河北省唐山市滦南县2018-2019学年度第一学期期末质量检测高二理科数学试卷（word版）

滦南县2018——2019 学年度第一学期期末质量检测
高二理科数学试卷
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．直线l经过原点和（1，﹣1），则它的倾斜角是（　　）
A．45° B．﹣45° C．135° D．45°或135°
2．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（　　）

A． B． C． D．
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
4．如果直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相平行，那么a的值等于（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
5．已知复数z，则z的实部为（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
6．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是（　　）
A． B． C．1 D．
7．函数f（x）＝3x﹣x3的单调增区间是（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，+∞）
8．已知椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若2，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）

A． B．
C． D．
10．条件p：x≤1，且￢p是q的充分不必要条件，则q可以是（　　）
A．x＞1 B．x＞0 C．x≤2 D．﹣1＜x＜0
11．若，，，则s1，s2，s3的大小关系为（　　）
A．s1＜s2＜s3 B．s2＜s1＜s3 C．s2＜s3＜s1 D．s3＜s2＜s1
12．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）＝2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．直线y＝x被圆x2+（y﹣2）2＝4截得的弦长为　 　．
14．如图，阴影区域是由函数y＝cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是　 　．

15．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为　 　．
16．若命题“?t∈R，t2﹣2t﹣a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题：（共70分）
17．某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）．
（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（m）的函数关系式，并指出其定义域；
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．

18．如图，在四棱锥0﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

19．已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB：AD：AA1＝1：2：4，
（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A1ED；
（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．

21．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝kx+3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．



一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．C
2．A
3．B
4．D
5．D
6．B
7．C
8．D
9．B
10．B
11．B
12．A
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．圆x2+（y﹣2）2＝4的圆心坐标为（0，2），半径为2
∵圆心到直线y＝x的距离为
∴直线y＝x被圆x2+（y﹣2）2＝4截得的弦长为2
14．由题意，阴影区域的面积是Ssinx2．
15．设P（x0，y0）
依题意可知抛物线准线x＝﹣1，
∴x0＝5﹣1＝4
∴|y0|4，
∴△MPF的面积为5×4＝10
16．命题“?t∈R，t2﹣2t﹣a＜0”是假命题，
则?t∈R，t2﹣2t﹣a≥0是真命题，
∴△＝4+4a≤0，解得a≤﹣1．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
三、解答题：（共70分）
17．（1）因污水处理水池的长为．
由题设条件即函数定义域为[12.5，16]（7分）
（2）由（1）得（8分）
当x∈[12.5，16]时，y'＜0；
故函数y＝f（x）在[12.5，16]上是减函数．
∴当x＝16时，y取得最小值，
此时（元）此时（13分）
综上，当污水处理池的长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，最低为45000元．
18．（I）分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系
可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）
∴（2，1，﹣1），（0，﹣2，2），（2，0，0），（2，0，0），（0，1，0）
设平面OCD的法向量为（x，y，z），
由，得
取y＝1，得z＝1，x＝0，所以平面OCD的法向量为（0，1，1），
∴?2×0+1×1+（﹣1）×1＝0，可得⊥
又∵MN?平面OCD，
∴直线MN∥平面OCD；
（II）设平面DMN的法向量（x'，y'，z'），
由（0，﹣2，1），（2，﹣1，0），得
，得
取x'＝1，得平面DMN的法向量（1，2，4），
∴点B到平面DMN的距离为：d
19．函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
（1）当a＝2时，f（x）＝x﹣2lnx，，
因而f（1）＝1，f′（1）＝﹣1，
所以曲线y＝f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），
即x+y﹣2＝0
（2）由，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得x＝a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a﹣alna，无极大值．
20．（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，依题意得D（0，2，0），
F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．
（1）易得（0，，1），
（0，2，﹣4）．
于是cos，．
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．
（2）证明：连接ED，易知（1，2，1），（﹣1，，4），（﹣1，，0），
于是0，0．
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED．
（3）设平面EFD的一个法向量为u＝（x，y，z），则
即
不妨令x＝1，可得u＝（1，2，﹣1）．
由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．
于是cos＜u，，从而sin＜u，．
二面角A1﹣ED﹣F的正弦值是

21．（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，
由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，
可得：a+c＝3，a﹣c＝1，
∴a＝2，c＝1
∴b2＝a2﹣c2＝3
∴椭圆的标准方程为；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）＝0，
则
又
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD＝﹣1，即
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，∴
∴7m2+16mk+4k2＝0
解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0
当m1＝﹣2k时，l的方程y＝k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；
当时，l的方程为，直线过定点
所以，直线l过定点，定点坐标为
22．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，圆心为（0，0），
∵直线xy﹣4＝0与圆O相切，
∴d＝r2，…
则圆O的方程为x2+y2＝4；…
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，理由为：
法1：∵直线l：y＝kx+3与圆O相交于A，B两点，
∴圆心O到直线l的距离dr＝2，
解得：k或k，…（7分）
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，…（8分）
则OM与AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圆心O到直线l：y＝kx+3的距离d|OM|＝1，…
即d1，整理得：k2＝8，…（11分）
解得：k＝±2，经验证满足条件，…
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形；…（13分）
法2：记OM与AB交于点C（x0，y0），
∵直线l斜率为k，显然k≠0，
∴OM直线方程为yx，…（7分）
将直线l与直线OM联立得：
，
解得：，
∴点M坐标为（，），…（9分）
又点M在圆上，将M坐标代入圆方程得：（）2+（）2＝4，
解得：k2＝8，…（11分）
解得：k＝±2，经验证满足条件，…
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形．…（13分）