高中数学选修2-3第一章 计数原理 1.3二项式定理（44张PPT）

(共44张PPT)
(a+b)2 = (a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a +b·b = a2+2ab+b2
(a+b)3= (a+b)(a+b)(a+b)
=a·a·a+a·a·b+a·b·a+b·a·a+a·b·b+b·a·b +b·b·a +b·b·b
= a3 + 3a2b+3ab2 + b3
还能写出(a+b)4 的展开式吗？
写出二项式 (a+b)2、 (a+b)3 展开式
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) =a·a+a·b+b·a +b·b = a2+2ab+b2
展开后其项的形式为：a2，ab ，b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20
即每一项的形式是a4-kbk，
从上述过程中可以发现，
(a+b)n是n个(a+b)相乘，
根据多项式乘法法则，
每个(a+b)相乘时有两个选择，选a或选b，
而且每个(a+b)中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，
由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。
探索(a+b)4的展开式的形式。
4个括号中取a和取b的个数和为4，
每个都不取b的情况有C40 种,则a4前的系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
k=0时
k=4
k=3
k=2
k=1
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
猜想(a+b)n 的展开式
(n∈N*)
然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，
(n∈N*)
证明：对(a+b)n分类，按b可以分n+1类，
⑴不取b：Cn0an；
⑵取1个b：Cn1an-1b1；
⑶取2个b：Cn1an-2b2；
………………
(k+1)取k个b：Cnkan-kbk；
(n+1)取n个b：Cnnbn；
………………
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋
Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn (n∈N*)
Tk+1 =Cnk an-kbk
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式, 共n+1项
Cnk an-kbk ：
二项展开式的通项,记作Tk+1，表示 k+1项
Cnk：
二项式系数
若令a=1, b=x，则得到：
(1+x)n =Cn0+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋
Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn (n∈N*)
(4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … ,
Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数，与a, b无关
二项展开式的特点：
(1)共有n+1项
(2)各项的次数都等于二项式的次数n
(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0
字母b按升幂排列，次数由0增加到n
例1 ：(1)写出(1+2x)5的展开式中的第4项
(2)写出(1+2x)5的展开式

∴9-2r=3, r=3
解：⑴展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，
，
；
⑵∵
∴当
时展开式是常数项，即常数项为
，

“杨辉三角”与
二项式系数性质
二项式系数表

以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
杨辉 三角
《详解九章算法》记载的表
杨辉
能得出哪些性质？
会证明这些性质吗？
a)表中每行两端都是1。
b)除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
当n不大时，可用该表来求二项式系数。
对称
c)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
函数角度：
f(r)
①关于r=n/2对称
②r=3和r=4时取得最大值
n为偶数；
如n=6
n为奇数；
如n=7
增减性与最大值
d)当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
(1+x)n =Cn0+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn
令x=1,则
2n =Cn0+ Cn1+ Cn2+ … +Cnk +…+ Cnn
即(a+b)n展开式的二项式系数和为2n
赋值法
二项式系数的性质
总结
⑴与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
r=n/2将函数f(r)的图象分成对称的两部分。
⑵二项式系数先增大后减小，且在中间取得最大值；
⑶即(a+b)n展开式的二项式系数和为2n
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
Cn0+ Cn1+ Cn2+ … +Cnk +…+ Cnn =2n
＝２n-1
例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：
(1+x)n =Cn0+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn
令x=-1
(1-1)n =Cn0- Cn1+ Cn2-Cn3+ … +(-1)kCnk+…+(-1)nCnn
0=(Cn0+Cn2+ …) –(Cn1 -Cn3+ … )
∴n=8
设展开式中含x的项是第r+1项，则
故展开式中含x的项为第3项，即
即16-3r=0，
∴ r=0,4,8，

解：依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!
n=10
设第r+1项为常数项，又
此所求常数项为180
例8 求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：
∴原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为
，
解：
展开式中第三项为
小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，
一般地当a 较小时
例题选
题型一 二项展开式中系数的最大与最小
所以系数最小的项的系数为

.
解：由题意
解得n=5.
②设第r+1项的系数的绝对值最大,则
∴r=3,故系数的绝对值最大的是第4项 。
解：设展开式中第r+1项的系数最大，则
∴r=7 故第18项的系数最大


题型二 展开式的系数和
⑴求展开式中二项式系数最大的项；
⑵求展开式中系数最大的项
解：令x=1，则展开式中各项系数和为
又展开式中二项式系数和为2n
⑴∵n=5, 展开式共6项,二项式系数最大的项为第三,四两项
设展开式中第r+1项系数最大，则
即展开式中第5项系数最大，


令x=1，得
令x=-1，得
两式相乘得
当x=1时，
展开式右边为
当x=0时，
令x=-1，
①二项式系数的和；
②各项系数的和；
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
④奇数项系数和与偶数项系数和；
⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

令x=y=1,各项系数和为

解：令x=1得：
令x-a=1即x=a+1可得各项系数的和
的值；令x-a=-1即x=a-1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系。
练习 已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
(4)若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200　
求a1+a3+a5+a7+…+a199　的值。
二项式定理的其它问题
例1 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数.
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，
∴展开式中含x的项为
∴此展开式中x的系数为240
证（法一）倒序相加：设
，
∴
（法二）：左边各组合数的通项为
显然,上式中只有第四项中含x的项
．
∴展开式中含x的项的系数是

t即x2项的系数最小，最小值为272，此时
练习 化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.