直线运动，若垂直磁场方向，因mg＝qE，P将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，C错误，D正确．
8.如图所示，实线表示竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜向上的虚线L斜向上做直线运动，L与水平方向成β角，且α＞β，则下列说法中正确的是 ( )
A．液滴一定做匀速直线运动 B．液滴一定带负电
C．电场线方向一定斜向上 D．液滴有可能做匀变速直线运动
【答案】AC
【解析】带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线方向的电场力F、垂直于速度方向的洛伦兹力f，若合力不为零，则洛伦兹力变化，不能沿直线运动，因此这三个力的合力一定为零，带电液滴做匀速直线运动，不可能做匀变速直线运动，故A正确，D错误；当带电液滴带正电，且电场线方向斜向上时，带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线向上的电场力F、垂直于速度方向斜向左上方的洛伦兹力作用，这三个力的合力可能为零，带电液滴沿虚线L做匀速直线运动，如果带电液滴带负电、电场线方向斜向上或斜向下时，带电液滴所受合力不为零，不可能沿直线运动，故B错误，C正确．故选AC.
9. (2019·铜陵质检)如图所示，粗糙的足够长的竖直木杆上套有一个带电的小球，整个装置处在由水平匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场组成的足够大的复合场中，小球由静止开始下滑，在整个运动过程中小球的v－t图象如下图所示，其中正确的是( )
【答案】C.
【解析】小球下滑过程中，qE与qvB反向，开始下落时qE>qvB，所以a＝，随下落速度v的增大a逐渐增大；当qE10.如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子，自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场。以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d，不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；
（3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
【答案】 (1)2 方向与x轴正方向成45°角斜向上 (2) (3)(2＋π)
【解析】
粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得qE＝ma①
由运动学公式得d＝at②
2d＝v0t0③
vy＝at0④
v＝⑤
tan θ＝⑥
联立①②③④⑤⑥式得v＝2 ⑦
θ＝45°⑧
设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图甲所示，
O1为圆心，由几何关系可知△QOO1为等腰直角三角形，得
R1＝2d⑨
由牛顿第二定律得
qvB0＝m⑩
联立⑦⑨⑩得B0＝ ?
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何关系知粒子运动的轨迹如图乙所示，O2、O′2是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与坐标轴的交点，连接O2、O′2，由几何关系知，O2FGO′2和O2QHO′2均为矩形。由此知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH为正方形，△QFO为等腰直角三角形，可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得
2R2＝2d?
粒子在第二、第四象限的轨迹是长度相等的线段，得
FG＝HQ＝2R2?
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，
则有t＝?
联立⑦???式得
t＝(2＋π) ?
11.如图所示，质量为m，带电量为＋q的液滴，以速度v沿与水平成45°角斜向上进入正交的足够大的匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，液滴在场区做直线运动．重力加速度为g，求：
(1)电场强度E和磁感应强度B各多大？
(2)当液滴运动到某一点A时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而产生的磁场的影响，此时液滴加速度多少？
(3)在满足(2)的前提下，粒子从A点到达与A点位于同一水平线上的B点(图中未画出)所用的时间．
【答案】(1) (2)g (3)
【解析】(1)液滴带正电，液滴受力如图所示．
根据平衡条件，有Eq＝mgtan θ＝mg，qvB＝＝mg
解得E＝，B＝
(2)电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，故电场力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有a＝＝g
(3)电场变为竖直向上后，qE＝mg，故粒子做匀速圆周运动，由T＝，t＝T
可得t＝
12．(2019·开封模拟)如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5 m，磁场垂直纸面向里．在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m.在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到零后又返回磁场，最终又从磁场离开．已知粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计．
(1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小；
(2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程．
【答案】(1)0.2 T (2)(0.5π＋1)m
【解析】(1)沿＋x方向射入磁场的粒子进入电场后，速度减小到零，粒子一定是从如图的P点射出磁场，逆着电场线运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝R＝0.5 m
根据Bqv＝，得B＝，代入数据得B＝0.2 T.
(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场，MN为直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长s1＝πR
设在电场中的路程为s2，根据动能定理得
＝mv2，s2＝
总路程s＝πR＋，代入数据得s＝(0.5π＋1)m
