沪教版（上海）八年级数学第一学期同步第3讲 16．2二次根式的运算（教师版）

二次根式的加减法和乘除法是八年级数学上学期第一章第一节内容，是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算．它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性、提高性的综合学习．











1. 二次根式的加法和减法：
先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．








【例1】 计算：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．





【例2】 计算：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．





【例3】 计算：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．

【例4】 如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．
【难度】★
【答案】．
【解析】阴影部分的宽为，长为．
【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积．

【例5】 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由题可知：，则原式；
（2）原式；
（3）原式
=．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．
【例6】 先化简，再求值：，其中，．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式
，
当，时，原式=．
【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简再带值计算．




【例7】 设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，周长为．
（1）如果，求； （2）如果，求．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
所以；
（2）因为，所以．
【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用．





【例8】 解不等式：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，得：，即，所以．
【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，注意判断不等式两边所除的数的符号．











































1、二次根式的乘法和除法
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．




【例9】 计算：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）； （2）．
【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．




【例10】 计算．
（1）； （2） ；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．
【例11】 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用．

【例12】 计算：
（1）； （2）；
（3）（）； （4） （）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）由题意可得：，则；
（2）；
（3）；
（4）．
【例13】 计算：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定．







【例14】 如图所示，在面积为2a的正方形中，截得直角三角形的面积为
，求的长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】正方形的边长为，则，则．
【总结】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用．


【例15】 已知和是等腰三角形的两条边，其面积为，求等腰三角形的高．
【难度】★★
【答案】腰上的高为：；底边上的高为．
【解析】由题意可得：等腰三角形的三边长为，，，
由，解得：，即腰上的高为；
由，解得：，即底边上的高为．
【总结】本题考查的知识点较多，一方面考查二次根式的乘除运算，另外考查了三角形的三边关系，另一方面此题没有说明是哪条边的高，因此要分类讨论．
【例16】 解方程：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，得：，则，
化简，得：．
【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用．





【例17】 计算．
（1）（）； （2）；
（3）（－＋2＋）÷．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）；
（2）原式；
（3）原式=÷－÷＋2÷＋÷
=－+2+
=．
【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．




















【习题1】 计算：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．

【习题2】 计算：
（1）；
（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）
．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．


【习题3】 计算：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．


【习题4】 计算：
（1）； （2） ；
（3） ； （4）；
【难度】★
【答案】（1）-108；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2） ；
（3） ；
（4）．
【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．

【习题5】 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；
（2）；
（3）原式．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并，另外只有同类二次根式才能合并．


【习题6】 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．
【习题7】 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）； （4）．
【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．


【习题8】 计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）； （2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．

【习题9】 计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．


【习题10】 计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）0；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用，（2）中要特别注意被开方数的符号．

【习题11】 先化简后求值，当时，求的值．
【难度】★★
【答案】0．
【解析】因为，
所以当时，原式．
【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．





【作业1】 计算：
（1）； （2）；
（3） ； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3） ；
（4）．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．


【作业2】 计算．
（1）； （2）；
（3）；
（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式
．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．

【作业3】 计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）8；（3）；（4）
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题主要考查二次根式的乘除混合运算，注意法则的准确运用．
【作业4】 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）-6；（3）；（4）
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）原式．
【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．



【作业5】 计算．
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．
【作业6】 化简：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．


【作业7】 若直角三角形的面积是，一条直角边长，求另一条直角边长及斜边上的高线长．
【难度】★★
【答案】；．
【解析】另一条直角边长为：；斜边上的高为：．
【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查等积法的运用．


【作业8】 化简：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式
．
【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．
【作业9】 已知，，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意有：，，所以．
【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求代数式的值．



【作业10】 解关于x的不等式：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，
得：，
则， 所以，
解得：；
（2）由，
得：，
则，
所以．
【总结】本题主要考查二次根式在解不等式中的运用，注意判定不等式两边所除的二次根式的符号．



【作业11】 已知：，，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意可得：，，则，
代入，，得原式．
【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题时注意判定a、b的符号，最后利用整体代入的思想求值．


【作业12】 求下列式子的值：，其中．
【难度】★★
【答案】22．
【解析】由题意有：，，
∴．
【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求多项式的值．